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专题1.2 二次函数的y=a(x-h)2+k图象与性质
模块1：学习目标
1. 会画二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象；
2. 掌握二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k (a ≠0)的性质并会应用；
3. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)、y=ax2+k、y=a(x-h)2之间的联系；
4. 熟练掌握二次函数的图形变换（平移、对称）。
模块2：知识梳理
1. 二次函数y=ax2的图象（图象为抛物线形状）
1）（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为0）的图形如图1：
图1
y=ax2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标 （0，0） 最低点 （0，0） 最高点
对称轴 图象关于y轴对称
2．二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象
二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到，如图1
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到；当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
y=ax2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标 （0，k） 最低点 （0，k） 最高点
对称轴 图象关于y轴对称
3．二次函数y=a(x-h)2（a ≠ 0）的图象
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到，如图1
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到；当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标 （h，0） 最低点 （h，0） 最高点
对称轴 直线x=h 直线x=h
4.二次函数y=a（x-h）2+k（a ≠ 0）的图象和性质：y=a(x-h)2+k可以看作y=ax2平移得到的.
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） 最低点 （h，k） 最高点
对称轴 直线x=h 直线x=h
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数y=a（x-h）2+k的顶点与对称轴问题
例1．（2022·福建永定初三期中）二次函数y＝(x－4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是（ ）
A．向上，直线x＝4，(4，5) B．向上，直线x＝－4，(－4，5)
C．向上，直线x＝4，(4，－5) D．向下，直线x＝－4，(－4，5)
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解析】∵y=2（x-4）2+5，∴抛物线开口向上，对称轴为x=4，顶点坐标为（4，5），故选A．
【点睛】二次函数的顶点式是解题的关键，即开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
变式1. （2022·古浪县九年级月考）抛物线y=-x2的对称轴是 ______，顶点坐标是________．
【答案】y轴 (0，0)
【分析】形如y=ax2的抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为原点．
【详解】解：抛物线y=-x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．故答案为：y轴；（0，0）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点．
变式2．（2022·广西南宁市·九年级期中）抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
【答案】B
【分析】按照二次函数y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴y轴即可求解．
【详解】解：∵y＝x2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
变式3. （2022·云南·九年级期中）抛物线的开口向_______，顶点坐标是_______，对称轴是直线________．
【答案】 下
【分析】根据的值，可得函数图象的开口方向，根据顶点式函数解析式，可得顶点坐标，对称轴．
【详解】解：抛物线中，，
∴开口向下，顶点坐标是，对称轴是直线．故答案为：向下，，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，时，图象开口向上，函数有最大值，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小．
考点2、二次函数y=a（x-h）2+k的开口问题（开口方向与开口大小）
例2．（2022·吉林白山市·九年级期末）已知二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是___
【答案】m<3
【分析】根据图象的开口方向得到m-3＜0，从而确定m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，∴m-3＜0，∴m＜3，故答案为：m＜3．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．
变式1. （2022·福建龙岩市·九年级期末）已知抛物线与的形状相同，则______．
【答案】
【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为±2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等．
考点3、二次函数y=a（x-h）2+k的增减性问题
例2. （2022·河南驻马店市·九年级一模）设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，∴关于直线x=1的对称点是，
∵2<3<6，∴．故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．
变式1．（2022·广西百色市·九年级期末）已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
变式2．（2022·江苏江苏·九年级期末）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质解答．
【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴a-1>0，∴，故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质：当a>0时，开口向上，对称轴是y轴，对称轴左小右大；当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键．
变式3．（2022·河南南阳·九年级期末）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点的对称点，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：∵二次函数的解析式为：，∴该二次函数的对称轴为：直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵点都在对称轴左侧，对称轴左侧随的增大而增大∴故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．
变式4．（2023·浙江九年级期中）已知点在二次函数的图象上，当时，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数表达式可得开口方向和对称轴，再根据，可得关于m的不等式，解之即可．
【详解】解：∵，∴图像开口向下，对称轴为直线x=m，
∵，∴A比B更接近对称轴，∴，∴，∴m≤2，故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称轴公式，需熟记．
变式5.（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解．
【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
当p＝q时，m＝＝1，∵p＜q，∴m＞1，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
考点4、二次函数y=a（x-h）2+k的最值问题
例4. （2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
