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专题1.1 二次函数的相关概念
模块1：学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2. 会利用二次函数的概念解决问题.
3. 会列二次函数表达式解决实际问题.
模块2：知识梳理
1．二次函数的定义
1）二次函数的定义：形如y=ax +bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
2）一般形式：y=ax +bx+c(a≠ 0，a、b、c是常数)
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a，b，c为常数，且a≠ 0；
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断。除此之外，二次函数除有一般形式y=ax +bx+c(a≠ 0)外，还有其特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx， y=ax2+c等。
2.二次函数的值:此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数的辨别
例1．（2022·广东九年级专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义求解．
【详解】解：A．是二次函数，故本选项符合题意；B．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的基础知识，熟练掌握二次函数的意义是解题关键．
变式1. （2022·安徽九年级月考）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，故选：C．
【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
考点2、利用二次函数的概念求参数值
例2．（2022·广东九年级专题练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．或3 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【详解】∵函数是关于x的二次函数，∴，且，
由得，或，由得，，∴m的值是3，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
变式1. （2022·北京初三月考）如果y=（m–2）x是关于x的二次函数，则m=
A．–1 B．2 C．–1或2 D．m不存在
【答案】A
【解析】依题意，解得m=–1，故选A.
【点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a.
考点3、 二次函数的一般形式
例3．（2022 防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
变式1. （2022 遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10 C．一次项是100 D．常数项是20000
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．
【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；
B、二次项系数是﹣10，故B正确；C、一次项是100x，故C错误；
D、常数项是20000，故D正确；故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，化成二次函数的一般式是解题关键．
考点4、二次函数的函数值问题
例4．（2022·绵阳市·九年级专题练习）已知函数y=x2-x+2，当x=2时，函数值y=__________；已知函数y=3x2，当x=__________时，函数值y=12．
【答案】 4 ±2
【详解】把x＝2代入y＝x2－x＋2得，y＝22－2＋2=4；
把y＝12代入y＝3x2得，3x2=12，∴x=±2.
变式1. （2022·天津市九年级练习）函数，当自变量时，函数值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将函数的自变量的值代入函数解析式计算即可求解．
【详解】解：将代入可得，，解得．故答案为：18．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是将自变量的值代入函数解析式并准确计算．
考点5、 二次函数图象上点的坐标特征
例5．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
【答案】2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
变式1. （2022·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．
【详解】A，(0, 4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误
B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误
C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误
D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D正确故选：D
【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．
考点6、根据实际问题列二次函数
例6．（2022 硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）
C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x） D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）
【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）．故选：D．
【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．
变式1. （2022 翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
A．S＝t（0＜t≤3） B．St2（0＜t≤3） C．S＝t2（0＜t≤3） D．St2﹣1（0＜t≤3）
【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．
【解答】解：如图所示，∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，
∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，
∴S△OCDOD×CDt2（0＜t≤3），即St2（0＜t≤3）．故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·宣城市九年级月考）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义判断即可；
【详解】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．
2．（2022·广西防城港·九年级期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系．
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数 ，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【详解】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为：，是二次函数，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数 ，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数 ，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
3．（2022·江苏淮安初三三模）若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
【答案】B
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【解析】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．
【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
4．（2022 防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【思路点拨】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【答案】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
5．（2022·江苏初三期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
【答案】C
【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【解析】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.
6．（2022 定远县期中）若函数y＝4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
【解析】根据题意，得4x2+1＝5，x2＝1，解得x＝﹣1或1．故选：C．
7.（2022·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．
【详解】A，(0, 4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误
B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误
C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误
D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D正确故选：D
【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．
8.（2022 平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50x B．yx2+24x C．yx2+25x D．yx2+26x
【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．
【解答】解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x （50+2﹣x）x2+26x．故选：D．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．
9．（2022·黑龙江绥化·九年级期中）对于函数，以下四种说法中正确的是（ ）
A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数
C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义解答即可．
【详解】解：、当，时．它是一次函数，故此选不符合题意；
B、当，时．它是二次函数，故此选项不符合题意；
C、当，时，它是二次函数，故此选项不符合题意；
D、以上说法都不对，故此选项符合题意；故选：．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义，熟记各定义是解题的关键．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2 C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
【答案】A
【分析】将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
【详解】解：根据题意得，解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．故选：A．
【点睛】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·上海宝山·九年级期末）已知二次函数，当时，函数的值是_________．
【答案】-1
【分析】将x的值代入计算即可；
【详解】解：当时==-1故答案为：-1
【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．
12.（2022 东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式： （并写出自变量的取值范围）
【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x 由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式．
13．（2022 新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．
【解析】∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．
14．（2022 西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 ．
【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．
【解析】由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0），
故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）．
15．（2022·苏州市平江中学校九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．
【答案】3
【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，∴，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．
16．（2022·安徽宿州市·九年级期末）二次函数的二次项系数与常数项的和是______．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，常数项是-1，再求和即可．
【详解】解：二次函数y=2x2-3x-1的二次项系数是2，常数项是，；故答案为：1；
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
17.（2022·广东东莞·九年级期末）若点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 ____．
【答案】2025
