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专题1.6 尺规作图
模块1：学习目标
1. 了解尺规作图的含义和基本尺规作图的范围；
2. 会进行以下尺规作图，并了解作法的理由。
①作一个角等于已知角； ②作已知线段的中垂线和角平分线；③过直线外一点作已知直线的平行线；
④在给定边角条件下，求作三角形。
模块2：知识梳理
1、用尺规作三角形
根据三角形判定定理，掌握用尺规做三角形及做一个三角形与已知三角形全等。
尺规作三角形的类型：已知三边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知两角和任意一边作三角形。
1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．
图4－4－16
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；
图4－4－17 图4－4－18 图4－4－19 图4－4－20
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；
(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；
(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．
注意：我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
图4－4－22 图4－4－23 图4－4－24
作法：(1)作∠DAF＝∠α；(2)在射线AF上截取线段AB＝c；(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．
注意：我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
3）已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．
图4－4－25
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；
图4－4－26 图4－4－27 图4－4－28
(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；
(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
注意：我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等
4）作垂直平分线 已知：线段．求作：的垂直平分线．
作法：（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
（2）作直线． 直线就是线段的垂直平分线．
5）作角平分线， 已知：角．求作：射线，使．
作法：（1）在和上分别截取，，使．
（2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
（3）作射线．就是的平分线．
模块3：核心考点与典例
考点1、尺规作图-作一个角等于已知角
例1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，为已知角，在用圆规和直尺准确地画时，以下是打乱的作图步骤：
①以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交于点C，交于点D；
②画射线；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；
④经过点画射线；⑤以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点
作图步骤的正确排序为（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤④ C．②①③⑤④ D．②③①④⑤
【答案】C
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤排序即可．
【详解】解：正确步骤为：②画射线
①以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交于点C，交于点D
③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点
⑤以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点
④经过点画射线 故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤是解答本题的关键．
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，在三角形中，交于点D，利用尺规作图法在上求作点E，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】要想，则要是，因此只需要作即可．
【详解】解：如图所示，点E即为所求．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知平行线的性质和判定条件是解题的关键．
考点2、尺规作图-作角的和差
例2．（2023春·陕西西安·七年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知和. 求作：，使得.
【答案】画图见解析
【分析】作射线，以的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，交的两边于E、F两点，以O为圆心，相同长度为半径作弧，交于点M，以点M为圆心的长为半径作弧，两弧交于点A，作射线，此时；同理作，即可作出．
【详解】解：作出，作射线，以的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，交的两边于E、F两点，以O为圆心，相同长度为半径作弧，交于点M，以点M为圆心的长为半径作弧，两弧交于点A，作射线，此时；
作出，如下图所示，
作出，
【点睛】此题考查的是尺规作图，掌握作一个角等于已知角是解决此题的关键．
变式2．（2023春·广东清远·七年级统考期中）已知，，用尺规完成下列作图：
(1)求作；(2)．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）根据角的和的作法作图即可；（2）根据角的差的作法作图即可．
【详解】（1）解：如图1中，即为所求；
（2）如图2中，即为所求．
【点睛】题目考查角的和差作法，熟练掌握角的基本作图方法是解题关键．
考点3、尺规作图-过直线外一点作已知直线的平行线
例3．（2023·山西·校联考二模）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线l和直线l外一点P，用无刻度的直尺和圆规过点P作l的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判断方法，结合作图逐项进行判断即可．
【详解】解：A．根据作图可知，，∴，故A正确，不符合题意；
B．根据作图无法判断所作直线与l平行，故B错误，符合题意；
C．根据作图可知，P为的中点，为的中点，∴，故C正确，不符合题意；
D．根据作图可知，平分，，则，，
∴，∴，故D正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的作图，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法．
变式3．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知：如图，和上的一点P．
(1)求作直线，使直线过点P且；
(2)写出一对相等的同位角和一对互补的同旁内角．
【答案】(1)见解析 (2)相等的同位角为和互补的同旁内角为和．
【分析】（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据平行线的性质，同位角和同旁内角的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，∴，
∴相等的同位角为和互补的同旁内角为和．
【点睛】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质，同位角，同旁内角的定义，熟知相关知识是解题的关键．
考点4、尺规作图-作三角形