变式1 （2022·上海九年级一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，∴k+1＜0，∴，故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．
变式2．（2022·河南周口市·九年级期末）二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
【答案】C
【分析】根据图象，直接代入计算即可解答
【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
变式3．（2022天津市中考模拟）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B．
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
【解析】∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：，解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：，解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，故选B．
考点：二次函数的最值；分类讨论；最值问题．
考点5、二次函数y=a（x-h）2+k的图象问题
例5．（2022·广西百色·九年级期末）二次函数的大致图象是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数解析式写出顶点坐标和对称轴，即可判断．
【详解】解：∵二次函数，则可得二次函数的顶点是： ，对称轴是 ，
又∵ ，∴图像开口向上，所以选项B图像符合．选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数顶点式，通过顶点式写出顶点坐标和对称轴是解题关键．
变式1．（2022·宁夏吴忠·一模）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．
变式2．（2022·浙江湖州·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线y＝﹣x2+1的图像顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下即可判断求解．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+1的图像顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下
∴大致图象如下：故选A．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知抛物线y＝ax2+k的特点．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
【答案】见解析；三条抛物线都开口向上，对称轴依次是y轴、直线x＝－2，直线x＝2，顶点坐标依次是（0，0），（－2，0），（2，0）．
【分析】用描点法画函数图像，先列表，描点，平滑曲线连线可依次得到，，，根据平移的性质可得出三函数关系，结合函数图像可得出三函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．
【详解】解：列表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2 0 2
0 2 8
8 2 0
描点（-3，），（-2，2），（-1，），（0，0），（1，），（2，2），（3，），
用平滑曲线连线可得的图形如图；
描点（-3，），（-2，0），（-1，），（0，2），（1，），（2，8），（3，），
用平滑曲线连线可得的图形如图；
描点（-3，），（-2，8），（-1，），（0，2），（1，），（2，0），（3，），
用平滑曲线连线可得的图形如图；
将抛物线向左平移2个单位得，向右平移2个单位得
函数 开口方向 对称轴 顶点
向上 y轴 （0，0）
向上 x=-2 （-2，0）
向上 x=2 （2，0）
【点睛】本题考查在平面直角坐标系中画二次函数图像，掌握描点法，列表，描点，连线，二次函数的性质开口方向，对称轴，顶点坐标是解题关键．
变式4. （2022·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A B C D
【答案】D．
【解析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选D。
变式5.（2022·广东初三月考）二次函数y=3（x﹣h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．h＞0，k＞0 B．h＞0，k＜0 C．h＜0，k＞0 D．h＜0，k＜0
【答案】B
【解析】观察函数图象可知：顶点（h，k）在第四象限，∴h＞0，k＜0，故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标与实际图形结合．
考点6、根据二次函数的性质写解析式（开放性试题）
例6．（2022·广东江门·一模）二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先写出顶点式的顶点坐标，再结合题意根据二次函数的性质确定答案即可．
【详解】解：的顶点坐标为，
直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上，，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式顶点式及二次根式的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式1．（2022·福建·九年级专题练习）写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先根据二次函数的图象和性质取对称轴x=2，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，由于在抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而减小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，
∵在抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而减小，∴a<0，
符合上述条件的二次函数均可，可取a=-1，则y=-(x-2)2 ．故答案为：y=-(x-2)2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
变式2.（2022·北京·九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
【答案】．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
当x1时，y随x的增大而减小； 所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：， 故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
变式3.（2022·河南洛阳·三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式_________．
【答案】答案不唯一，如：或
【分析】根据已知对称轴是直线，顶点到轴的距离为2，可以确定抛物线的顶点坐标，由此可写出抛物线的解析式．
【详解】解：∵对称轴是直线，∴顶点坐标的横坐标为3，
∵顶点到轴的距离为2，∴顶点坐标的纵坐标为2或-2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2）或（3，－2），
∴抛物线的解析式可设为或，
其中的可取任意不为0的数即可，这里令，
则抛物线的解析式为或，
故答案为：或，（答案不唯一）
【点睛】本题考查了根据条件写出二次函数的解析式，读懂题意是解题的关键．
考点7、 二次函数的图象变换问题
例7．（2022·广东揭阳·一模）抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式是___________．
【答案】y=-(x－1)2－3
【分析】抛物线的顶点坐标为（1，3)，关于 x轴对称的抛物线顶点坐标为(1，-3)，且开口向 下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵的顶点坐标为（1，3），
∴其关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，-3），开口向下，
∴所求抛物线的解析式为：y=-(x－1)2－3．故答案为：y=-(x－1)2－3．
【点睛】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．
变式1. （2022·湖北咸宁·九年级期中）将抛物线y＝﹣（x＋1）2＋4的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【答案】B
【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”， 将抛物线y＝﹣（x＋1）2＋4 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.
