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专题1.5-1 全等三角形的判定
模块1：学习目标
1. 经历探索三角形的全等条件，掌握用“SSS”条件判定三角形全等的方法，了解三角形的稳定性；
2．探索并掌握两个三角形全等的条件“SAS”、“ASA”、“AAS”及运用“SAS”“ASA”、“AAS”判定两个三角形全等；了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件；
3. 体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程；能把证明（计算）角度相等或线段相等的问题，转化为证明他们所在的两个三角形全等；
模块2：知识梳理
1、全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
如图1，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS）
图1
2. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
图2 图3
1）如图2，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，则△ABC≌△（SAS）.
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图3，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
3、全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
如图4，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△（ASA）
图4
4、全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
图5 图6
如图5，如果∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.（AAS）
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图6，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
5、判定方法的选择
1)选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS/AAS/ASA
两角对应相等 ASA /AAS
两边对应相等 SAS/SSS
2)如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
6．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
模块3：核心考点与典例
考点1、边边边判定三角形全等的条件
例1．(2022.山东省济南市八年级期中)如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；
【答案】DB=CA
【解析】图形中隐含条件AB=BA，找出第三边BD和AC即可；
在△ABC和△BAD中 ，∴△ABC≌△BAD（SSS）
变式1. （2022·北京·八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
考点2、利用边边边判定三角形全等（实际应用）
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
例2．（2022·重庆渝北·八年级期末）工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】利用边边边，可得△NOC≌△MOC，即可求解．
【详解】解：∵OM＝ON，CM＝CN， ，∴△NOC≌△MOC（SSS）．故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
变式2.（2022·福建莆田·八年级期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？
【答案】见解析
【分析】利用SSS证明，即可得到，由此证得结论．
【详解】证明：∵在和中，
，∴，∴，即AP平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点3、利用SSS证明三角形全等（求角的度数）
例3．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．(1)求证：．(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)45°
【分析】（1）证明△ADE≌△ACE（SSS），由全等三角形的性质得出∠ADE=∠C；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BDE=∠BED=75°，求出∠C的度数，则可求出答案．
【解析】 (1)证明：连接．
在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE=∠C；
(2)∵BD=BE，∠B=30°，∴∠BDE=∠BED=×（180°-30°）=75°，∴∠ADE=105°，
∵∠ADE=∠C，∴∠C=105°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ADE≌△ACE是解题的关键．
变式3. （2022 富宁县校级月考）如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE．（1）求证：△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度数．
【分析】（1）运用SSS定理易证明△BCE≌△DCE；
（2）设∠A＝x，根据题意得方程，5x＝180°，即可解得x＝36°，进而得到∠EDC的度数．
【解答】解：（1）证明：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SSS）．
（2）∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED，∴∠EDC＝∠A+∠AED＝2∠A，
设∠A＝x，根据题意得5x＝180°，解得x＝36°，∴∠EDC＝2∠A＝72°．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，解题时需要结合三角形的内角和与外角的相关知识进行计算．
考点4、利用SSS证明三角形全等（探究与证明）
例4．（2022 莲湖区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，若CE＝BF，AE＝EF+BF．试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，得到∠AEC＝∠BFC＝90°，由于CF＝CE+EF，CE＝BF，得到CF＝
EF+BF，于是得到AE＝CF，证得△ACE≌△CBF，得出∠BCF＝∠CAE，然后根据∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝∠CAE+∠AEC＝90°，即可得到结论．
【解答】解：AC⊥BC，理由如下：
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵CF＝CE+EF，CE＝BF，∴CF＝EF+BF，∵AE＝EF+BF，∴AE＝CF，
在△ACE≌△CBF中，∴△ACE≌△CBF，∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝∠CAE+∠AEC＝90°，∴AC⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键
变式4. （2022 荔城区校级月考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2．
【分析】由△ABD≌△ACE，可得∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，由∠3＝∠BAD+∠ABD，可得∠3＝∠1+∠2．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠BAD+∠ABD，∴∠3＝∠1+∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
考点5、边角边判定三角形全等的条件
例5．（2022 锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
【分析】由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
变式5. （2022 奎文区一模）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且AD＝AE，若由SAS判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是 ．
【分析】由题意可得∠A＝∠A，AD＝AE，则添加AB＝AC，由SAS判定△ABE≌△ACD．
【解答】解：添加AB＝AC，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS）故答案为：AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
考点6、利用SAS证明三角形全等（求长度或角度）
例6．（2022 洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．
变式6. （2022 弋江区期末）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP﹣ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，
∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，
在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，
∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒
