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专题1.1-1 认识三角形1(三角形的三边关系与内角和定理)
模块1:学习目标
1. 认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形;了解三角形按边分类的原则和结论;
2. 掌握并运用三角形三边的关系;
3. 掌握三角形的内角和定理的证明和运用;
模块2:知识梳理
1.三角形的定义
三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形。
其中:三角形用符号“△”表示,顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”,注意单独的△没有意义;△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示,也可以用小写字母a、b、c来表示,一般边BC用a表示,边AC、AB分别用b、c表示.
2.三角形三边关系
1)三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边。
2)理论依据:两点之间线段最短.
3)三角形三边关系定理的应用:(1)已知两边求第三边的取值范围;(2)判断三条线段是否可构成三角形。
3.三角形内角和定理
1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和是180°;
2)应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题:
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;
②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;
③求一个三角形中各角之间的关系.
模块3:核心考点与典例
考点1.三角形的的分类
例1.(2022·山东滨州市·八年级期末)三角形按边分类可以用集合来表示,如图所示,图中小椭圆圈里的A表示( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案.
【详解】三角形根据边分类 ,
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形.故选D.
【点睛】此题主要考查了三角形的分类,关键是掌握分类方法.按边的相等关系分类:不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形).
变式1. (2022·山西吕梁市·八年级期中)给出下列说法:(1)等边三角形是等腰三角形;(2)三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;(3)三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中,正确的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】B
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】(1)等边三角形是一特殊的等腰三角形,正确
(2)三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形,错误
(3)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,正确
综上所述,正确的结论2个 故选B
【点睛】本题考查三角形.等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形
考点2. 三角形的三边关系及其运用
例2.(2022·广西河池市·八年级期末)已知的三边长为2,7,,请写出一个符合条件的的整数值,这个值可以是______.
【答案】6或7或8
【分析】根据三角形三边关系:①任意两边之和大于第三边;②任意两边之差小于第三边,即可得出第三边的取值范围.
【详解】解:∵三角形的三边长分别为2,7,x,∴7-2<x<7+2,即5<x<9,
故答案为:6或7或8.
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系,即任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
变式2.(2022·自贡市八年级月考)若是△ABC的三边长,则化简的结果是________.
【答案】2a
【分析】根据a,b,c为三角形三边长,利用三角形三边关系判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简即可.
【详解】解:∵a,b,c为三角形三边上,∴a+b-c>0,b-c-a<0,
则原式=a+b-c-b+a+c=2a,故答案为:2a.
【点睛】此题考查了三角形三边关系以及整式的加减-化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
变式3.(2022·浙江八年级期中)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.10
【答案】B
【分析】若两个螺丝的距离最大,则此时这个木框的形状为三角形,可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合,然后分别找出这些三角形的最长边即可.
【详解】解:已知4条木棍的四边长为2、3、4、6;
①选2+3、4、6作为三角形,则三边长为5、4、6;5-4<6<5+4,能构成三角形,此时两个螺丝间的最长距离为6;
②选3+4、6、2作为三角形,则三边长为2、7、6;6-2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为7;
③选4+6、2、3作为三角形,则三边长为10、2、3;2+3<10,不能构成三角形,此种情况不成立;
④选6+2、3、4作为三角形,则三边长为8、3、4;而3+4<8,不能构成三角形,此种情况不成立;
综上所述,任两螺丝的距离之最大值为7.故选:B.
【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理,能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键.
考点3.证明三角形内角和定理
例3.(2022·山东潍坊·八年级期末)在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( )
A.过C作EFAB B.过AB上一点D作DEBC,DFAC
C.延长AC到F,过C作CEAB D.作CD⊥AB于点D
【答案】D
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线,把三角形的内角进行转化,再根据平角的定义解决此题.
【详解】解:A.由EF∥AB,则∠ECA=∠A,∠FCB=∠B.由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°,得∠A+∠ACB+∠B=180°,故A不符合题意.
B.由ED∥BC,得∠EDF=∠AED,∠A=∠FDB.由ED∥CB,得∠EDA=∠B,∠C=∠AED,那么∠C=∠EDF.由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°,得∠B+∠A+∠C=180°,故B不符合题意.
