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专题1.4 全等三角形
模块1：学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.
2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.
3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.
模块2：知识梳理
1．全等图形
（1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（3）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．
注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
（3）找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等。
模块3：核心考点与典例
考点1、全等图形的相关概念
例1．（2022·河南三门峡市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．两个全等三角形的面积一定相等 D．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形
【答案】C
【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等形，故A错误；
B、两个等边三角形不一定是全等形，故B错误；
C、两个全等三角形的面积一定相等，正确；
D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断．
变式1. （2022·山西八年级期末）下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
【答案】C
【解析】解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；故选C．
考点2、全等图形的识别
例2．（2022·沭阳县初二期末）下列各组图形中不是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【解析】解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，
B选项中两个图形不可能完全重合，∴不是全等形．故选：B．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
变式2. （2022·河北廊坊市·八年级期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
考点3、全等图形的相关计算
例3．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，四边形≌四边形，则的大小是________．
【答案】
【分析】由全等形四边形的性质，得到，由四边形的内角和即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形≌四边形，
∴，∴；故答案为：95°．
【点睛】本题考查了全等四边形的性质，解题的关键是掌握全等图形中对应角相等．
变式3. （2022·河南八年级月考）如图，两个三角形为全等三角形，则（ ）
A．75° B．60° C．55° D．50°
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应角相等可求得答案．
【详解】解：∵两三角形全等，∴a、c两边的夹角相等，∴∠1=180°－65°－55°＝60°，故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，涉及到三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
考点4、全等三角形性质的运用
例4．（2022·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
【答案】180°.
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案为：180．
【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
变式4. （2022·江苏南通初一期末）如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．
【答案】66°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解析】解：，，，
在和中，，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
考点5、全等图形的相关作图问题
例5．（2022·孝义市八年级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．
【答案】答案见解析
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．
【详解】解：如图所示：
故答案是：见解析
【点睛】本题考查了全等图形的定义以及特征---定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合．
变式5. （2022·青岛八年级月考）把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.
【答案】见解析.
【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形.
考点6、全等三角形性质的综合问题
例6．（2022·营山县八年级期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，∴∠AHC′＝∠AB′E，∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，∴∠C′AH＝120°，∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
变式6. （2022.成都市七年级月考）如图，在中，，点B、C、D在同一直线上，≌，且，．试说明；若，求的度数；连接AE，则是怎样的三角形？说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：≌， ，．
．即．
≌，．在中，，．
，，，．
是等腰直角三角形．
是的一个外角，，即．
，，．
≌，，是等腰直角三角形．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022辽宁抚顺市·八年级期末）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用全等形的定义解答即可．
【详解】解：只有C选项与图1形状、大小都相同．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了全等形的定义，形状、大小都相同图形为全等形．
2．（2022 姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形 B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等 D．两个正方形一定是全等图形
【思路点拨】利用全等的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、两个等边三角形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意；
B、两个全等图形的面积一定相等，正确，符合题意；
C、形状相同的两个图形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意；
D、两个正方形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意，故选：B．
【点睛】考查了全等图形的定义，解题的关键是了解能够完全重合的两个图形全等，属于基础题，比较简单．
3．（2022 邗江区期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．
4．（2022 高邮市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
【思路点拨】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
5．（2022·江苏江都 初二月考）下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的垂直平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
【答案】D
【解析】因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应边的垂直平分线、对应角的平分线相等，A、B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的．故选D．
【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长等均相等.
6．（2022·武汉市八年级期中）如图，△AEC≌△ADB，若∠A＝50°，∠ABD＝38°，则图中∠AEC的度数是（ ）
A．88° B．92° C．95° D．102°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADB，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：在△ABD中，∠A＝50°，∠ABD＝38°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝92°，
∵△AEC≌△ADB，∴∠AEC＝∠ADB＝92°，故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．
7.（2022 海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AF＝AC，EF＝CB，∠FAE＝∠BAC，
∴∠FAE﹣∠FAB＝∠BAC﹣∠BAF，即∠BAE＝∠FAC，
∴正确的结论是①③④，共3个，故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应边相等，对应角相等．
8．（2022·浙江八年级开学考试）如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根据邻补角的定义求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的内角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，
∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°，故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．（2022 黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CF
C．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，
∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．
10．（2022 兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30° B．50° C．44° D．34°
【思路点拨】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 台州期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C＝ ．
【分析】利用全等三角形的性质可得∠B＝∠E＝60°，再利用三角形内角和定理计算即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，
∵∠A＝50°，∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故答案为：70°．
12．（2022 苍南县期中）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ °．
【分析】利用全等三角形的性质可得∠C＝∠B＝22°，再利用三角形内角与外角的关系可得答案．
【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠C＝∠B＝22°，
∵∠A＝53°，∴∠BEC＝∠A+∠C＝22°+53°＝75°，故答案为：75．
13．（2022 温岭市期末）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ °．
【分析】根据全等三角形的性质求解．
【解析】∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝68°．故答案为68．
14．（2022 柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝ ．
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，
由题意得，AB+BC+AC＝12，∴AB＝12﹣3﹣4＝5，故答案为：5．
15．（2022 江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．
【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．
16．（2022·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
【答案】180°.