变式7．（2022春 碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数．
【分析】利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中，，∴△DBE≌△CEF（SAS），∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B（180°﹣30°）＝75°，
∴∠1+∠2＝105°，∴∠3+∠2＝105°，∴∠DEF＝75°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
考点7、利用SAS判定三角形全等（实际应用）
例7．（2022 温岭市八年级期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．
【分析】根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】解：∵O是AB、CD的中点，∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴CB＝AD，
∵AD＝35cm，∴CB＝35（cm），答：CB的长度为35cm．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．
变式7. （2022 大连月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
【分析】甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案根据等腰三角形的性质得出AB＝BC，故方案可行．
【解答】解：甲、乙两同学的方案都可行，
甲同学方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；
乙同学方案：∵AD＝CD，DB⊥AC于点B，∴AB＝BC，
∴测量出线段BC的长度就是池塘两端A，B之间的距离，∴甲、乙两同学的方案都可行．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键
考点8、利用SAS证明三角形全等（探究与证明）
例8．（2022·福建·厦门五缘实验学校八年级期末）命题：如图，已知，共线，（1），那么．
(1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；
(2)根据你选择的条件，判定的方法是________；
(3)根据你选择的条件，完成的证明．
【答案】(1)① (2)SAS (3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）根据（1）直接填写即可；（3）利用SAS进行证明．
【解析】 (1)解：∵，∴∠A=∠F，
∵AC=EF，∴当时，可根据SAS证明；
当时，不能证明，故答案为：①；
(2)解：当时，可根据SAS证明，故答案为：SAS；
(3)证明：在△ABC和△FDE中，，∴．
【点睛】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
变式8. （2022 沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．
求证：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）证明△ABD≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠DFE＝90°，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠C；
（2）∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠C，∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠FDE，
在△ABD和△EDF中，，∴△ABD≌△EDF（SAS），
∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴DF⊥EF．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
变式9．（2022·安徽宿州市·七年级期末）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点．
（1）与全等吗？为什么？（2）与有何特殊的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）全等，理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据“边角边”证明三角形全等即可；
（2）由已知条件根据三角形内角和等于即可求证．
【详解】（1）全等．
因为，所以，即．
在和中，，， 所以．
（2），的特殊位置关系为．
理由：由（1）知，所以
因为
又因为，，所以所以．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．
考点9、角边角判定三角形全等的条件
例9．（2022 宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是 ．
【分析】利用ASA定理添加条件即可．
【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
变式9. （2022 覃塘区期中）如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D
【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
考点10、利用ASA证明三角形全等（求长度或角度）
例10．（2022·北京市八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，AB//DE，．
(1)求证：；(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明，再根据即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解析】 (1)解：证明：，，
在与中；
(2)解：，，，，
，，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
变式10.（2022春 岳麓区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．（1）求证：△AEH≌△BEC．（2）若AH＝4，求BD的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC＝4
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD＝4，∴BD＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
变式11．（2022·重庆市七年级月考）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．(1)求证：；(2)若，，求∠ADB度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）根据，，求出，根据，即可求出．
(1)解：证明：和相交于点，．
在和中，，．
又，，．
在和中，，；
(2)解：，，，
，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
考点11、利用ASA判定三角形全等（实际应用）
例11．（2022 孝义市八年级期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗
下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．
已知：如图，AB⊥CD， ．求证： ．
证明：
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：已知：如图，AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．求证：AD＝AC．
证明：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC，
在△ABD与△ABC中，，
∴△ABD≌△ABC（ASA），∴AD＝AC，
故答案为：∠ABC＝∠ABD，AD＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
变式11. （2022 金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．
【分析】过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，
在△AFG与△ECD中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），
∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：单元楼AB的高39米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点12、利用ASA证明三角形全等（探究与证明）
例12．（2022 岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．
【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得结论．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，
在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（ASA）；
（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，
∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，
在△DFA和△DFG中，，∴△DFA≌△DFG（SAS），
∴FA＝FG．∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．
