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专题1.8 三角形的初步认识 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．
【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
2．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差．
【详解】解：∵AD是中线，∴，
∵，，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
3.（2022 浙江八年级期中）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，CD、BE交于点F，现给出下面两个命题：①当CD、BE是△ABC的中线时，S三角形BFC＝S四边形ADFE；②当CD、BE是△ABC的角平分线时，∠BFC＝90°+∠A．下列说法正确的是（ ）
A．①是真命题 ②是假命题 B．①是假命题 ②是真命题
C．①是假命题 ②是假命题 D．①是真命题 ②是真命题
【分析】由CD、BE是△ABC的中线，得出F是△ABC的重心，根据三角形重心的性质以及三角形的面积公式可判定①是真命题；根据角平分线定义以及三角形内角和定理可判定②是真命题．
【解答】解：①∵CD、BE是△ABC的中线，∴F是△ABC的重心，∴S三角形BFC=S三角形ABC，
S三角形EFC=S三角形BEC=S三角形ABC，S三角形BDF=S三角形BDC=S三角形ABC，
∴S四边形ADFE＝S三角形ABC﹣S三角形BFC﹣S三角形EFC﹣S三角形BDF＝S三角形ABC-S三角形ABC-S三角形ABC-S三角形ABC=S三角形ABC，∴S三角形BFC＝S四边形ADFE，故命题①正确；
②∵CD、BE是△ABC的角平分线，∴∠BCF=∠BCA，∠FBC=∠ABC，
∴∠BFC＝180°﹣（∠BCF+∠FBC）＝180°-（∠BCA+∠ABC）＝180°-（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，故命题②正确．故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：
【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
5．（2022·河北唐山市·八年级期末）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．
【详解】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2022·湖北八年级期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】解：如图，在上截取 连接
平分
故选：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
7.（2022 锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
【分析】由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
8．（2022·广东中山市·八年级期中）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
【答案】D
【分析】首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根据全等三角形的性质，即可一一判断．
【详解】∵∠ACB＝∠CED＝90° 在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合题意，其他选项不符合题意故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握HL定理判定三角形全等是解题关键
9．（2022·广西梧州市·八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】证△ADB≌△BEC即可．
【详解】证明：∵， ，∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，∴△ADB≌△BEC，
∴，AD=BE，故①正确；DE=DB+BE=CE+AD，故③正确；故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形．
10．（2022·黑龙江松北初二期末）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】①根据直角三角形斜边上的中线性质进行判断；
②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，由角平分线定理和三角形边的关系判断便可；
③根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，然后证明△BDF与△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，从而判断③正确；
④根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断④正确．
【解析】解：①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC=90°，∵H是BC边的中点，∴DH=CD，∴①正确；
②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，
∵BE平分∠ABC，∴DF=FM，∴DF＜FC，∴②错误；
③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∴③正确；
④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC，
∵AC=BF，∴CE=BF，∴④正确．所以，正确的结论是①③④，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 临海市八年级期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
12．（2022·北京·校考模拟预测）写出一组能说明命题“对于任意实数a，b，若，则”是假命题的a，b的值为_________，___________．
【答案】 (答案不唯一) (答案不唯一)
【分析】当，时，根据有理数的大小比较法则得到根据有理数的乘方法则得到，根据假命题的概念解答即可．
【详解】解：例如，，；
因，满足，而，即，
∴对于任意实数a，b，若，则是假命题，
故答案为：①；②(答案不唯一)．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、有理数的乘方，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．（2022·湖北鄂州市·八年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2= 。
【答案】45°
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
14.（2022·浙江长兴·八年级阶段练习）一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的．其中真命题是______．（用序号填写）
【答案】②
【分析】根据满分为100分，若两人分数的和是160分，即使让其中一人的得分最高是100，另一人的得分是60，则他们分数的差也不会是60分.所以命题②是正确的．
【详解】解：若设李华的说法是真命题，则两个人的分数和为160分，若其中一人拿100分，另一人拿60分，那么他们的差最大，为100-60=40分<60分
因此他们两人之中，至少有人说谎，故本题的真命题是②．故选：②
【点睛】本题考查了命题的真假，解决问题的关键是读懂题意，能够根据满分100分进行分析判断．
15．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
【答案】
【分析】①由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为． ②由平行线的性质即可求出，根据题意可求出，再根据三角形内角和定理即可求出，最后由对顶角相等即可求出，即太阳光与该晷面所夹锐角度为．
【详解】①根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，∴地轴与晷面垂直，
又∵晷针与地轴平行，∴晷针与晷面垂直．即晷针与晷面夹角为．
②可将题干中图简化为如下图：
根据题意结合图形可知：，，，．
∵，∴，即，
∴，即．
∵，．∴．
∴．
∴．即太阳光与该晷面所夹锐角度为．故答案为，．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理．理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键．
16．（2022·浙江八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．
【答案】2
【分析】根据题意延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后求解即可．
【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与BD相等的线段CF．
17．（2022·湖北武汉市·八年级期末）问题背景：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，求的最大值．解决方法：以为边作等边，连接，推出，当点在的延长线上时，线段取得最大值．
