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专题1.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
模块1：学习目标
1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，从而确定顶点坐标、对称轴；
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象性质并会应用；会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象；
3. 掌握二次函数字母系数与图象的关系；
4.理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系；了解用图象法求一元二次方程的近似根。
5.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集；
模块2：知识梳理
1、二次函数的性质
一般式 顶点式 交点式
函数表达式
开口 开口方向：当时，开口 向上 ，当时，开口 向下 .开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大。
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，k）
增减性及最值 当时，在对称轴的左侧，随的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，随的增大而 增大 ，函数有最 小 值 ；
当时，在对称轴的左侧，随的增大而 增大，在对称轴的右侧，随的增大而 减小 ，函数有最 大 值 .
2.二次函数字母系数与图象的关系
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
②对称轴可确定b的符号：
对称轴在x轴负半轴，则，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则，即ab＜0
③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
其他辅助判定条件：
④顶点坐标⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
3. 二次函数图像与一元二次方程的联系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）如下图所示：
判别式 >0 =0 <0
图像
与x轴交点 2个（2解） 1个（1解） 0个（无解）
方程的解 无解
（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题
例1．（2022·云南昆明三中初三期中）已知抛物线．求出它的顶点坐标和对称轴；
【答案】（-1，-3）；直线x=-1；
【分析】根据配方法整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
【解析】由=，
所以，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；
【点睛】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式是解题关键．
变式1.（2022·河南新乡·二模）二次函数y= x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2
【答案】A
【分析】将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】解：∵y=-x2+4x+7=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
考点2、二次函数的图象变换问题
例2．（2022·浙江九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线经变换得到抛物线，则这个变换是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
【答案】B
【分析】将变换前后的解析式分别变形为顶点式，根据顶点坐标分析即可．
【详解】变换前抛物线为：，顶点坐标为：；
变换后抛物线为：，顶点坐标为：；
显然，由平移至，是向右平移2个单位，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的平移问题，熟练利用顶点坐标判断平移问题是解题关键．
变式2. （2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；故选：A．
【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
考点3、二次函数y=ax2+bx+c的增减性问题
例3．（2022·太原市·九年级模拟）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【详解】
【分析】据二次函数的性质和各个点到对称轴的距离，可以得到y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+x﹣m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，该函数图象开口向下，
∵点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，1﹣（）＝，1﹣＝，2﹣1＝1，∴y2＞y3＞y1，故选：A．
变式3.（2022·福建省初三月考）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
【答案】或
【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．
【解析】解：∵点是该抛物线的顶点，且，
∴该函数有最小值，则函数开口向上，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
当时，点B、C重合，则，不符合题意；
∴的取值范围为：或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．
考点4、二次函数y=ax2+bx+c的最值再探究
例4．（2022·浙江九年级期末）已知二次函数（，），当时，随的增大而减小，则的最大值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】D
【分析】由二次函数解析式求出对称轴的直线方程，分类讨论抛物线的开口方向向下或向上的的取值范围，将转化为含一个未知数的整式求最值．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，时，随的增大而减小，，即，
解得:，，．
当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，，即，
解得：，，，
综上所述：的最大值为，故选：
【点睛】本题考查来二次函数的性质及最值问题，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，主要根据抛物线的开口方向进行分类讨论．
变式4. （2022·安徽合肥市九年级一模）已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
【答案】D
【分析】先求得其对称轴为x＝a，再分a＜0、0≤a≤1和a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值．
【详解】∵，∴其对称轴为x＝a，开口向下，
当a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，
∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣a+＝2，解得a＝﹣6＜0，符合题意；
当0≤a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣a2+a2﹣a+＝2，
∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；
当a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣a+＝2，∴a＝，综上可知a的值为﹣6或．故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.