【详解】将抛物线y＝﹣（x＋1）2＋4的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线为： 即
A选项代入，，不符合；B选项代入， ，符合；
C选项代入， ，不符合；D选项代入，，不符合；故选B
【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．
变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________．
【答案】
【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转180°则a变为-a，即可求解．
【详解】解：将函数向上平移3个单位后，得到函数解析式为，新函数图像绕顶点旋转180°所得图像形状不变，开口向上，所以a变为相反数-a，所以函数解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了函数图象的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，二次函数解析式中a的符号决定函数图象开口方向，a的绝对值决定函数图象开口大小．
变式3. （2022·湖北孝感·九年级期中）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移．
【详解】由于选项D中二次项系数相同，则抛物线与抛物线能够互相平移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平移．
变式4．（2022·浙江·九年级期末）将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】C
【解析】抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
考点8、二次函数y=a（x-h）2+k的性质综合问题
例8．（2022·四川成都市·九年级二模）下列关于二次函数的说法，正
确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时有最小值
C．顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减少
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：由二次函数可知对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；
由二次函数可知开口向上，当时有最小值，故选项B正确，符合题意；
由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），故选项C错误，不符合题意；
由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
变式1. （2022·浙江杭州·二模）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A（﹣6，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x＝﹣2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．点B的坐标为（2，0）
【答案】C
【分析】根据图象即可判断A、C；由解析式即可判断B；根据抛物线的对称性即可判断D．
【详解】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向下，∴a＜0，故A正确，不合题意；
由图象可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，故B正确，不合题意；
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先增大后减小，故C错误，符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，且过A（﹣6，0），∴B点的坐标为（2，0），故D正确，不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的图像和性质是解题关键
变式2．（2022·北京·九年级期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
【答案】B
【分析】 是一条开口向上的抛物线，对称轴为轴即直线，在对称轴处取最小值为，在对称轴左侧随的增大而减小．
【详解】A将代入求得，表述错误，故不符合题意；
B根据函数的性质，当时，随的增大而减小，表述正确，故符合题意；
C图像的对称轴是直线，表述错误，故不符合题意；
D当时，取最小值，表述错误，故不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．解题的关键在于对二次函数知识的全面掌握．
变式3．（2022·浙江杭州市·九年级期末）下列关于二次函数的图象与性质的描述，错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象可由函数的图象平移得到
C．该函数图象关于y轴对称 D．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【详解】解：A、由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确，不符合题意；
B、该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确，不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确，不符合题意；
D、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项描述错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
变式4. （2022·湖南·九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线
C．其图象的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】根据抛物线的顶点式分别求出二次项系数、对称轴、顶点坐标，即可判定选项A、B、C的正误，根据二次函数图像可以理解函数的增减性，判断D的正误．
【详解】，，抛物线开口向下，故A错误；
，抛物线的对称轴是，故B错误；
，抛物线的顶点坐标是，故C错误；
，当时，随的增大而减小，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·北京·人大附中九年级期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
【答案】B
【分析】 是一条开口向上的抛物线，对称轴为轴即直线，在对称轴处取最小值为，在对称轴左侧随的增大而减小．
【详解】A将代入求得，表述错误，故不符合题意；
B根据函数的性质，当时，随的增大而减小，表述正确，故符合题意；
C图像的对称轴是直线，表述错误，故不符合题意；
D当时，取最小值，表述错误，故不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．解题的关键在于对二次函数知识的全面掌握．
2．（2022·福建初三期中）二次函数y＝(x－4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是（ ）
A．向上，直线x＝4，(4，5) B．向上，直线x＝－4，(－4，5)
C．向上，直线x＝4，(4，－5) D．向下，直线x＝－4，(－4，5)
