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专题1.1-2 认识三角形2（三角形的三条重要线段）
模块1：学习目标
1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念与画法；
2.掌握三角形的高、中线及角平分线的相关计算。
模块2：知识梳理
1. 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线）
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 AD是△ABC中BC边上的高．AD⊥BC于点D．∠ADC＝∠ADB＝90° AD是△ABC中BC边上的中线．BD＝DC＝BC点D是BC边的中点． AD是△ABC的角平分线．AD平分∠BAC，交BC于点D．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(即∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．
注意事项 1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同．
重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
模块3：核心考点与典例
考点1. 三角形的高线、中线、角平分线的相关概念
例1．（2022·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有 ①． 故选A．
【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质.
变式1.（2022·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】C
【分析】根据三角形重要的线段的相关知识进行判断即可得解.
【详解】A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故A错误；
B. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故B错误；
C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，故C正确；
D. 三角形的三条高不一定都在三角形内部，因为钝角三角形有两个高在三角形的外部，故D错误；
故选：C.
【点睛】本题考查三角形相关线段的知识点判断，熟练掌握三角形线段的相关内容是解决本题的关键.
考点2. 三角形的高线画法的相关问题
例2．（2022·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．
【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．
变式2.（2022·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20
（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据三角形高的定义画图；（2）利用面积法进行计算，即可得到答案；
【详解】解：（1）如图：
（2）∵S△ABC=AD BC=CE AB，∴CE=；
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积．
考点3. 三角形的高线的相关计算
例3．（2022·绵阳市初二课时练习）在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ）
A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11.
【答案】B
【分析】过点B作AC边上的高BD，根据直角三角形的面积公式即可求出BD，从而求出结论．
【解析】解：如图，过点B作AC边上的高BD．
，，即，解得．
的三条高之和为，故选B．
【点睛】此题考查的是三角形的高和三角形的面积公式，掌握三角形高的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．
变式3. （2022·江苏七年级月考）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
【答案】70°或30°
【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数．
【解析】①如图，当AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．
②如图，当AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°．故答案为：70°或30°．
【点睛】本题主要考查了三角形高的位置情况，充分考虑三角形的高在三角形的内部或外部进行分类讨论是解题的关键．
考点4. 三角形的重心
例4．（2022·孝感市孝南区八年级月考）三角形的重心是指（ ）
A．三个内角平分线的交点 B．三边上的高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】由三角形的重心的定义可得：三角形的重心是三条中线的交点．
【详解】解：三角形的重心是三条中线的交点．故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
变式4. （2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线
【答案】C
【分析】根据重心的定义：三角形三边中线的交点，即可求解.
【详解】解：根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心故选C.
【点睛】本题主要考查了重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握重心的定义.
考点5. 三角形的中线的相关计算
例5．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差．
【详解】解：∵AD是中线，∴，
∵，，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
变式5. （2022·江苏八年级月考）如图，、、分别是、、的中点，若△BFD的面积是3，则的面积是______．
A．6 B．12 C．15 D．24
【答案】D
【分析】根据三角形中线的性质求得S△BDE=2S△BDF, S△BDA=2S△BDE, S△ABC=2S△BDA即可解答．
【解析】解：∵F是BE的中点∴S△BDE=2S△BDF=6同理：S△BDA=2S△BDE=12，S△ABC=2S△BDA=24．
故答案为D．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分为面积相等的两份是解答本题的关键．
考点6. 三角形的角平分线相关概念与计算
例6．（2022·浙江·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB
【答案】C
【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C、∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D、∵S△AEB＝×AE×BC，S△EDB＝×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．
变式6. （2022.重庆市八年级专项训练）如图，AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
【答案】∠BAE=37.5°. ∠AEB=97.5°.