C.由CE∥AB,则∠A=∠FEC,∠B=∠BCE.由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°,得∠A+∠B+∠ACB=180°,故C不符合题意.
D.由CD⊥AB于D,则∠ADC=∠CDB=90°,无法证得三角形内角和是180°,故D符合题意.故选:D.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明,将三角形三个内角转换为平角是解本题的关键.
变式3. (2022·吉林·舒兰市七年级期末)如图,在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道:由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
受到实验方法1的启发,小明形成了证明该结论的想法:实验1的拼接方法直观上看,是把和移动到的右侧,且使这三个角的顶点重合,如果把这种拼接方法抽象为几何图形,那么利用平行线的性质就可以解决问题了.小明的证明过程如下:
已知:如图,.求证:.
证明:延长,过点作.
∴______(两直线平行,内错角相等),
(_______________).
∵(平角定义),
∴.
(1)请你补充完善小明方法1的证明过程;
(2)请你参考小明解决问题的方法1的思路,自行画图标注好顶点字母,写出方法2证明该结论的过程.
【答案】(1);两直线平行,同位角相等;(2)见解析
【分析】(1)根据内错角以及平行线的性质回答即可;(2)过点作,利用平行线的性质得到,,进而利用平角的定义得到结论.
【详解】解:(1)根据题意,(两直线平行,同位角相等),
故答案为:;两直线平行,同位角相等;
(2)证明:过点作,
∴,(两直线平行,内错角相等)
又∵(平角定义)
∴.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明以及平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等.
考点4.三角形内角和定理的相关计算
例4.(2022·河南濮阳·八年级期末)有一块直角三角板放置在上,三角板的两条直角边,恰好分别经过点B、C,在中,,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先在△DBC中,根据三角形内角和定理可得到∠DBC与∠DCB的和,再在△ABC中利用三角形内角和定理计算的度数即可.
【详解】在△DBC中,∵,∴ ,
∵,∴在△ABC中,
【点睛】本题考查了三角形内角和定理:三角形内角和为180°,熟记三角形内角和是解题的关键.
变式4. (2022·河南驻马店市·八年级期末)阅读下列材料并解答问题:在一个三角形中,如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍,那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如:一个三角形三个内角的度数分别是,,,这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之,若一个三角形是“梦想三角形”,那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 .
(2)如图,已知,在射线上取一点,过点作交于点,以为端点作射线,交线段于点(点不与、重合),若,判定、是否是“梦想三角形”,为什么?
【答案】(1)或;(2),都是“梦想三角形”,理由见解析
【分析】(1)分两种情形:当108°是三角形的一个内角的3倍,当另外两个内角是3倍关系,分别求解即可.(2)根据“梦想三角形”的定义可以判断:△AOB、△AOC都是“梦想三角形”.
【详解】解:(1)当108°是三角形的一个内角的3倍,则有这个内角为36°,第三个内角也是36°,故最小的内角是36°,当另外两个内角是3倍关系,则有另外两个内角分别为:54°,18°,最小的内角是18° 故答案为:36°或18°.
(2)结论:,都是“梦想三角形”
理由:,,,
,为“梦想三角形”,
,,,
,,“梦想三角形”.
【点睛】本题考查三角形内角和定理,“梦想三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
考点5.两角互余的相关计算
例5.(2022·浙江衢州·八年级期中)已知,在直角△ABC中,∠C为直角,∠B是∠A的2倍,则∠A的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得.
【详解】解:设,则,
由题意得:,即,解得,即,故选:A.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余,熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键.
变式5. (2022·湖北蔡甸初二期中)如图,若的三条角平分线、、交于点,则与互余的角是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可.
【解析】解:∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直,∴∠EGD不一定等于90°
∴与不一定互余,故A选项不符合题意;
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,的三条角平分线、、交于点
∴∠FAG=∠BAC,∠GBC=∠ABC,∠GCB=∠ACB
∴∠FAG+∠GBC+∠GCB=(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=90°
∵=∠GBC+∠GCB ∴+∠FAG=90°,故B选项符合题意;
∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边 ∴∠GEC和∠GFB不一定是直角
∴+∠ECG不一定等于90°,故C选项不符合题意;∠FGB+∠FBG不一定等于90°
∵∠FGB=∴+∠FBG不一定等于90°,故D选项不符合题意.故选B.