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解析】∵y=2（x-4）2+5，∴抛物线开口向上，对称轴为x=4，顶点坐标为（4，5），故选A．
【点睛】二次函数的顶点式是解题的关键，即开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
3．（2022·宁夏吴忠·一模）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．
4. （2022·湖北孝感·九年级期中）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移．
【详解】由于选项D中二次项系数相同，则抛物线与抛物线能够互相平移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平移．
5．（2022·四川成都·二模）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的平移规律判断D选项．
【详解】解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；
D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．
6. （2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
7．（2022·安徽·马鞍山九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】观察二次函数的图像，从而可得答案．
【详解】解；如图，由图像可得：当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；
当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；当时，y值随x值的增大而减少，故C错误；
当时，y值随x值的增大而减小，故D正确；故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的图像探究二次函数的图像是解题的关键．
8．（2022·河南商丘·九年级期末）二次函数，当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当时， 当时， 从而可得答案．
【详解】解：二次函数， 所以函数有最大值，
而，当时， 当时， 当时，
y的取值范围为 故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
9．（2022·江苏省邗江中学初三月考）下列函数的图象中，有最高点的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和二次函数的性质解答．
【解析】解：A、y＝3x＋5是一次函数，图象为一条直线，无最高点；B、y＝ 2x＋3是一次函数，图象为一条直线，无最高点；C、是抛物线，开口向上，有最低点，无最高点；D、是抛物线，开口向下，有最高点，故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的性质，难度不大，但要熟悉函数的性质和图象．
10.（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解．
【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
当p＝q时，m＝＝1，∵p＜q，∴m＞1，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东江门·一模）二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先写出顶点式的顶点坐标，再结合题意根据二次函数的性质确定答案即可．
【详解】解：的顶点坐标为，
直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上，
，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式顶点式及二次根式的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. （2022·安徽亳州·九年级期末）抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为______．
【答案】
【详解】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．
解：抛物线y＝ （x＋2）2顶点坐标为（ 2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），
∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，
∴抛物线y＝ （x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝ （x 2）2．故答案为：y＝ （x 2）2．
【点睛】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法．类似于点关于坐标轴对称的坐标求法，关于x轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称，点横坐标变为相反数，纵坐标不变．
13．（2022·黑龙江鹤岗·九年级期末）已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x＝m≥1．故答案为：m≥1．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
14. （2022·上海市九年级期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，
所以当时，随的增大而增大，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．
15．（2022·辽宁鞍山·九年级期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝_____．
【答案】4
【分析】根据抛物线开口向上得到a>0，再根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2开口向上，∴a＞0，∵|a|＝4，∴a＝4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数开口方向与二次项系数的关系：当二次项系数大于0时，二次函数开口向上，当二次项系数小于0时，二次函数开口向下．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线是由抛物线向_____平移_____个单位得到的，它的对称轴是______，顶点坐标是________，当时，y随x的增大而______.类似地，将抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线____________.
【答案】 下 3 y轴 （0，-3） 减小
【分析】由函数图象的平移规则，以及二次函数的图像和性质，即可得到答案.
【详解】解：抛物线是由抛物线向下平移3个单位得到的，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）；
∵，∴当时，y随x的增大而减小，
将抛物线向下平移2个单位，可得：.
故答案为下，3，y轴，（0，-3），减小，.
【点睛】本题考查函数平移的规律，以及二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律.