【解析】∵ＡE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠BAE=∠BAC./2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°. ∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
考点7.三角形有关的线段综合问题
例7．（2022·北京市初一期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①根据，是高，可得,,又因为是角平分线，可得，故能得到∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；
②因为是中线，是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③,,可得∠EAG=∠DBA，因为∠DBA=2∠EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．
【解析】解：①∵，是高∴,
∵是角平分线∴∴∠AEG=∠DGB
∵∠DGB=∠AGE∴，故该说法正确；
②因为是中线，是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∵,∴∠EAG=∠DBA
∵∠DBA=2∠EBC，∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；
④根据中线平分面积，可得，故该说法正确．故选C．
【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，熟练各线的特点和性质是解决本题的关键．
变式7.（2022·西安初一期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可判定①；根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
【解析】∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，∴∠BAE=∠CAE＝=52°；①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD=90°-40°=50°；∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；②正确；
∵F为BC的中点，∴S△ABF＝S△ABC. ④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.综上，正确的结论为①②④，共3个，故选C.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解决问题的关键.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 江川区八年级模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，后结合各选项图形解答．
【答案】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
2.（2022·江苏常州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是( )
A．AD B．DE C．AC D．BC
【答案】C
【分析】根据三角形高的定义作答即可
【详解】经过三角形一个顶点,向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，称三角形的高．∵BEAB于E，∴DE是△ABD的边AB上的高线，
∵ACBD于C，∴AC是△ABD的BD边上的高线．故选：C
【点睛】本题考查三角形的高线．正确理解三角形高线的定义是解决此题的关键．
3．（2022·浙江八年级期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
【答案】A
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．
【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A．
【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．
4．（2022·江苏镇江市·八年级期中）如图，的角平分线与中线相交于点，有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线，其中，（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确
【答案】C
【分析】由AD是的角平分线，可以得到AD平分∠BAE，是的中线，得到点E是AC的中点，得到结论．
【详解】解：∵AD是的角平分线，∴AD平分∠BAE，∴是的角平分线，说法正确；
∵是的中线，∴点E是AC的中点，∴DE是AC边上的中线，
∴是的中线，说法正确，故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、中线的定义，关键在于理解角平分线的定义和中线的定义．
5．（2022 朝阳县期末）下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
【思路点拨】根据三角形的角平分线、高和中线的定义判断即可．
【答案】解：A、三角形的三条高不一定在三角形内部，错误；
B、三角形的三条中线交于一点，正确；C、三角形具有稳定性，错误；
D、三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；故选：B．
【点睛】考查三角形的角平分线、高和中线，关键是根据三角形的角平分线、高和中线的定义解答．
6．（2022·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【答案】C
【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点E是AB的中点，∴△AED的面积=△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面积=△ABC的面积×
∴△AED的面积=3cm2，故选：C．
【点睛】本题考查三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题关键．
7．（2022 商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解析】∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．
8．（2022 增城区期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用中线定义可得DB＝DC，再表示两个三角形周长，进而可得答案．
【解析】∵AD为中线，∴DB＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2，
故选：B．
9．（2022·西安市铁一中学初三一模）如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，根据三角形重心定理得到、、是的中线，继而根据三中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求得答案.
【解析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，
因为G是三角形重心，所以、、是的中线，所以 ，
即，同理，所以，
即= 1:1:1，故选C.
10．（2022 碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【思路点拨】连接AE，由F为BE中点可得S△ABE＝4，又由E为CD中点可得S△ADE＝，S△BDE＝，从而S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝（S△ADC+S△BDC）＝S△ABC＝4，即可得到答案．
【答案】解：连接AE，如图．∵F为BE中点，S△ABF＝2，∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，
又E为CD中点，∴S△ADE＝，S△BDE＝，
∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝+＝（S△ADC+S△BDC）＝S△ABC＝4，故S△ABC＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查吧三角形的面积计算，熟悉三角形中，同底不等高的三角形面积比为高之比、同高不等底的三角形面积比为底之比是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春 亭湖区校级期中）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为 。
【答案】5cm
【分析】根据三角形的中线的概念解答即可．
【解答】解：∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm，∴BMAB＝5cm，故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
12．（2022春 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ．
【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，∴ AB ED AC DF，
∴3×ED4×1.5，∴ED＝2，故答案为：2．
【点评】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个知识点．
13．（2022 大东区校级期中）如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ ，∠DAF＝ ．
【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：
三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；
三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
根据概念，运用几何式子表示．
【解析】∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠BAD＝40°，
∵AF是高，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：5cm；40°；10°．
14.（2022·广东广州市白云区八年级期中）如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
【答案】
【分析】由三角形的面积为： 求解 再利用三角形的中线的概念求解即可得到答案．
【详解】解： 、分别是边上的中线与高，
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中线，高的含义，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2022 拱墅区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为 ．
【思路点拨】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数．
【答案】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．
∵∠EBC＝20°，∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
【点睛】此题综合运用了角平分线定义、直角三角形两个锐角互余以及三角形的外角的性质．
16．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
【答案】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．
【详解】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，,同理，
依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，
∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．故答案为：72021．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
17．（2022 碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．
【思路点拨】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB＝40°，∠GBC+∠GCB＝70°，所以∠GBD+∠GCD＝30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG＝30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A＝80°．
【答案】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的性质，整体思想的利用是解题的关键．
18．（2022 镇海区校级期末）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝6，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
【思路点拨】本题需先分别求出S△ABD，S△ABE，再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．
【答案】解：∵S△ABC＝6，EC＝2BE，点D是AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC＝2，S△ABD＝S△ABC＝3，
∴S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝3﹣2＝1．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线性质，在解题时要知道同高三角形面积的比就是对应底边的比，并对要求的两个三角形的面积之差进行变形是本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏·滨海县七年级阶段练习）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接B E，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D即可；