【点睛】此题考查的是互余的判定,掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题关键.
模块4:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022·襄阳初二月考)三角形是指( )
A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义解答即可.
【解析】因为三角形的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形.故选:C.
【点睛】本题考查了三角形的定义.解题的关键是熟记三角形的定义.
2.(2022 凤翔县期末)将锐角三角形三边扩大同样的倍数,得到的新三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形
【分析】因为锐角三角形三边扩大同样的倍数,而角的度数不会变,所以得到的新的三角形是锐角三角形.
【解答】因为角的度数和它的两边的长短无关,所以得到的新三角形应该是锐角三角形,故选:B.
【点评】本题考查了三角形,熟练掌握三角形的定义是解题的关键.
3. (2022·淮北市八年级期末)以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
【答案】D
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边,进行分析判断.
【详解】解:A、1+2=3,故不能构成三角形,选项错误;
B、2+3=5,故不能构成三角形,选项错误;
C、5+6<12,故不能构成三角形,选项错误;
D、4+6>8,能构成三角形,选项正确,故选:D.
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件.注意:用两条较短的线段相加,如果大于最长那条就能够组成三角形.
4.(2022春 本溪期中)△ABC的三角之比是1:2:3,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【分析】设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,再根据三角形内角和定理求出x的值,进而可得出结论.
【解答】解:在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,
∴设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,
∴∠C=3x=90°,∴此三角形是直角三角形.故选:B.
【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.
5. (2022·河北廊坊·八年级期末)在中,若,,则第三边的取值可能是( )
A.3. B.5 C.9 D.10
【答案】B
【分析】根据三角形的三边不等关系:任意两边之差<第三边<任意两边之和,解答即可.
【详解】解:根据三角形的三边关系,得6-3<BC<6+3,即3<BC<9.
符合条件的条件是BC=5,故选:B.
【点睛】此题考查了求三角形第三边的范围,实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可.
6.(2022·咸宁市八年级月考)下列关于三角形的分类,有如图所示的甲、乙两种分法,则( )
A.甲分法错误,乙分法正确 B.甲分法正确,乙分法错误
C.甲、乙两种分法均正确 D.甲、乙两种分法均错误
【答案】A
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案.
【详解】按边分类:不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形);按角分类:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.∴甲分法错误,乙分法正确.故选:A.
【点睛】本题主要考查三角形的分类,关键是掌握分类方法.根据三角形角、边的特点,按边或按角分类.
7.(2022·河南周口·七年级期末)下列说法:(1)一个等边三角形一定不是钝角三角形;(2)一个钝角三角形一定不是等腰三角形;(3)一个等腰三角形一定不是锐角三角形;(4)一个直角三角形一定不是等腰三角形.其中正确的有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【分析】根据三角形的分类判断即可.
【详解】解:(1)一个等边三角形一定不是钝角三角形,原说法正确;
(2)一个钝角三角形不一定不是等腰三角形,原说法错误;
(3)一个等腰三角形不一定不是锐角三角形,原说法错误;
(4)一个直角三角形不一定不是等腰三角形,原说法错误;故选:A.
【点睛】此题考查三角形问题,关键是根据三角形的分类的概念解答.
8.(2022·山西吕梁市·九年级二模)在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可.
【详解】解:∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即,作后,利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确,
故选:C.
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理,要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角,就要作辅助线,使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和.
9.(2022·广东深圳·九年级期末)在△AOB中,BO=AO,OP交AB于点C,量角器的摆放如图所示,则∠BCP=( )
A.80° B.90° C.85° D.95°
【答案】C
【分析】依据BO=AO,∠AOB=130°,即可得到∠CAO=25°,再根据∠AOP=70°,即可得出∠BCP=∠ACO=180°﹣∠CAO﹣∠AOC.