变式12. （2022 涟源市八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求证：∠DAE＝∠C；（2）求证：AF＝BC．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD，再证明∠BAD＝∠DAE即可解决问题．（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，
∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C
（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB ∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB
∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
变式13. （2022 黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是 ，请说明理由．
【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明△ADE≌△BFE；
【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA），
（2）如图，EG⊥DF，
∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，
由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．
考点13、角角边判定三角形全等的条件
例13．（2022 句容市八年级月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
变式13. （2022 覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．
【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．
在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
考点14、利用AAS证明三角形全等（求长度或角度）
例2．（2022春 温江区校级期中）如图，B，E，G，D在同一条直线上，AC∥EP，∠A＝∠F，AB＝DC．①求证：AB∥DC．②若DG＝6，GE＝2，求BE的长．
【分析】①证明△ABG≌△CDG（AAS），可得∠B＝∠D，进而可以解决问题；
②根据全等三角形的性质定理即可得到结论．
【解答】①证明：∵AC∥EP，∴∠ACD＝∠F，∵∠A＝∠F，∴∠ACD＝∠A，
在△ABG和△CDG中，，∴△ABG≌△CDG（AAS），∴∠B＝∠D，∴AB∥DC；
②解：∵△ABG≌△CDG，∴BG＝DG＝6，∵GE＝2，∴BE＝BG﹣GE＝6﹣2＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
变式14.（2022春 郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【分析】（1）①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．
【解答】（1）证明：①在△ABD与△ECB中，
，∴△ABD≌△ECB（AAS）；
②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
例15．（2022 迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；
（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，根据AAS证出△ABC≌△BDE．
考点15、利用AAS判定三角形全等（实际应用）
例15．（2022 肇源县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
变式15. （2022 深圳八年级期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
【分析】由全等三角形的判定定理AAS得到△ABM≌△DCM，则其对应边相等：BM＝CM，AM＝DM，故AC＝DM﹣BM＝2m．
【解答】解：∵在△ABM与△DCM中，，
∴△ABM≌△DCM（AAS），∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，
∴AC＝AM﹣CM＝2m．即梯子下滑的高度是2m．
【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
考点16、利用AAS证明三角形全等（探究与证明）
例16．（2022 西城区八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；
（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；
（2）如图，连接BD，
∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
变式16.（2022 沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；
（2）证明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．
【解答】证明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，
∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（AAS）；
（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，
∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，
在△BDC和△FDC中，，∴△BDC≌△FDC（SAS），
∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．
【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
变式17. （2022 华容县八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；
（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．
【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；
（2）EF＝BE+CF 理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
考点17. 三角形的稳定性
例17．（2022·浙江八年级期中）下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条
【答案】3
【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．
【详解】解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；
②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；
④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．故利用了三角形稳定性的有3个．故答案为：3．
【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．
变式17. （2022 临海市八年级期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春 罗湖区八年级期末）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
【思路点拨】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【答案】解：∵∠AEC＝∠DEB，∴∠AED＝∠BEC，
∵E是线段AB的中点，∴AE＝BE，
A、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△BEC，符合题意；
B、添加DE＝CE，利用SAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
C、添加∠A＝∠B，利用ASA能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
D、添加∠C＝∠D，利用AAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
2．（2022 重庆八年级期中）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【思路点拨】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【答案】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
3．（2022 涪城区八年级期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝7 B．AC＝4，BC＝6，∠A＝60°
C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75° D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【解析】A、不满足三边关系，本选项不符合题意．
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
C、没有边的条件，三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
D、斜边直角边三角形唯一确定．本选项符合题意．故选：D．
4.（2022 宽城区八年级期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50° B．65° C．70° D．80°
【分析】根据SAS证明△ADC与△AEB全等，利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：在△ADC与△AEB中，，
∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，