例4．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）已知，用尺规作出，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】画一条直线，任意取一点，以点为圆心，长度为半径画弧，交直线于点，然后分别以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即根据构造直角三角形即可．
【详解】解：如图，即为所作．
【点睛】本题考查了复杂作图－尺规作图，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解本题的关键．
变式4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知线段，求作，使，，，下面作法的合理顺序为（ ）
分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；作直线，在上截取；
连接，则为所求作的三角形．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答；
【详解】作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：
作直线，在上截取；分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
连接，则为所求作的三角形．所以合理的顺序为： 故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握作三角形，使三角形的三边等于已知边的方法是关键．
变式5．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）根据下列已知条件．能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．由，则不能画出三角形，故不符合题意；
B．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理“”，能画出唯一的一个三角形，故符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．
变式6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】作图见解析．
【分析】先作，然后在射线、上分别取线段，，连接即可得解．
【详解】解：如下图所示，为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了尺规作一个三角形，解题的关键是能用尺规作一个角等于已知角．
考点5、结合尺规作图的全等问题
例5．（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是________．
【答案】4
【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于，又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
【详解】如图，分三种情况，①公共边是AC，符合条件的是△ACE；
②公共边是BC，符合条件的是△BCF，△CBG，△CBH；
③公共边是AB，有符合条件的三角形，但是顶点不在格点上．综上，共有4个．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．
变式5.（2022 和平区八年级月考）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个．
【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．
【解答】解：如图，
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．所以可画出6个．
故答案：6．
【点评】本题考查全等三角形的判定，三条对应边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江八年级课时练习）尺规作图的工具是（ ）．
A．刻度尺和圆规 B．三角尺和圆规 C．直尺和圆规 D．没有刻度的直尺和圆规
【答案】D
【分析】根据尺规作图的定义作答．
【详解】解：“尺规作图”中的尺是指没有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度．故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，解题的关键是掌握尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
2．（2023春·浙江八年级课时练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）．
A．画线段
B．用量角器画出的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线
D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使
【答案】D
【详解】解：根据尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规作图，不难判断，只有D 选项属于尺规作图．故选D．
【点睛】点睛：掌握尺规作图的概念．
3．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
4．（2022·浙江八年级课时练习）下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】．根据一个三角形的两角与一边，或，这个三角形一定可以作出；所以选项不符合题意；．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以选项符号题意；
．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；所以选项不符合题意；
．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．所以选项不符合题意．故选：．
【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
【答案】D
【分析】尺规作图—做一个角等于已知角，首先在以O为圆心，任意长度为半径画弧，与的两边交于点，，以点为圆心，长度为半径作弧，交于点，以为圆心为半径画弧，与前弧交于点，由此步骤分析出正确的选项即可．
【详解】解：本题中，弧是以点为圆心，的长为半径的弧，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图—做一个角等于已知角，能够熟练掌握尺规作图的步骤是解决本题的关键．
6．（2022·河南周口·七年级统考期末）已知锐角∠AOB，如图所示：
①在OA、OB上截取OD、OE，使OD＝OE
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠AOB内交于C，连接OC
③过C作CG∥BO交OA于G，作CF⊥OB于F点．
下列结论不一定成立的是．（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．CG＝OG C．∠AGC＝∠AOB D．CG＝CF
【答案】D
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；根据平行线的性质可证明∠GCO=∠GOC，则GO=GC，于是可对B选项进行判断；利用平行线的性质对C选项进行判断；作CH⊥OA于H，如图，根据角平分线的性质得到CH=CF，再根据垂线段最短得到CH＜CG，则可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，所以A选项不符合题意；
∵CG∥OB，∴∠GCO=∠BOC，∴∠GCO=∠GOC，∴GO=GC，所以B选项不符合题意；
∵CG∥OB，∴∠AGC=∠AOB，所以C选项不符合题意；作CH⊥OA于H，如图，
∵OC平分∠AOB，∴CH=CF，∵CH＜CG，
∴CF＜CG，所以D选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和角平分线的性质．