【详解】解:∵BO=AO,∠AOB=130°,∴∠CAO=25°,
又∵∠AOP=70°,∴∠BCP=∠ACO=180°﹣∠CAO﹣∠AOC=180°﹣25°﹣70°=85°,故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,解题时注意:三角形内角和等于180°.
10.(2022·湖北恩施·八年级期末)如图,把△ABC沿EF对折,折叠后的图形如图所示,,,则 的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由三角形的内角和,得,由邻补角的性质得,根据折叠的性质得,即,所以,.
【详解】解:∵,∴,
∴,由折叠的性质可得:,
∴,∵,∴,
即.故选B.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质,熟悉掌握三角形的内角和为,互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2022 灌云县期中)如图,以AD为高的三角形共有 个.
【分析】由于AD⊥BC于D,图中共有6个三角形,它们都有一边在直线CB上,由此即可确定以AD为高的三角形的个数.
【解析】∵AD⊥BC于D,而图中有一边在直线CB上,且以A为顶点的三角形有6个,
∴以AD为高的三角形有6个.故答案为:6
12.(2022·云南红河·八年级期末)如果一个三角形的两边长分别为3、4,第三边最长且为偶数,则此三角形的第三边长是______.
【答案】6
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,求得第三边的取值范围,再进一步进行分析.
【详解】解:根据三角形的三边关系,得第三边大于1,而小于7.
又第三边最长且是偶数,则此三角形的第三边是6.故答案为:6.
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系,熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键.
13.(2022 都江堰市校级期中)设a,b,c为△ABC的三边,化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|= .
【点拨】直接利用三角形三边关系进而化简得出答案.
【解析】解:∵a,b,c为△ABC的三边,∴a﹣b+c>0,a+b﹣c>0,a﹣b﹣c<0,
∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|=a﹣b+c﹣(a+b﹣c)+(a﹣b﹣c)
=a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c=a﹣3b+c.故答案为:a﹣3b+c.
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质,正确化简绝对值是解题关键.
14.(2022·广东深圳·七年级期中)直角三角形的两个锐角的度数比为1:4,则较小的锐角是________.
【答案】18°##18度
【分析】根据直角三角形两锐角互余,即可求得.
【详解】解:设直角三角形的两个锐角度数分别为x°,4x°,
由题意得:x+4x=90,解得:x=18,∴较小的锐角是18°.故答案为:18°.
【点睛】本题考查了直角三角形中,两锐角的关系,根据题意列出是一元一次方程是解决本题的关键.
15.(2022·河南平顶山·八年级期末)已知,在中,,点在线段的延长线上,过点作,垂足为,若,则的度数为 度。
【答案】54
【分析】根据三角形的内角和是,即可求解.
【详解】,,在中,,,
在中,,.
【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和,熟练掌握相关的性质是解题的关键.
16.(2022 富阳区一模)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上一点,将△ABC沿DE折叠,使点A的对称点A'落在边BC上,若∠A=50°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
【思路点拨】依据三角形内角和定理,可得△ABC中,∠B+∠C=130°,再根据∠1+∠2+∠B=180°,∠3+∠4+∠C=180°,即可得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣(∠B+∠C)=230°.
【答案】解:∵∠A=50°,∴△ABC中,∠B+∠C=130°,
又∵∠1+∠2+∠B=180°,∠3+∠4+∠C=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣(∠B+∠C)=360°﹣130°=230°,故答案为:230°.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理,综合运用各定理是解答此题的关键.
17.(2022·江苏南京市·九年级二模)将一副三角板如图摆放,则____°.
【答案】105
【分析】结合直角三角板各个角的度数和三角形内角和即可求解.
【详解】解:由图可得
图中三角形是直角三角板
三角形内角和为
故答案是:105.
【点睛】本题主要考察直角三角板的角度和三角形内角和,属于基础的几何角度求解问题,难度不大.解题的关键是掌握直角三角板的特殊角度.
18.(2022·浙江杭州市·八年级期中)如图1,赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器,由底座,晷面、晷针三部分组成,其中底坐面与日晷所处地球半径垂直;
(1)晷针与晷面夹角为___________;(2)如图2,日晷所处纬度为,若太阳光(平行光)与日晷底座面夹角为,则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________.