∵∠BAC＝70°，∠C＝30°，∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°，
∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°，故选：A．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
5．（2022 禅城区一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
6．（2022·四川攀枝花·模拟预测）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．
【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2022 临河区八年级期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，△CAP与△PQB全等．
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果．
【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故选：C．
8．（2022 沙坪坝区八年级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拨】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【答案】解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，
∴，∴AE＝4，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，，
∴△BEC≌△HEA（AAS），∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，作这类题的关键在于准确找到判定三角形全等的条件，也要熟练运用全等三角形的性质．
9．（2022·山东临沂·八年级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在△PCQ与△PDQ中，，
∴△PCQ≌△PDQ（SSS），故①正确；∴∠CPQ=∠DPQ，
∵CP=DP，∴PQ⊥CD，CE=DE，故②③正确；
∴S四边形PCQD=S△PCQ+S△PDQ=PQ CE+PQ DE=PQ（CE+DE）=PQ CD，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题题了等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，∴∠BAE＝∠FAC＝40°，故①正确，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，∴∠EFB＝∠FAC＝40°，故③正确，
无法证明AD＝AC，故④错误，故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 齐齐哈尔八年级月考）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
【思路点拨】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【答案】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
12．（2022 宝山区八年级期末）如图，已知△ABC的面积为6，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ADC的面积为 ．
【思路点拨】延长BD交AC于点E，根据全等三角形判定证得△ABD≌△AED，得到BD＝DE，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得S△ADC＝S△ABC．
【答案】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，，
∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE（等底同高），
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ABC═2S△ADC＝6，∴S△ADC＝3，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
13．（2022 涪城区八年级期末）AD为△ABC中的中线，若AB＝8，AC＝6，那么AD的取值范围是 ．
【思路点拨】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【答案】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7．
【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
14．（2022·广东广州·八年级阶段练习）如图，要测量水池的宽度，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是______m．
【答案】160
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：，，
在与中，，≌，
，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
15．（2022 海珠区八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ ．
【思路点拨】根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD＝∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，求出∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，再求出答案即可．
【答案】解：在△BFD和△CDE中，
，∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据全等三角形的性质得出∠BFD＝∠CDE是解此题的关键．
16．（2022 松北区中考模拟）在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH＝AB，求∠ACB的大小为 ．
【思路点拨】根据同角的余角相等求出∠DCH＝∠DAB，再利用“角角边”证明△ABD和△CHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CD，求出△ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACD＝45°，然后分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可．
【答案】解：∵AD，CE为高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝90°，∠DCH+∠B＝90°，∴∠DCH＝∠DAB，
在△ABD和△CHD中，，
∴△ABD≌△CHD（AAS），∴AD＝CD，
∵AD是高，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，
如图1，△ABC是锐角三角形时，∠ACB＝∠ACD＝45°，
如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣45°＝135°，
所以，∠ACB的大小为45°或135°．故答案为：45°或135°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
17．（2022·浙江·八年级期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE=5，CF=3，则EF=______．
【答案】2
【分析】利用AAS证明△ABE≌△CAF，得BE=AF=5，AE=CF=3，从而得出答案．
【详解】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF=5，AE=CF=3，∴EF=AF-AE=2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CAF是解题的关键．
18．（2022·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____．
【答案】
【分析】连接，，利用证明，则，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得出，最后根据角平分线的定义即可得解．
【详解】解：连接，，
平分，，
在和中，，，，
平分，，，，
，，，
平分，，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，解题的关键是利用证明．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 宁波中考模拟）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．（1）求证：AE∥DF．（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
【分析】（1）证△ABE≌△DCF（SAS），得∠AEB＝∠DFC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，再求出∠A＝72°，然后由三角形的外角性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF，
在△ABE和△DF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，∴AE∥DF；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，
∵∠A+∠D＝144°，∴∠A＝72°，
∴∠AEC＝∠A+∠B＝72°+30°＝102°．
20．（2022 苍南县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝∠CBD＝40°．