问题解决：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，当取得最大值时，的度数为_________．
【答案】
【分析】以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，连接EB，利用SAS证出△ECB≌△ACD，从而得出EB=AD，然后根据两点之间线段最短即可得出当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，然后求出∠CAB的度数，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出∠ACB，从而求出∠ACD．
【详解】解：以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，连接EB
∵∴∠ECA＋∠ACB=∠BCD＋∠ACB∴∠ECB=∠ACD
在△ECB和△ACD中∴△ECB≌△ACD∴EB=AD
∴当AD取得最大值时，EB也取得最大值
根据两点之间线段最短可知EB≤EA＋EB，当且仅当E、A、B三点共线时取等号
即当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，
∵△CEA为等腰直角三角形∴∠CAE=45°∴此时∠CAB=180°―CAE=135°
∵∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠CAB）=°
∴∠ACD=∠ACB＋∠BCD=故答案为：．
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短的应用，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短是解决此题的关键．
解题的关键．
18．（2022·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____．
【答案】
【分析】连接，，利用证明，则，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得出，最后根据角平分线的定义即可得解．
【详解】解：连接，，
平分，，
在和中，，，，
平分，，，，
，，，
平分，，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，解题的关键是利用证明．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江宁波市·八年级期末）已知：两边及其夹角，线段，，．
求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．
【答案】作图见解析；SSS，SAS．
【分析】（1）首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a，AB=c，再连接AC；（2）根据三角形全等的判定定理可得．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS．
【点睛】本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．
20．（2022·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析
【分析】（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”．
【详解】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°．
（2）结论：，都是“梦想三角形”
理由：，，，
，为“梦想三角形”，
，，，
，，“梦想三角形”．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（2022·山东德州市·八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度．
【答案】16米
【分析】已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定义可得∠CDO=，可得PB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB，即可根据ASA定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．
【详解】∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP=，∴∠ABP=，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD=PB，
在△ABP与△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD=AB=16米．
【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．
22．（2022·山东·德州八年级阶段练习）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：
(1)探究1：如图1，在中，P是与的平分线BP和CP的交点，探究与的关系，并说明理由．
(2)探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，若，则=________．
(3)探究3：如图3中，在中，P是与的平分线BP和CP的交点，过点P作，交AC于点D．外角的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是（ ）
A． B． C．
(4)探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，在探究3条件的基础上，
①试判断DP与CE的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为 ．
【答案】(1)，理由见解析
(2)50°
(3)B
(4)①，理由见解析；②45°或60°
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解；
（2）由（1）中结论可得，再依据角平分线的定义，即可得出和均为直角，再根据四边形内角和进行计算，即可得到的度数以及与的关系；
（3）由（1）中结论可得，再根据垂线的定义以及三角形外角性质，即可得出，进而求解；
（4）①根据，即可得到，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解；
②由①可得出，再根据在中一个内角等于的3倍，分三种情况讨论求解．
【详解】（1）解：．
理由：
∵BP和CP分别是和的角平分线，
∴，，
∴．
又∵在中， ，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，．
∵H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，P是与的平分线BP和CP的交点，
∴．
同理可得，
∴四边形PBHC中，．
故答案为：50°；
（3）解：由（1）可得，．
∵，PC平分∠ACB，
∴，．
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案为：B；
（4）解：①．
理由：
∵，
∴．
∵PC，EC分别平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，
∴．
∵BP平分，BH平分，
∴，
∴．
分三种情况：
①若，
则，
解得 (不合题意)，
②若，
则，
∴，
解得，
∴，
由（2）可得，，
即，
∴；
③若，
则，
∴，
解得，
∴，
由(2)可得，，
∴；
综上所述，的度数为45°或60°．
故答案为：45°或60°．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查的是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理以及平行线的判定的综合运用．熟记基本图形中的结论，准确识图并灵活运用基本结论是解题的关键．
23．（2022·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变
（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想.
（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？
【答案】(1) BE=CD （2）线段BE与CD的大小关系不会改变 （3）AE＝CG，证明见解析 （4）这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.
【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．
【详解】（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；（2）线段BE与CD的大小关系不会改变；
（3）AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．
（4）这些结论可以推广到任意正多边形．
如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．
【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．
24．（2022·浙江温州市·八年级月考）在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D. (1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.