【答案】
【分析】①由垂直于两平行线之一的直线,必垂直于另一条平行线,即可判断出晷针与晷面垂直,即晷针与晷面夹角为. ②由平行线的性质即可求出,根据题意可求出,再根据三角形内角和定理即可求出,最后由对顶角相等即可求出,即太阳光与该晷面所夹锐角度为.
【详解】①根据题意晷面与赤道平行,地轴与赤道垂直,∴地轴与晷面垂直,
又∵晷针与地轴平行,∴晷针与晷面垂直.即晷针与晷面夹角为.
②可将题干中图简化为如下图:
根据题意结合图形可知:,,,.
∵,∴,即,
∴,即.
∵,.∴.
∴.
∴.即太阳光与该晷面所夹锐角度为.故答案为,.
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理.理解题意,能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2022 江夏区月考)如图,AE,DE分别平分∠BAC和∠BDC,∠B=∠BDC=45°,∠C=51°,求∠E的度数.
【分析】根据平行线的判定和性质,角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论.
【解答】解:∵∠B=∠BDC=45°,∴AB∥CD,∵∠C=51°,∴∠BAC=∠C=51°,
∵AE,DE分别平分∠BAC和∠BDC,∴∠BAEBAC,∠EDBBDC,
∵∠AFB=∠DFE,∴∠E=∠B+∠BAE﹣∠BDE=45°48°.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理,平行线的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.
20.(2022·北京房山·八年级期末)在小学,我们曾经通过动手操作,利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系.如图,把三角形ABC分成三部分,然后以某一顶点(如点B)为集中点,把三个角拼在一起,观察发现恰好构成了平角,从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论.但是,通过本学期的学习我们知道:由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
小聪认真研究了拼图的操作方法,形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路:
①画出命题对应的几何图形;②写出已知,求证;③受拼接方法的启发画出辅助线;④写出证明过程.
请你参考小聪解决问题的思路,写出证明该命题的完整过程.
【答案】见解析
【分析】根据要求画出△ABC,写出已知,求证.构造平行线,利用平行线的性质解决问题即可.
【详解】解:已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图,延长CB到F,过点B作BE∥AC.
∵BE∥AC,∴∠1=∠4,∠5=∠3,
∵∠2+∠4+∠5=180°,∴∠1+∠2+∠3=180°,即∠A+∠ABC+∠C=180°.
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明,平行线的性质,平角的定义等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题.
21(2022 定兴县月考)如图所示,有一块直角三角板DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上,三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C.(1)若∠A=40°,则∠ABC+∠ACB= °,∠DBC+∠DCB= °∠ABD+∠ACD= °.(2)若∠A=55°,则∠ABD+∠ACD= °.(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 .
【分析】(1)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°,∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°,进而可求出∠ABD+∠ACD的度数;(2)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°,∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°,进而可求出∠ABD+∠ACD的度数;
(3)根据三角形内角和定义有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°,则∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°,
在△DBC中,∵∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°,
∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°;故答案为:140;90;50.
(2)在△ABC中,∵∠A=55°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣55°=125°,
在△DBC中,∵∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°,
∴∠ABD+∠ACD=125°﹣90°=35°,故答案为:35;
(3)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为:∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A.证明如下:
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A.在△DBC中,∠DBC+∠DCB=90°.
∴∠ABC+∠ACB﹣(∠DBC+∠DCB)=180°﹣∠A﹣90°.∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A,
故答案为:∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理,熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键.
22.(2023春 永年区期末)一个三角形的两边b=2,c=7.(1)当各边均为整数时,有几个三角形?(2)若此三角形是等腰三角形,则其周长是多少?
【分析】(1)根据三角形三边关系得出第三边长的范围,进而解答即可;(2)根据等腰三角形的性质解答即可.
【解答】解:(1)设第三边长为a,则5<a<9,
由于三角形的各边均为整数,则a=6或7或8,因此有三个三角形;
(2)当a=7时,有a=7=c,所以周长为7+7+2=16.