7．（2022春·福建宁德·七年级校联考期中）如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据基本作图痕迹可知内错角相等，再根据平行线的判定解答即可．
【详解】解：由作图可知，内错角相等，则这两条直线平行，故选：D．
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、平行线的判定，理解题意，根据作图痕迹得出内错角相等是解答的关键．
8．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解．
【详解】解：由作图痕迹得，平分，∴，
∵，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
9．（2022春·贵州贵阳·八年级校考期中）在中，．下列图中用尺规作图在边上取一点D，使的是（）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】由作图痕迹可知，A选项所作为为的平分线，B选项所作为选项所作为线段的垂直平分线，D选项所作为，由此可得答案．
【详解】解∶A．由作图痕迹可知，$AD$为的平分线，不能得出，
故A选项不符合题意；
B．由作图 迹可知，，不能得出，故B选项不符合题意；
C．由作图痕迹可知，所作为线段$AB$的垂直平分线，可得，故C选项符合题意；
D．由作图 迹可知，，可得，不能得出，
故D选项不符合题意．故选∶C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解答本题的关键．
10．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，已知线段，求作，使，芮芮的作法如图所示，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
【答案】A
【分析】根据作图痕迹可知，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端作，交于点A，从而可得到所要求作的三角形．
【详解】解：A、根据作图可得，作的依据为，故正确；
B、弧是以B为圆心，长为半径画的，故错误；
C、弧是以点B为圆心，a为半径画的，故错误；
D、弧是以点Q为圆心，长为半径画的，故错误．故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图．解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是______．
【答案】
【分析】由作法得，根据可证，由全等三角形的对应角相等得到．
【详解】解：由作法得，
在与中，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线l和l外一点P．
求作：过点P的直线m，使得m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图2，（1）在直线l上任取点A，连接PA；
（2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；
（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【详解】∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
13．（2023春·广西八年级课时练习）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号）
【答案】②①③
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．故答案为：②①③．
【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．
14．（2022·浙江八年级期中）在中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°； ④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是___________（填序号）.
【答案】①③④
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
15．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是：_________．
【答案】①②③
【分析】由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知， 为的平分线，为线段的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得，故①正确，不符合题意；
∵为线段的垂直平分线，∴，，
∴，， ∴，
∵为的平分线，∴，∴
故②正确，不符合题意；由图中尺规作图痕迹可知， 为线段的垂直平分线，
∴ 故③正确，不符合题意；
∵F是的垂直平分线与的平分线的交点，∴根据已知条件不能得出平分，
∴与不一定相等，故④不一定正确，符合题意．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质和尺规作图，角平分线的尺规作图是解答本题的关键．
16．（2022秋·山东菏泽·八年级校考阶段练习）在中，已知，，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使是等腰三角形，则下列作法中，正确的有______．（填序号）
【答案】②③/③②
【分析】根据作图痕迹可知，图①作的是∠BAC的平分线，图②作的是CA=CD，图③作的是AC的垂直平分线，然后逐一判断即可解答．
【详解】解：图①：由题意得：AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，
∵∠BAC=90°，AB≠AC，∴∠B≠∠C≠45°，∴∠C≠∠CAD=45°，
假设AB＜AC，则有∠B＞∠C，即∠B＞45°＞∠C，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+45°＞45°，∴∠ADC＞45°＞∠C，
∴∠ADC＞∠CAD＞∠C，∴△ACD不是等腰三角形，
若AB＞AC，同理可得△ACD不是等腰三角形，故①错误；
图②：由题意得：CA=CD，∴△ACD是等腰三角形，故②正确；
图③：由题意得：点D在AC的垂直平分线上，∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形，故③正确，∴上列作法中，正确的有：②③，故答案为：②③．
【点睛】本题考查了基本作图－解平分线、线段垂直平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
【答案】35°/35度
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【详解】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：，
在和中
AH平分
故答案为：．
【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
18．（2023春·广东·八年级专题练习）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】②③/③②
【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．
综上：②③正确．故答案为：②③
【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北邯郸市·八年级月考）尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）
【答案】见解析．
【分析】利用基本作图来解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．
【详解】解：如图，为所作．
【点睛】本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图中的基本作图，会用基本作图解决问题是解题关键．
20．（2023·广东东莞·校考一模）如图，已知，．
(1)尺规作图：过点A作，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，则
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画出即可；