【分析】（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；
（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；
（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．
【详解】解：（1）如图1，
∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
∴△ACO≌△ODB（AAS），∴OC=BD，AC=OD，∴CD=AC+BD；
（2）如图2，∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，,∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．
（3）如图3，∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，,∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，即CD=BD﹣AC．
【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.
25．（2022·湖北八年级期末）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．
求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析
【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．
【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边．
任务二：
任务三：EF=2AD．理由如下：如图延长AD至G，使DG=AD，
∵AD是BC边上的中线∴BD=CD
在△ABD和△CGD中∴△ABD≌△CGD∴AB=CG，∠ABD=∠GCD
又∵AB=AE∴AE=CG
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°
又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°
∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°∴∠EAF=∠GCD
在△EAF和△GCA中∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG∴EF=2AD．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
26．（2022·南昌市心远中学八年级期中）在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________．
在图2中，，，，，，；则__________．
归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
实际应用:（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离．
【答案】（1）5，2.5；（2）EF=BE+FD；（3）1650m．
【分析】（1）先证明出△ABE△ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结果；延长CD到G，使BE=DG，连接AG，同理证明即可；
（2）延长FD到G，使BE=DG，利用条件证明△ABE△ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结论；（3）依照结论（2），延长DB到E，使BE=AC，连接OE，通过求证△OAC△OBE和△OCD△OED得出CD=DE=BD+BE=BD+AC，代入数据求值即可．
【详解】（1）∵BE=DG=2，∠B=∠ADG=90°，AB=AD；
∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG， ∠BAE=∠DAG，
又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，
∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=3+2=5；
延长CD到G，使BE=DG，连接AG，同理可证：△ABE△ADG，△AEF△AGF，∴EF=GD+DF=2.5；
（2）延长FD到G，使BE=DG，
∵BE=DG，∠B=∠ADG，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG， ∠BAE=∠DAG，
又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，
∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=DF+BE；
（3）分析可得（2）中结论仍然成立，延长DB到E，使BE=AC，连接OE，
∵∠OAC=90°+20°=110°，∠DBE=180°-70°=110°，OA=OB,∴△OAC△OBE，
∴OE=OC，即可证明△OCD△OED，∴CD=DE=BD+BE=BD+AC=（150+180）5=1650m．
【点睛】此题属于推理探究类综合题考查全等三角形的性质及判定，有一定难度，主要总结该类题的规律解题即可．
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专题1.8 三角形的初步认识 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
2．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2022 浙江八年级期中）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，CD、BE交于点F，现给出下面两个命题：①当CD、BE是△ABC的中线时，S三角形BFC＝S四边形ADFE；②当CD、BE是△ABC的角平分线时，∠BFC＝90°+∠A．下列说法正确的是（ ）
A．①是真命题 ②是假命题 B．①是假命题 ②是真命题
C．①是假命题 ②是假命题 D．①是真命题 ②是真命题
4．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
5．（2022·河北唐山市·八年级期末）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
6．（2022·湖北八年级期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7.（2022 锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
8．（2022·广东中山市·八年级期中）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
9．（2022·广西梧州市·八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2022·黑龙江松北初二期末）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 临海市八年级期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
12．（2022·北京·校考模拟预测）写出一组能说明命题“对于任意实数a，b，若，则”是假命题的a，b的值为_________，___________．
13．（2022·湖北鄂州市·八年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2= 。
14.（2022·浙江长兴·八年级阶段练习）一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的．其中真命题是______．（用序号填写）
15．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
16．（2022·浙江八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．
17．（2022·湖北武汉市·八年级期末）问题背景：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，求的最大值．解决方法：以为边作等边，连接，推出，当点在的延长线上时，线段取得最大值．
问题解决：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，当取得最大值时，的度数为_________．
18．（2022·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江宁波市·八年级期末）已知：两边及其夹角，线段，，．
求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．
20．（2022·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
21．（2022·山东德州市·八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度．
22．（2022·山东·德州八年级阶段练习）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：
(1)探究1：如图1，在中，P是与的平分线BP和CP的交点，探究与的关系，并说明理由．
(2)探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，若，则=________．
(3)探究3：如图3中，在中，P是与的平分线BP和CP的交点，过点P作，交AC于点D．外角的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是（ ）
A． B． C．
(4)探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，在探究3条件的基础上，
①试判断DP与CE的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为 ．
23．（2022·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变
（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想.
（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？
24．（2022·浙江温州市·八年级月考）在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D. (1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
25．（2022·湖北八年级期末）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．
求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．
26．（2022·南昌市心远中学八年级期中）在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________．
在图2中，，，，，，；则__________．
归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
实际应用:（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离．
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