17．（2022·江苏南京·九年级期末）二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为_______．
【答案】、
【分析】设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可．
【详解】解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，解得．故符合条件的点的坐标是：、．
故答案为：、．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
18．（2022·江苏中考模拟）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【解析】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于 当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数 当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．
【分析】首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系．
【详解】解：如图所示，即为三者的函数图像：
由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）；
函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）；
由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【答案】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．
21．（2022秋·浙江九年级月考）已知函数．
(1)函数的图象和已知函数的图象关于轴成轴对称，求出的表达式．
(2)函数的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称，求出的表达式．
(3)函数和的图象有怎样的位置关系证明你的结论．
【答案】(1) (2)
(3)函数和的图象关于x轴对称，证明见解析
【分析】（1）设是函数图象上的一点，则点关于y轴对称的点的坐标为，求出n关于m的函数关系式即可得到答案；
（2）设是函数图象上的一点，则点关于原点成中心对称的点的坐标为，求出t关于s的函数关系式即可得到答案；
（3）设函数和函数关于x轴对称，设是函数图象上的一点，则点关于x轴对称的点的坐标为，求出d关于c的函数关系式，进而得到函数的关系式，再与函数的关系式进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设是函数图象上的一点，
∴点关于y轴对称的点的坐标为，
∵函数的图象和已知函数的图象关于轴成轴对称，
∴点在函数的图象上，
∴，
∴函数的表达式为；
（2）解：设是函数图象上的一点，
∴点关于原点成中心对称的点的坐标为，
∵函数的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称，
∴点在函数的图象上，
∴，
∴∴函数的表达式为；
（3）解：函数和的图象关于x轴对称，证明如下：
设函数和函数关于x轴对称，
设是函数图象上的一点，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，
∵函数和函数关于x轴对称，
∴点在函数的函数图象上，
∴，∴，
∴，∴函数与函数是同一个函数，
∴函数和的图象关于x轴对称．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确利用轴对称和中心对称的性质进行求解是解题的关键．
22．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知抛物线的图象经过点．(1)求a的值及顶点坐标；(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．
【答案】(1)a的值是，顶点坐标是；(2)
【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值；（2）根据二次函数的性质可以解答本题．
【详解】（1）解：∵，∴该抛物线的顶点坐标是；
∵经过点，∴，解得，，即a的值是；
（2）解：∵，，
∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，
∵点都在该抛物线上，∴．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．(1)求抛物线解析式；(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小
【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可；
（2）计算自变量的值为所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质．
24．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）已知函数
(1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________．
(2)当___________时， 随的增大而减小．
(3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式．
【答案】(1)向下， (2) (3)
【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴；
（2）根据二次函数的性质得出结论；（3）根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：函数图象的开口向下，对称轴为直线；
故答案为：向下，；
（2）解：当时，随的增大而减小；故答案为：；
（3）解：将抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意．
25．（2022·北京西城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)请你求出点A、B、C的坐标；
(2)若二次函数与线段恰有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)，，(2)或
【分析】（1）根据二次函数顶点式可得顶点C的坐标，令一次函数的自变量和函数值分别为0，可求得点A、B的坐标．（2）分和两种情况，画出草图，即可求解．
【详解】（1）解：，抛物线的顶点坐标为．
对于，令，得；令，得，，，
点A、B、C的坐标分别为，，；
（2）解：把代入，得．
当时，，说明抛物线的对称轴左侧与线段总有交点，
只需抛物线的对称轴右侧与线段无交点即可，如图：
只需要时，抛物线的函数值即可，
，；
当时，抛物线开口下向，如图：
只需要时，抛物线的函数值即可，，
综上可知，当或时，二次函数与线段AB恰有一个公共点．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象的顶点坐标、二次函数图象上点的坐标特征等，第二问有一定难度，解题的关键是分情况画出草图，利用图形求解．
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专题1.2 二次函数的y=a(x-h)2+k图象与性质
模块1：学习目标
1. 会画二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象；
2. 掌握二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k (a ≠0)的性质并会应用；
3. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)、y=ax2+k、y=a(x-h)2之间的联系；
4. 熟练掌握二次函数的图形变换（平移、对称）。
模块2：知识梳理
1. 二次函数y=ax2的图象（图象为抛物线形状）
1）（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为0）的图形如图1：
图1
y=ax2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标 （0，0） 最低点 （0，0） 最高点
对称轴 图象关于y轴对称
2．二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象
二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到，如图1
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到；当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
y=ax2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标 （0，k） 最低点 （0，k） 最高点
对称轴 图象关于y轴对称
3．二次函数y=a(x-h)2（a ≠ 0）的图象
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到，如图1
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到；当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标 （h，0） 最低点 （h，0） 最高点
对称轴 直线x=h 直线x=h
4.二次函数y=a（x-h）2+k（a ≠ 0）的图象和性质：y=a(x-h)2+k可以看作y=ax2平移得到的.