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案为：180．
【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
17.（2022 东莞市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则CH的长是 ．
【分析】根据全等三角形的性质分别求出EC、EH，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△AEH≌△CEB，∴EC＝AE＝7，EH＝EB＝5，
∴CH＝EC﹣EH＝7﹣5＝2，故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
18．（2022·浙江八年级开学考试）如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
【答案】110°
【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC的度数．
【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故答案为：110°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·剑阁县八年级月考）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：三种不同的分法：
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．
20．（2022·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
21.（2022 西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，
∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=（120°﹣10°）＝55°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；
∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
22．（2022 内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，
∴BF＝BE+EF＝6．
23．（2022·商城县八年级月考）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A、B、C、D在同一条直线上，∠A=40°，∠F=50°（1）求△DBE各内角度数（2）若AD=16，BC=10，求AB的长．
【答案】（1）∠E=50°，∠D=40°，∠EBD=90°；（2）AB=3
【分析】（1）根据全等三角形的性质可求出∠D、∠E，再根据三角形内角和定理即可求出∠EBD；
（2）根据全等三角形的性质可得AC＝BD，进而可得AB＝CD，进一步即可求出结果．
【详解】解：（1）∵△ACF≌△DBE，∠A＝40°，∠F＝50°，
∴∠D＝∠A＝40°，∠E＝∠F＝50°，∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°；
（2）∵△ACF≌△DBE，∴AC＝BD，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD，
∵AD＝16，BC＝10，∴AB＝CD＝（AD﹣BC）＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，属于基本题目，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
24．（2022·浙江初二课时练习）如图，已知，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当，时，线段AE的长为________；
（2）已知，，①求的度数；②求的度数．
【答案】（1）3；（2）①；②
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案；
（2）①根据三角形全等的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得到结论；②根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质求出即可；
【解析】（1），，，
，，．
（2）①，，．
，，
．
②是的外角，．
是的外角，．
【点睛】本题考查了三角形外角性质、全等三角形性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
25．（2022·重庆市万州八年级期中）如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
【答案】（1）2；（2）78°．
【分析】（1）根据△ABC≌△EBD，得AB=BE=6,根据AD=AB-BD计算即可；
（2）根据△ABC≌△EBD，得∠A=30°，利用∠ACE=∠A+∠B计算即可．
【详解】（1）∵△ABC≌△EBD，∴AB=BE=6,
∵AD=AB-BD，BD=4，∴AD=6-4=2；
（2）∵△ABC≌△EBD，∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，∴∠ACE=30°+48°=78°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和三角形外角和定理是解题的关键．
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专题1.4 全等三角形
模块1：学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.
2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.
3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.
模块2：知识梳理
1．全等图形
（1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（3）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．
注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
（3）找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等。
模块3：核心考点与典例
考点1、全等图形的相关概念
例1．（2022·河南三门峡市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．两个全等三角形的面积一定相等 D．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形
变式1. （2022·山西八年级期末）下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
考点2、全等图形的识别
例2．（2022·沭阳县初二期末）下列各组图形中不是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2022·河北廊坊市·八年级期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
考点3、全等图形的相关计算
例3．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，四边形≌四边形，则的大小是________．
变式3. （2022·河南八年级月考）如图，两个三角形为全等三角形，则（ ）
A．75° B．60° C．55° D．50°
考点4、全等三角形性质的运用
例4．（2022·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
变式4. （2022·江苏南通初一期末）如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．
考点5、全等图形的相关作图问题
例5．（2022·孝义市八年级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．
变式5. （2022·青岛八年级月考）把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.
考点6、全等三角形性质的综合问题
例6．（2022·营山县八年级期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
变式6. （2022.成都市七年级月考）如图，在中，，点B、C、D在同一直线上，≌，且，．试说明；若，求的度数；连接AE，则是怎样的三角形？说明理由．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022辽宁抚顺市·八年级期末）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022 姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形 B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等 D．两个正方形一定是全等图形
3．（2022 邗江区期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．（2022 高邮市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
5．（2022·江苏江都 初二月考）下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的垂直平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
6．（2022·武汉市八年级期中）如图，△AEC≌△ADB，若∠A＝50°，∠ABD＝38°，则图中∠AEC的度数是（ ）
A．88° B．92° C．95° D．102°
7.（2022 海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·浙江八年级开学考试）如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022 黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CF
C．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF
10．（2022 兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30° B．50° C．44° D．34°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 台州期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C＝ ．
12．（2022 苍南县期中）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ °．
13．（2022 温岭市期末）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ °．
14．（2022 柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝ ．
15．（2022 江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
16．（2022·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
17.（2022 东莞市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则CH的长是 ．
18．（2022·浙江八年级开学考试）如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·剑阁县八年级月考）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．
20．（2022·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
21.（2022 西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
22．（2022 内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
23．（2022·商城县八年级月考）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A、B、C、D在同一条直线上，∠A=40°，∠F=50°（1）求△DBE各内角度数（2）若AD=16，BC=10，求AB的长．
24．（2022·浙江初二课时练习）如图，已知，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当，时，线段AE的长为________；
（2）已知，，①求的度数；②求的度数．
25．（2022·重庆市万州八年级期中）如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
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