21．（2022 东昌府区八年级期末）如图，已知等腰三角形ABC，两腰AB，AC的垂直平分线DF，EG，分别交BC，CB的延长线于点F，G．连接AG，AF．（1）猜想∠AGB和∠AFC的大小关系，并证明．（2）求证：△AGB≌△AFC．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出GA＝GC，AF＝BF，根据等腰三角形的性质求出∠AGE＝∠CGE，∠AFD＝∠BFD，再求出答案即可；
（2）求出∠ABG＝∠ACF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】（1）猜想∠AGB＝∠AFC．
证明：∵GE是AC的垂直平分线，∴GA＝GC，∴△GAC是等腰三角形，
∴EG是∠AGB的平分线，∴∠AGE＝∠CGE，
在Rt△GEC中，∠CGE＝90°﹣∠ACB，∴∠AGB＝2∠CGE＝2（90°﹣∠ACB），
同理可证：∠AFC＝2∠BFD＝2（90°﹣∠ABC），
又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠AGB＝∠AFC；
（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ABG＝180°，∠ACB+∠ACF＝180°，
∴∠ABG＝∠ACF（等角的补角相等），
在△AGB和△AFC中，
，
∴△AGB≌△AFC（AAS）．
22．（2022·河南驻马店·八年级期中）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）DF＝CD，CD⊥DF；（2）成立，见解析
【分析】（1）根据题意可直接证明△AFD≌△BDC，即可得出结论；
（2）仿照（1）的证明过程推出△ADF≌△BCD，即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意，∠A=∠B=90°，
在△AFD与△BDC中，∴△AFD≌△BDC(SAS)，∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵在Rt△BDC中，∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，
∴∠FDC=90°，∴CD⊥DF，故答案为：DF＝CD，CD⊥DF；
（2）成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，，
∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF；∴（1）中结论仍然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，掌握全等三角形的判定定理，熟练运用全等三角形的性质是解题关键．
23．（2022·河南平顶山市·八年级期中）在中，，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）如图1，如果点是边上任意一点，线段和线段的数量关系是 ；
（2）如图2，如果点为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．
【答案】（1）；（2）成立，见解析
【分析】（1）运用“SAS”证可得；
（2）运用“SAS”证可得．
【详解】解：（1），即．
是由绕点顺时针方向旋转得到的，．
又，，故答案为：．
（2）仍然成立．
证明如下：，即．
是由绕点顺时针方向旋转得到的，．
又，，．
【点精】全等三角形的判定和性质．理解全等三角形的判定和性质是关键．
24．（2022·北京市八年级期中）如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)当，则的长度为 ．
(3)猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析(2)8(3)，理由见解析
【分析】（1），，知，可证；
（2）根据计算求解即可；
（3）与相交于点，在与中，，，，进而可说明．
【解析】(1)解：（1），理由如下：
∴
在与中．
(2)解：故答案为：8．
(3)，理由如下：与相交于点，在与中
．
【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于证明三角形全等．
25．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，，，．
（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC=
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；
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专题1.5-1 全等三角形的判定
模块1：学习目标
1. 经历探索三角形的全等条件，掌握用“SSS”条件判定三角形全等的方法，了解三角形的稳定性；
2．探索并掌握两个三角形全等的条件“SAS”、“ASA”、“AAS”及运用“SAS”“ASA”、“AAS”判定两个三角形全等；了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件；
3. 体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程；能把证明（计算）角度相等或线段相等的问题，转化为证明他们所在的两个三角形全等；
模块2：知识梳理
1、全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
如图1，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS）
图1
2. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
图2 图3
1）如图2，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，则△ABC≌△（SAS）.
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图3，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
3、全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
如图4，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△（ASA）
图4
4、全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
图5 图6
如图5，如果∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.（AAS）
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图6，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
5、判定方法的选择
1)选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS/AAS/ASA
两角对应相等 ASA /AAS
两边对应相等 SAS/SSS
2)如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
6．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
模块3：核心考点与典例
考点1、边边边判定三角形全等的条件
例1．(2022.山东省济南市八年级期中)如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；
变式1. （2022·北京·八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
考点2、利用边边边判定三角形全等（实际应用）
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
例2．（2022·重庆渝北·八年级期末）工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
变式2.（2022·福建莆田·八年级期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？
考点3、利用SSS证明三角形全等（求角的度数）
例3．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．(1)求证：．(2)若，，求的度数．
变式3. （2022 富宁县校级月考）如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE．（1）求证：△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度数．
考点4、利用SSS证明三角形全等（探究与证明）
例4．（2022 莲湖区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，若CE＝BF，AE＝EF+BF．试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．
变式4. （2022 荔城区校级月考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2．
考点5、边角边判定三角形全等的条件
例5．（2022 锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
变式5. （2022 奎文区一模）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且AD＝AE，若由SAS判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是 ．
考点6、利用SAS证明三角形全等（求长度或角度）
例6．（2022 洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
变式6. （2022 弋江区期末）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式7．（2022春 碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数．
考点7、利用SAS判定三角形全等（实际应用）