【分析】由于点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，把该点代入二次函数即可得，整理可得；把2m2﹣6m+2029变形为，再把代入即可的出本题答案．
【详解】解：∵ 点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，∴即；
∴2m2﹣6m+2029；故应填2025．
【点睛】本题主要考查了代数式整体代入求值的问题．
18．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
【答案】
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】解：由题意得解得
∴函数的本源函数是．故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·九年级课时练习）已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式．
【答案】
【分析】将x与y的三对值代入二次函数解析式求出a、b、c的值，即可确定出解析式．
【详解】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
将x=1，y=3；x=2，y=0；x=3，y=4代入得： ，解得： ，
则二次函数解析式为y=x2-x+13．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（2022·江苏初三期中）下列各式中，y一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数．
（1）y＝x2+2x﹣5；（2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；（3）y＝ax2+bx+c；
（4）y＝mx2+（m﹣2）x+1；（5）y＝（b﹣1）x2+3；（6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数）．
【思路点拨】根据二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．
【答案】解：（1）y＝x2+2x﹣5中，y一定是x的二次函数；
（2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2，y一定不是x的二次函数；
（3）y＝ax2+bx+c，y不一定是x的二次函数，当a≠0时，y是x的二次函数；
（4）y＝mx2+（m﹣2）x+1，y不一定是x的二次函数，当m≠0时，y是x的二次函数；
（5）y＝（b﹣1）x2+3，y不一定是x的二次函数，当b≠1时，y是x的二次函数；
（6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数），y，一定是x的二次函数．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
21．（2022 西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【解析】（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，解得：m＝﹣2；
（2）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，解得：m≠﹣2且m≠0．
21．（2022·湖北初三期中）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）若这个函数是一次函数，求m的值；（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
【答案】解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是二次函数，
即m2﹣m≠0，即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
（2）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是一次函数，
即m2﹣m＝0且m﹣1≠0∴m＝0∴当m＝0，函数是一次函数；
（3）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是正比例函数，
即m2﹣m＝0且2﹣2m＝0且m﹣1≠0∴m不存在
∴函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m不可能是正比例函数．
【点睛】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于0时，是二次函数；二次函数的二次项系数等于0时，是一次函数；二次项系数等于0，同时常数项等于0时 是正比例函数．
23．（2022·广东省初三期中）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
【思路点拨】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可．
【答案】解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p＝m（m﹣5）＝m2﹣5m，是二次函数；（2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S＝100π﹣4x2，是二次函数；
（3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S＝（60﹣2a）（40﹣2a）＝4a2﹣200a+2400，是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式是解题的关键
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【分析】（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
【解析】(1)解：把代入二次函数得：，．
(2)解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，代入抛物线的解析式得：，，，
，当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，，，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。
25.（2022 西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x≤140，（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，
【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x≤140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
则；
（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．
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专题1.1 二次函数的相关概念
模块1：学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2. 会利用二次函数的概念解决问题.
3. 会列二次函数表达式解决实际问题.
模块2：知识梳理
1．二次函数的定义
1）二次函数的定义：形如y=ax +bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
2）一般形式：y=ax +bx+c(a≠ 0，a、b、c是常数)
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a，b，c为常数，且a≠ 0；
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断。除此之外，二次函数除有一般形式y=ax +bx+c(a≠ 0)外，还有其特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx， y=ax2+c等。
2.二次函数的值:此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数的辨别
例1．（2022·广东九年级专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1
变式1. （2022·安徽九年级月考）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
考点2、利用二次函数的概念求参数值
例2．（2022·广东九年级专题练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．或3 C．3 D．
变式1. （2022·北京初三月考）如果y=（m–2）x是关于x的二次函数，则m=
A．–1 B．2 C．–1或2 D．m不存在
考点3、 二次函数的一般形式
例3．（2022 防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
变式1. （2022 遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10 C．一次项是100 D．常数项是20000
考点4、二次函数的函数值问题
例4．（2022·绵阳市·九年级专题练习）已知函数y=x2-x+2，当x=2时，函数值y=__________；已知函数y=3x2，当x=__________时，函数值y=12．
变式1. （2022·天津市九年级练习）函数，当自变量时，函数值为______．
考点5、 二次函数图象上点的坐标特征
例5．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
变式1. （2022·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点6、根据实际问题列二次函数
例6．（2022 硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）
C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x） D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）
变式1. （2022 翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
A．S＝t（0＜t≤3） B．St2（0＜t≤3） C．S＝t2（0＜t≤3） D．St2﹣1（0＜t≤3）
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·宣城市九年级月考）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·广西防城港·九年级期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系．
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
3．（2022·江苏淮安初三三模）若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
4．（2022 防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
5．（2022·江苏初三期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
6．（2022 定远县期中）若函数y＝4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
7.（2022·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8.（2022 平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50x B．yx2+24x C．yx2+25x D．yx2+26x
9.（2022·黑龙江绥化·九年级期中）对于函数，以下四种说法中正确的是（ ）
A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数
C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对
10．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2 C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·上海宝山·九年级期末）已知二次函数，当时，函数的值是_________．
12.（2022 东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式： （并写出自变量的取值范围）
13．（2022 新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
14．（2022 西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 ．
15．（2022·苏州市平江中学校九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．
16．（2022·安徽宿州市·九年级期末）二次函数的二次项系数与常数项的和是______．
17.（2022·广东东莞·九年级期末）若点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 ____．
18．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·九年级课时练习）已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式．
20．（2022·江苏初三期中）下列各式中，y一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数．
（1）y＝x2+2x﹣5；（2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；（3）y＝ax2+bx+c；
（4）y＝mx2+（m﹣2）x+1；（5）y＝（b﹣1）x2+3；（6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数）．
21．（2022 西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
22．（2022·湖北初三期中）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）若这个函数是一次函数，求m的值；（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
23．（2022·广东省初三期中）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
25.（2022 西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
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