（2）利用等角的余角相等可得．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）证明：，，
，，
在中，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
21．（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：两条相交公路与形成的区域内部有两个居民小区，可近似的看作点D与点E．为了给居民提供便利，社区要在内部区域内选择一处地址修建快递柜，使选址点P到两个居民区和两条公路距离均相等．请用尺规作图法作出点P的位图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】分别作出线段的垂直平分线，的角平分线即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，为锐角三角形．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点D，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】先作，在过点C作的垂线，垂直D即为所求．
【详解】解：如图所示，点D即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，作一个与已知角相等的角，熟知相关作图方法是解题的关键．
23．（2022·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于D，连接AD即可；
（2）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠ACB的平分线CG；（3）先作线段EF=BC，然后分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧交于点D，则△DEF与△ABC全等．
【详解】解：（1）如图，AD即为所作；
（2）如图，CG即为所作；
（3）如图，△DEF为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知及上一点A，
(1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可；
（2）以点为圆心，已任意长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，以长为半径，在的下方画弧，与之前的弧交于点，再以点为圆心，以长为半径，在点下方画弧，与第一个弧交于点，连接，并延长至点，即可得出．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求，此时线段的长为点A到直线的距离．
（2）解：如图，即为所求，
【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）动手操作题： 如图，三角形ABC， 按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：
(1)作∠ABC的平分线，交AC于点D；(2)过点D作BC的平行线，交AB于点E；
(3)写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外）_______________；
(4)写出一对相等的线段_______________．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（答案不唯一）(4)
【分析】（1）根据角平分线的作法，即可作出角平分线；（2）根据平行线的作法，即可作出平行线；
（3）根据题目条件即可判断；（4）关键题目条件即可判断．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：由题意知，（答案不唯一）；
（4）解：由题意知，．
【点睛】本题主要考查作图，熟练掌握基本知识是解题的关键．
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专题1.6 尺规作图
模块1：学习目标
1. 了解尺规作图的含义和基本尺规作图的范围；
2. 会进行以下尺规作图，并了解作法的理由。
①作一个角等于已知角； ②作已知线段的中垂线和角平分线；③过直线外一点作已知直线的平行线；
④在给定边角条件下，求作三角形。
模块2：知识梳理
1、用尺规作三角形
根据三角形判定定理，掌握用尺规做三角形及做一个三角形与已知三角形全等。
尺规作三角形的类型：已知三边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知两角和任意一边作三角形。
1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．
图4－4－16
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；
图4－4－17 图4－4－18 图4－4－19 图4－4－20
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；
(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；
(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．
注意：我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
图4－4－22 图4－4－23 图4－4－24
作法：(1)作∠DAF＝∠α；(2)在射线AF上截取线段AB＝c；(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．
注意：我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
3）已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．
图4－4－25
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；
图4－4－26 图4－4－27 图4－4－28
(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；
(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
注意：我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等
4）作垂直平分线 已知：线段．求作：的垂直平分线．作法：（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
（2）作直线． 直线就是线段的垂直平分线．
5）作角平分线， 已知：角．求作：射线，使．
作法：（1）在和上分别截取，，使．
（2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
（3）作射线．就是的平分线．
模块3：核心考点与典例
考点1、尺规作图-作一个角等于已知角
例1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，为已知角，在用圆规和直尺准确地画时，以下是打乱的作图步骤：
①以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交于点C，交于点D；
②画射线；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；
④经过点画射线；⑤以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点
作图步骤的正确排序为（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤④ C．②①③⑤④ D．②③①④⑤
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，在三角形中，交于点D，利用尺规作图法在上求作点E，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
考点2、尺规作图-作角的和差
例2．（2023春·陕西西安·七年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知和. 求作：，使得.