【点评】此题考查三角形,关键是根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答.
23.(2022 南海区校级期末)阅读理解:如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.其中α称为“智慧角”.解答问题:
(1)一个角为60°的直角三角形 (填“是”或“不是”)“智慧三角形”,若是,“智慧角”是 .(2)已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°,求这个“智慧三角形”各个角的度数.
【思路点拨】(1)根据“智慧三角形”,“智慧角”的定义判断即可.
(2)根据一个“智慧三角形”的“智慧角”的定义,求出三角形的另一个内角,可得结论.
【答案】解:(1)在直角三角形,一个内角为60°,则另一个内角为30°,
∵90°=3×30°,∴这个直角三角形是“智慧三角形”.其中90°称为“智慧角”.
故答案为:是,90°.
(2)∵一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°,
∴这个三角形的另一个内角为36°,
∴这个三角形的三个内角分别为36°,36°,108°.
【点睛】本题考查三角形内角和定理,“智慧三角形”,“智慧角”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题..
24. (2022 雁塔区期中)观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论.(1)如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,则BP+PC AB+AC(填“>”、“<”或“=”)(2)将(1)中点P移到△ABC内,得图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得图③,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
【分析】(1)根据三角形中两边之和大于第三边,即可得出结果,(2)可延长BP交AC与M,根据两边之和大于第三边,即可得出结果,(3)分别延长BP1、CP2交于M,再根据(2)中得出的BM+CM<AB+AC,可得出BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC,即可得出结果.
【解答】解:(1)BP+PC<AB+AC,理由:三角形两边之和大于第三边,
(2)△BPC的周长<△ABC的周长.理由:如图,延长BP交AC于M,在△ABM中,BP+PM<AB+AM,在△PMC中,PC<PM+MC,两式相加得BP+PC<AB+AC,于是得:△BPC的周长<△ABC的周长,
(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长,理由:如图,分别延长BP1、CP2交于M,由(2)知,BM+CM<AB+AC,又P1P2<P1M+P2M,可得,BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC,可得结论.
【点评】本题考查比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质,通过作辅助线进行解答.
25.(2022·山西晋城市·八年级期末)综合与实践问题情境:在数学活动课上,全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动,如图所示,放置一副三角尺,两个三角尺的顶点O重合,边与边重合,试求的度数.(1)探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法(请结合图形1,完成填空)
解:∵,
∴__________(___________________)
又∵,∴__________.
(2)反思交流:创新小组受勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2所示,绕顶点O逆时针旋转,当时,求得的度数.(请你写出解答过程)
(3)探索发现:小明受到旋转的启发,继续进行探究(如图3),继续绕顶点O逆时针旋转,使点B落在边上,此时发现与之间的数量关系.
以下是他的解答过程,请补充完整解:在与中,
∵
又∵(___________________)
__________,__________,
∴ __________.
【答案】(1);三角形内角和是;;(2);见解析;(3)对顶角相等;;;
【分析】(1)利用三角形内角和定理求解即可;
(2)利用平行线的性质求得∠AOC=45°,再利用三角形内角和定理求解即可;
(3)在△AOE与△BCE中,利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C,计算即可求解.
【详解】解:∵∠OCD=45°,∠OBC=60°,∴∠BOC=75°(三角形内角和是180°),
又∵∠AOB=90°,∴∠AOC=15°;
(2)解:∵DC∥AO,∠OCD=45°,∴∠AOC=45°(两直线平行,内错角相等),
又∵∠BAO=30°,∴∠AEO=180° ∠AOC ∠BAO=180° 45° 30°=105°(三角形内角和是180°);
(3)在△AOE与△BCE中,∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C,
又∵∠AEO=∠CEB(对顶角相等),
∠A=30°,∠C=45°,∴∠1+∠A=∠2+∠C,∠1 ∠2=15°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理,平行线的性质,正确的识别图形是解题的关键.