（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】 (1)如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；
(2)如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；
(3)S△ABC＝． 故△ABC的面积是8．
【点睛】本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
20．（2022 威县期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
21. （2022 海淀区校级月考）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度数．
【点拨】由三角形的内角和定理，结合垂线的定义可求解∠ADC的度数，根据角平分线的定义可求解∠DAC，∠BAC的度数，利用三角形的内角和定理可求解∠C，∠B的度数．
【解析】解：∵EF⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∵∠F＝15°，∠ADE+∠F+∠DEF＝180°，∴∠ADE＝75°，
∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠1＝80°，∴∠DAC＝40°，
∵∠ADE+∠C+∠DAC＝180°，∴∠C＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．
22．（2022·江苏姜堰初一期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE = °．
【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解；②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
【解析】解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴×BC×AE=24，∴×BC×4=24，∴BC=12， ∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD= ∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°,在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10° 故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
23．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）已知在中，，D是上一点
(1)如图1，求证：；
(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；
②若，则 的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）①由，得，再结合（1），得，再由折叠的性质即可得到答案；②由，得，再结合（1），得的度数，再由折叠的性质即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴；
②∵，
∴，
当时，在线段上，
；
当40时，在的延长线上，
，
∴当时，，
当时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质．
24．（2023秋·八年级课时练习）如图，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，交于点．
(1)若，则___________；若，则___________．
(2)若，请求出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)120，135
(2)
【分析】（1）由三角形内角和定理得到的度数，由角平分线的定义可得的度数，进而可求出；
（2）同（1）的方法求出，从而求出．
【详解】（1）解：若，
，
、的平分线交于点，
，
；
若，
，
、的平分线交于点，
，
；
故答案为：120，135；
（2）在中，，
、的平分线交于点，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
25．（2023春·江西萍乡·七年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是边上的中线，则．
理由：因为是边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2至图4中，的面积为a．
(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
【答案】(1)a
(2)2a
(3)6a
(4)2a，见解析
【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出，从而得解；
（4）点E是线段的中点，可得，．．点F是线段的中点，可得．从而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，
为的中线，
即；
（2）如图3，连接，
延长的边到点，延长边到点，使，，
，，
，
即；
（3）由（2）得，
同理：，，
；
（4），理由如下：
理由：∵点E是线段的中点，
∴，．
∴．
∵点F是线段的中点，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．
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专题1.1-2 认识三角形2（三角形的三条重要线段）
模块1：学习目标
1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念与画法；
2.掌握三角形的高、中线及角平分线的相关计算。
模块2：知识梳理
1. 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线）
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 AD是△ABC中BC边上的高．AD⊥BC于点D．∠ADC＝∠ADB＝90° AD是△ABC中BC边上的中线．BD＝DC＝BC点D是BC边的中点． AD是△ABC的角平分线．AD平分∠BAC，交BC于点D．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(即∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．
注意事项 1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同．
重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
模块3：核心考点与典例
考点1. 三角形的高线、中线、角平分线的相关概念
例1．（2022·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
变式1.（2022·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
考点2. 三角形的高线画法的相关问题
例2．（2022·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2022·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
考点3. 三角形的高线的相关计算
例3．（2022·绵阳市初二课时练习）在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ）
A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11.
变式3. （2022·江苏七年级月考）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
考点4. 三角形的重心
例4．（2022·孝感市孝南区八年级月考）三角形的重心是指（ ）
A．三个内角平分线的交点 B．三边上的高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点
变式4. （2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线
考点5. 三角形的中线的相关计算
例5．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式5. （2022·江苏八年级月考）如图，、、分别是、、的中点，若△BFD的面积是3，则的面积是______．
A．6 B．12 C．15 D．24
考点6. 三角形的角平分线相关概念与计算
例6．（2022·浙江·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB
变式6. （2022.重庆市八年级专项训练）如图，AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
考点7.三角形有关的线段综合问题
例7．（2022·北京市初一期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
变式7.（2022·西安初一期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 江川区八年级模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·江苏常州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是( )
A．AD B．DE C．AC D．BC
3．（2022·浙江八年级期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
4．（2022·江苏镇江市·八年级期中）如图，的角平分线与中线相交于点，有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线，其中，（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确
5．（2022 朝阳县期末）下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
6．（2022·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
7．（2022 商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
8．（2022 增城区期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·西安市初三一模）如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
10．（2022 碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春 亭湖区校级期中）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为 。
12．（2022春 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ．
13．（2022 大东区校级期中）如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ ，∠DAF＝ ．
14.（2022·广东广州市白云区八年级期中）如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
15．（2022 拱墅区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为 ．
16．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
17．（2022 碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．
18．（2022 镇海区校级期末）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝6，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏·滨海县七年级阶段练习）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是 ．
20．（2022 威县期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
21. （2022 海淀区校级月考）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度数．
22．（2022·江苏姜堰初一期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE = °．
23．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）已知在中，，D是上一点
(1)如图1，求证：；(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．①如图2，若，求的度数；②若，则 的度数为 （用含α的代数式表示）．
24．（2023秋·八年级课时练习）如图，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，交于点．
(1)若，则___________；若，则___________．
(2)若，请求出的度数．（用含的代数式表示）
25．（2023春·江西萍乡·七年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是边上的中线，则．
理由：因为是边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2至图4中，的面积为a．
(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
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