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） 最低点 （h，k） 最高点
对称轴 直线x=h 直线x=h
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数y=a（x-h）2+k的顶点与对称轴问题
例1．（2022·福建永定初三期中）二次函数y＝(x－4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是（ ）
A．向上，直线x＝4，(4，5) B．向上，直线x＝－4，(－4，5)
C．向上，直线x＝4，(4，－5) D．向下，直线x＝－4，(－4，5)
变式1. （2022·古浪县九年级月考）抛物线y=-x2的对称轴是 ______，顶点坐标是________．
变式2．（2022·广西南宁市·九年级期中）抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
变式3. （2022·云南·九年级期中）抛物线的开口向_______，顶点坐标是_______，对称轴是直线________．
考点2、二次函数y=a（x-h）2+k的开口问题（开口方向与开口大小）
例2．（2022·吉林白山市·九年级期末）已知二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是___
变式1. （2022·福建龙岩市·九年级期末）已知抛物线与的形状相同，则______．
考点3、二次函数y=a（x-h）2+k的增减性问题
例2. （2022·河南驻马店市·九年级一模）设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·广西百色市·九年级期末）已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
变式2．（2022·江苏江苏·九年级期末）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·河南南阳·九年级期末）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·浙江九年级期中）已知点在二次函数的图象上，当时，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5.（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
考点4、二次函数y=a（x-h）2+k的最值问题
例4. （2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
变式1 （2022·上海九年级一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．
变式2．（2022·河南周口市·九年级期末）二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
变式3．（2022天津市中考模拟）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
考点5、二次函数y=a（x-h）2+k的图象问题
例5．（2022·广西百色·九年级期末）二次函数的大致图象是( )
A．B．C．D．
变式1．（2022·宁夏吴忠·一模）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江湖州·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
变式4. （2022·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A B C D
变式5.（2022·广东初三月考）二次函数y=3（x﹣h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．h＞0，k＞0 B．h＞0，k＜0 C．h＜0，k＞0 D．h＜0，k＜0
考点6、根据二次函数的性质写解析式（开放性试题）
例6．（2022·广东江门·一模）二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式______．
变式1．（2022·福建·九年级专题练习）写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式______．
变式2.（2022·北京·九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
变式3.（2022·河南洛阳·三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式_________．
考点7、 二次函数的图象变换问题
例7．（2022·广东揭阳·一模）抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式是___________．
变式1. （2022·湖北咸宁·九年级期中）将抛物线y＝﹣（x＋1）2＋4的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________．
变式3. （2022·湖北孝感·九年级期中）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
变式4．（2022·浙江·九年级期末）将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
考点8、二次函数y=a（x-h）2+k的性质综合问题
例8．（2022·四川成都市·九年级二模）下列关于二次函数的说法，正
确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时有最小值
C．顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减少
变式1. （2022·浙江杭州·二模）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A（﹣6，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x＝﹣2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．点B的坐标为（2，0）
变式2．（2022·北京·九年级期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
变式3．（2022·浙江杭州市·九年级期末）下列关于二次函数的图象与性质的描述，错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象可由函数的图象平移得到
C．该函数图象关于y轴对称 D．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
变式4. （2022·湖南·九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线
C．其图象的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·北京·人大附中九年级期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
2．（2022·福建初三期中）二次函数y＝(x－4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是（ ）
A．向上，直线x＝4，(4，5) B．向上，直线x＝－4，(－4，5)
C．向上，直线x＝4，(4，－5) D．向下，直线x＝－4，(－4，5)
3．（2022·宁夏吴忠·一模）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
4. （2022·湖北孝感·九年级期中）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（2022·四川成都·二模）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
6. （2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
7．（2022·安徽·马鞍山九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
8．（2022·河南商丘·九年级期末）二次函数，当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏省邗江中学初三月考）下列函数的图象中，有最高点的函数是（ ）
A． B． C． D．
10.（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东江门·一模）二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式______．
12. （2022·安徽亳州·九年级期末）抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为______．
13．（2022·黑龙江鹤岗·九年级期末）已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
14. （2022·上海市九年级期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15．（2022·辽宁鞍山·九年级期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝_____．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线是由抛物线向_____平移_____个单位得到的，它的对称轴是______，顶点坐标是________，当时，y随x的增大而______.类似地，将抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线____________.
17．（2022·江苏南京·九年级期末）二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为_______．
18．（2022·江苏中考模拟）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
20．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
21．（2022秋·浙江九年级月考）已知函数．
(1)函数的图象和已知函数的图象关于轴成轴对称，求出的表达式．
(2)函数的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称，求出的表达式．
(3)函数和的图象有怎样的位置关系证明你的结论．
22．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知抛物线的图象经过点．(1)求a的值及顶点坐标；(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．
23．（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．(1)求抛物线解析式；(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
24．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）已知函数
(1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________．
(2)当___________时， 随的增大而减小．
(3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式．
25．（2022·北京西城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)请你求出点A、B、C的坐标；(2)若二次函数与线段恰有一个公共点，求m的取值范围．
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