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专题1.1-1 认识三角形1(三角形的三边关系与内角和定理)
模块1:学习目标
1. 认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形;了解三角形按边分类的原则和结论;
2. 掌握并运用三角形三边的关系;
3. 掌握三角形的内角和定理的证明和运用;
模块2:知识梳理
1.三角形的定义
三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形。
其中:三角形用符号“△”表示,顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”,注意单独的△没有意义;△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示,也可以用小写字母a、b、c来表示,一般边BC用a表示,边AC、AB分别用b、c表示.
2.三角形三边关系
1)三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边。
2)理论依据:两点之间线段最短.
3)三角形三边关系定理的应用:(1)已知两边求第三边的取值范围;(2)判断三条线段是否可构成三角形。
3.三角形内角和定理
1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和是180°;
2)应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题:
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;
②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;
③求一个三角形中各角之间的关系.
模块3:核心考点与典例
考点1.三角形的的分类
例1.(2022·山东滨州市·八年级期末)三角形按边分类可以用集合来表示,如图所示,图中小椭圆圈里的A表示( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
变式1. (2022·山西吕梁市·八年级期中)给出下列说法:(1)等边三角形是等腰三角形;(2)三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;(3)三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中,正确的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.0
考点2. 三角形的三边关系及其运用
例2.(2022·广西河池市·八年级期末)已知的三边长为2,7,,请写出一个符合条件的的整数值,这个值可以是______.
变式2.(2022·自贡市八年级月考)若是△ABC的三边长,则化简的结果是________.
变式3.(2022·浙江八年级期中)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.10
考点3.证明三角形内角和定理
例3.(2022·山东潍坊·八年级期末)在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( )
A.过C作EFAB B.过AB上一点D作DEBC,DFAC
C.延长AC到F,过C作CEAB D.作CD⊥AB于点D
变式3. (2022·吉林·舒兰市七年级期末)如图,在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道:由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
受到实验方法1的启发,小明形成了证明该结论的想法:实验1的拼接方法直观上看,是把和移动到的右侧,且使这三个角的顶点重合,如果把这种拼接方法抽象为几何图形,那么利用平行线的性质就可以解决问题了.小明的证明过程如下:
已知:如图,.求证:.
证明:延长,过点作.
∴______(两直线平行,内错角相等),(_______________).
∵(平角定义),
∴.
(1)请你补充完善小明方法1的证明过程;(2)请你参考小明解决问题的方法1的思路,自行画图标注好顶点字母,写出方法2证明该结论的过程.
考点4.三角形内角和定理的相关计算
例4.(2022·河南濮阳·八年级期末)有一块直角三角板放置在上,三角板的两条直角边,恰好分别经过点B、C,在中,,则的度数是( )
A. B. C. D.
变式4. (2022·河南驻马店市·八年级期末)阅读下列材料并解答问题:在一个三角形中,如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍,那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如:一个三角形三个内角的度数分别是,,,这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之,若一个三角形是“梦想三角形”,那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 .
(2)如图,已知,在射线上取一点,过点作交于点,以为端点作射线,交线段于点(点不与、重合),若,判定、是否是“梦想三角形”,为什么?
考点5.两角互余的相关计算
例5.(2022·浙江衢州·八年级期中)已知,在直角△ABC中,∠C为直角,∠B是∠A的2倍,则∠A的度数是( )
A. B. C. D.
变式5. (2022·湖北蔡甸初二期中)如图,若的三条角平分线、、交于点,则与互余的角是( )
A. B. C. D.
模块4:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022·襄阳初二月考)三角形是指( )
A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形
2.(2022 凤翔县期末)将锐角三角形三边扩大同样的倍数,得到的新三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形
3. (2022·淮北市八年级期末)以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
4.(2022春 本溪期中)△ABC的三角之比是1:2:3,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
5. (2022·河北廊坊·八年级期末)在中,若,,则第三边的取值可能是( )
A.3. B.5 C.9 D.10
6.(2022·咸宁市八年级月考)下列关于三角形的分类,有如图所示的甲、乙两种分法,则( )
A.甲分法错误,乙分法正确 B.甲分法正确,乙分法错误
C.甲、乙两种分法均正确 D.甲、乙两种分法均错误
7.(2022·河南周口·七年级期末)下列说法:(1)一个等边三角形一定不是钝角三角形;(2)一个钝角三角形一定不是等腰三角形;(3)一个等腰三角形一定不是锐角三角形;(4)一个直角三角形一定不是等腰三角形.其中正确的有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2022·山西吕梁市·九年级二模)在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( )