例7．（2022 温岭市八年级期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．
变式7. （2022 大连月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
考点8、利用SAS证明三角形全等（探究与证明）
例8．（2022·福建·厦门五缘实验学校八年级期末）命题：如图，已知，共线，（1），那么．
(1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；
(2)根据你选择的条件，判定的方法是________；
(3)根据你选择的条件，完成的证明．
变式8. （2022 沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．
求证：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．
变式9．（2022·安徽宿州·七年级期末）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点．（1）与全等吗？为什么？（2）与有何特殊的位置关系，并说明理由．
考点9、角边角判定三角形全等的条件
例9．（2022 宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是 ．
式9. （2022 覃塘区期中）如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D
考点10、利用ASA证明三角形全等（求长度或角度）
例10．（2022·北京市八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，AB//DE，．
(1)求证：；(2)若，，求的长度．
变式10.（2022春 岳麓区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．（1）求证：△AEH≌△BEC．（2）若AH＝4，求BD的长．
变式11．（2022·重庆市七年级月考）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．(1)求证：；(2)若，，求∠ADB度数．
考点11、利用ASA判定三角形全等（实际应用）
例11．（2022 孝义市八年级期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗
下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．
已知：如图，AB⊥CD， ．求证： ．
证明：
变式11. （2022 金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．
考点12、利用ASA证明三角形全等（探究与证明）
例12．（2022 岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．
12. （2022 涟源市八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求证：∠DAE＝∠C；（2）求证：AF＝BC．
变式13. （2022 黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是 ，请说明理由．
考点13、角角边判定三角形全等的条件
例13．（2022 句容市八年级月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
变式13. （2022 覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
考点14、利用AAS证明三角形全等（求长度或角度）
例2．（2022春 温江区校级期中）如图，B，E，G，D在同一条直线上，AC∥EP，∠A＝∠F，AB＝DC．①求证：AB∥DC．②若DG＝6，GE＝2，求BE的长．
变式14.（2022春 郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
例15．（2022 迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
考点15、利用AAS判定三角形全等（实际应用）
例15．（2022 肇源县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．
变式15. （2022 深圳八年级期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
考点16、利用AAS证明三角形全等（探究与证明）
例16．（2022 西城区八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
变式16.（2022 沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．
变式17. （2022 华容县八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
考点17. 三角形的稳定性
例17．（2022·浙江八年级期中）下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条
变式17. （2022 临海市八年级期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春 罗湖区八年级期末）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
2．（2022 重庆八年级期中）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
3．（2022 涪城区八年级期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝7 B．AC＝4，BC＝6，∠A＝60°
C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75° D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°
4.（2022 宽城区八年级期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50° B．65° C．70° D．80°
5．（2022 禅城区一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
6．（2022·四川攀枝花·模拟预测）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
7．（2022 临河区八年级期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，△CAP与△PQB全等．
A．2 B．3 C．4 D．8
8．（2022 沙坪坝区八年级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．（2022·山东临沂·八年级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 齐齐哈尔八年级月考）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
12．（2022 宝山区八年级期末）如图，已知△ABC的面积为6，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ADC的面积为 ．
13．（2022 涪城区八年级期末）AD为△ABC中的中线，若AB＝8，AC＝6，那么AD的取值范围是 ．
14．（2022·广东广州·八年级阶段练习）如图，要测量水池的宽度，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是______m．
15．（2022 海珠区八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ ．
16．（2022 松北区中考模拟）在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH＝AB，求∠ACB的大小为 ．
17．（2022·浙江·八年级期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE=5，CF=3，则EF=______．
18．（2022·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 宁波中考模拟）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．（1）求证：AE∥DF．（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
20．（2022 苍南县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．
21．（2022 东昌府区八年级期末）如图，已知等腰三角形ABC，两腰AB，AC的垂直平分线DF，EG，分别交BC，CB的延长线于点F，G．连接AG，AF．（1）猜想∠AGB和∠AFC的大小关系，并证明．（2）求证：△AGB≌△AFC．
22．（2022·河南驻马店·八年级期中）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
23．（2022·河南平顶山市·八年级期中）在中，，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）如图1，如果点是边上任意一点，线段和线段的数量关系是 ；
（2）如图2，如果点为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．
24．（2022·北京市八年级期中）如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)当，则的长度为 ．(3)猜想与的位置关系，并说明理由．
25．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，，，．
（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
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