变式2．（2023春·广东清远·七年级统考期中）已知，，用尺规完成下列作图：
(1)求作；(2)．
考点3、尺规作图-过直线外一点作已知直线的平行线
例3．（2023·山西·校联考二模）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线l和直线l外一点P，用无刻度的直尺和圆规过点P作l的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（ ）
A．B．C． D．
变式3．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知：如图，和上的一点P．
(1)求作直线，使直线过点P且；(2)写出一对相等的同位角和一对互补的同旁内角．
考点4、尺规作图-作三角形
例4．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）已知，用尺规作出，使．（不写作法，保留作图痕迹）
变式4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知线段，求作，使，，，下面作法的合理顺序为（ ）
分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；作直线，在上截取；
连接，则为所求作的三角形．
A． B． C． D．
变式5．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）根据下列已知条件．能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
变式6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）．
考点5、结合尺规作图的全等问题
例5．（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是________．
变式5.（2022 和平区八年级月考）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江八年级课时练习）尺规作图的工具是（ ）．
A．刻度尺和圆规 B．三角尺和圆规 C．直尺和圆规 D．没有刻度的直尺和圆规
2．（2023春·浙江八年级课时练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）．
A．画线段
B．用量角器画出的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线
D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使
3．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江八年级课时练习）下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
6．（2022·河南周口·七年级统考期末）已知锐角∠AOB，如图所示：
①在OA、OB上截取OD、OE，使OD＝OE
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠AOB内交于C，连接OC
③过C作CG∥BO交OA于G，作CF⊥OB于F点．
下列结论不一定成立的是．（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．CG＝OG C．∠AGC＝∠AOB D．CG＝CF
7．（2022春·福建宁德·七年级校联考期中）如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
8．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·贵州贵阳·八年级校考期中）在中，．下列图中用尺规作图在边上取一点D，使的是（）
A．B．C． D．
10．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，已知线段，求作，使，芮芮的作法如图所示，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是______．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线l和l外一点P．
求作：过点P的直线m，使得m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图2，（1）在直线l上任取点A，连接PA；
（2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；
（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．
13．（2023春·广西八年级课时练习）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号）
14．（2022·浙江八年级期中）在中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°； ④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是___________（填序号）.
15．（2022·北京平谷·八年级统考期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是：_____．
16．（2022秋·山东菏泽·八年级校考阶段练习）在中，已知，，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使是等腰三角形，则下列作法中，正确的有______．（填序号）
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
18．（2023春·广东·八年级专题练习）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北邯郸市·八年级月考）尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）
20．（2023·广东东莞·校考一模）如图，已知，．
(1)尺规作图：过点A作，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，则
21．（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：两条相交公路与形成的区域内部有两个居民小区，可近似的看作点D与点E．为了给居民提供便利，社区要在内部区域内选择一处地址修建快递柜，使选址点P到两个居民区和两条公路距离均相等．请用尺规作图法作出点P的位图，不写作法，但要保留作图痕迹．
22．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，为锐角三角形．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点D，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）
23．（2022·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
24．（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知及上一点A，
(1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得．
25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）动手操作题： 如图，三角形ABC， 按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：
(1)作∠ABC的平分线，交AC于点D；(2)过点D作BC的平行线，交AB于点E；
(3)写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外）_______________；
(4)写出一对相等的线段_______________．
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