A. B. C. D.
9.(2022·广东深圳·九年级期末)在△AOB中,BO=AO,OP交AB于点C,量角器的摆放如图所示,则∠BCP=( )
A.80° B.90° C.85° D.95°
10.(2022·湖北恩施·八年级期末)如图,把△ABC沿EF对折,折叠后的图形如图所示,,,则 的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2022 灌云县期中)如图,以AD为高的三角形共有 个.
12.(2022·云南红河·八年级期末)如果一个三角形的两边长分别为3、4,第三边最长且为偶数,则此三角形的第三边长是______.
13.(2022 都江堰市校级期中)设a,b,c为△ABC的三边,化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|= .
14.(2022·广东深圳·七年级期中)直角三角形的两个锐角的度数比为1:4,则较小的锐角是________.
15.(2022·河南平顶山·八年级期末)已知,在中,,点在线段的延长线上,过点作,垂足为,若,则的度数为 度。
16.(2022 富阳区一模)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上一点,将△ABC沿DE折叠,使点A的对称点A'落在边BC上,若∠A=50°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
17.(2022·江苏南京市·九年级二模)将一副三角板如图摆放,则____°.
18.(2022·浙江杭州市·八年级期中)如图1,赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器,由底座,晷面、晷针三部分组成,其中底坐面与日晷所处地球半径垂直;
(1)晷针与晷面夹角为___________;(2)如图2,日晷所处纬度为,若太阳光(平行光)与日晷底座面夹角为,则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2022 江夏区月考)如图,AE,DE分别平分∠BAC和∠BDC,∠B=∠BDC=45°,∠C=51°,求∠E的度数.
20.(20022·北京房山·八年级期末)在小学,我们曾经通过动手操作,利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系.如图,把三角形ABC分成三部分,然后以某一顶点(如点B)为集中点,把三个角拼在一起,观察发现恰好构成了平角,从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论.但是,通过本学期的学习我们知道:由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
小聪认真研究了拼图的操作方法,形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路:
①画出命题对应的几何图形;②写出已知,求证;③受拼接方法的启发画出辅助线;④写出证明过程.
请你参考小聪解决问题的思路,写出证明该命题的完整过程.
21(2022 定兴县月考)如图所示,有一块直角三角板DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上,三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C.(1)若∠A=40°,则∠ABC+∠ACB= °,∠DBC+∠DCB= °∠ABD+∠ACD= °.(2)若∠A=55°,则∠ABD+∠ACD= °.(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 .
22.(2023春 永年区期末)一个三角形的两边b=2,c=7.(1)当各边均为整数时,有几个三角形?(2)若此三角形是等腰三角形,则其周长是多少?
23.(2022 南海区校级期末)阅读理解:如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.其中α称为“智慧角”.解答问题:
(1)一个角为60°的直角三角形 (填“是”或“不是”)“智慧三角形”,若是,“智慧角”是 .(2)已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°,求这个“智慧三角形”各个角的度数.
24. (2022 雁塔区期中)观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论.(1)如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,则BP+PC AB+AC(填“>”、“<”或“=”)(2)将(1)中点P移到△ABC内,得图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得图③,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
25.(2022·山西晋城·八年级期末)综合与实践问题情境:在数学活动课上,全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动,如图所示,放置一副三角尺,两个三角尺的顶点O重合,边与边重合,试求的度数.(1)探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法(请结合图形1,完成填空)
解:∵,
∴__________(___________________)
又∵,∴__________.
(2)反思交流:创新小组受勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2所示,绕顶点O逆时针旋转,当时,求得的度数.(请你写出解答过程)
(3)探索发现:小明受到旋转的启发,继续进行探究(如图3),继续绕顶点O逆时针旋转,使点B落在边上,此时发现与之间的数量关系.
以下是他的解答过程,请补充完整解:在与中,
∵
又∵(___________________)
__________,__________,
∴ __________.
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