考点5、二次函数的对称性及运用
例5．（2022·贵州黔东南·二模）已知：二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由表格可知，二次函数的图象关于直线对称，它的图象与x轴的一个交点坐标为，根据二次函数的对称性可求它的图象与x轴的另一个交点坐标．
【详解】解：由表格可知，二次函数的图象关于直线对称，它的图象与x轴的一个交点坐标为，∴它的图象与x轴的另一个交点坐标为，故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于确定二次函数的对称轴．
变式5. （2022·广西·宾阳县三模）已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于_________．
【答案】1
【分析】根据二次函数的对称性用m、n表示出二次函数图象的对称轴，可得x=-=，则m+n=-，然后代入解析式求解即可．
【详解】解：∵当x=m和x=n时，y的值相等，∴x=-=，∴m+n=-
当x=m+n=-时，则y=a（-）2+b(-)+1=1，∴当x=m+n时，其函数值y为1，故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
考点6、二次函数y=ax2+bx+c的图象问题
例6．（2021·山东东营市·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
变式6. （2021·湖北襄阳市·中考真题）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知，∴二次函数开口向下，
对称轴，故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
考点7、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质综合问题
例7．（2022·四川成都·二模）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的平移规律判断D选项．
【详解】解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；
D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．
变式7. （2022·重庆市黔江区九年级期末）二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【详解】解：二次函数y=x2+2x+3=（x+2）2+1，对称轴为直线x=-2．
A、a=＞0，开口向上，本选项不符合题意；B、当时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；C、该函数的最小值为1，大于零，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴的正半轴，本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
考点8、抛物线与x轴的交点
例8．（2022 海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【解题思路】求出抛物线的表达式y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解．
【解答过程】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2，故选：A．
变式8.（2022.绵阳市初三期中）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A．且 B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，
∴，且，解得，b<1且b≠0.故选A.
考点9、由二次函数解一元二次方程
例9．（2022·广西九年级二模）如图是二次函数的部分图象，由图可知方程的所有解的积等于______．
【答案】-5．
【分析】观察二次函数的图象易得对称轴为 ，进而求得与x轴的另一交点坐标，所对应的一元二次方程的解即为与x轴两交点的横坐标，求出积即可．
【详解】由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标为5，
它到直线的距离是3个单位长度，所以另一个交点横坐标为-1，
∴， ，．故答案为：-5．
【点睛】本题考查抛物线的对称轴的定义、抛物线与x轴两交点的与对应一元二次方程的关系，根据抛物线图像求得交点坐标是解题的关键，属于基础类题目．
变式9. （2022 花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 ．
【解题思路】利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．
考点10、由二次函数的图象解不等式
例10.（2022·河南九年级一模）已知抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣4
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2＋x﹣2＞0.
解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1
∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）求出 ＝(2a)2﹣4×(﹣)×(﹣4)＝4a2﹣8，进而求解；
（2）分﹣2
【详解】解：（1） ＝(2a)2﹣4×(﹣)×(﹣4)＝4a2﹣8，
①当抛物线和x轴没有交点时，则 ＜0，即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；
②当抛物线和x轴有一个交点时，则 ＝0，即4a2﹣8＝0，解得a＝；
③当抛物线和x轴有两个交点时，则 ＞0，即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；
综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
①当﹣2则﹣m2＋2m﹣4﹣(﹣10)＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；
②∵对称轴为直线x＝2，∴与横坐标对称点的横坐标为2+4=6，
当2＜m≤6时，y最大＝﹣×22＋2×2﹣4＝﹣2，y最小＝﹣×(﹣2)2＋2×(﹣2)﹣4＝﹣10，
则﹣2﹣(﹣10)＝4m，解得m＝2（舍去）；
③当m＞6时，y最大＝﹣×22＋2×2﹣4＝﹣2，y最小＝﹣m2＋2m﹣4，
则﹣2﹣(﹣m2＋2m﹣4)＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6＋4，
综上，实数m的值为2或6＋4．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，．
变式10. （2022 杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【解题思路】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．故选：C．
考点11、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
例11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
【答案】B
【解析】解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，
而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，
∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，
∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
变式11. （2022·广东九年级专题练习）如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象特征解答．
【详解】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
考点12、抛物线与x轴交点上的四点问题
例12．（2022·福建厦门·九年级模拟）若、（）是关于的一元二次方程的两个根，、（）是关于的方程的两根，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意画出函数y＝（x a）（x b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：依题意，画出函数y＝（x a）（x b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），即：、（）是关于的一元二次方程的两个根，
方程1 （x a）（x b）＝0 转化为（x a）（x b）＝1，
方程的两根是抛物线y＝（x a）（x b）与直线y＝1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
变式12. （2022 碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
【解题思路】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
【解答过程】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），从图象看，x1＜m＜n＜x2，故选：A．
考点13、由二次函数与一次函数交点个数求范围
例13．（2022·广西玉林·九年级一模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，将此二次函数图象在x轴下方的部分沿着x轴翻折，原图像保持不变，得到一个新的图象．当直线与此图象有且只有四个公共点时，则n的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4），观察函数图象即可得出n的取值．
【详解】解：当y=0时，y=x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，x=-1或3，∴A（-1，0），B（3，0），
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点（1，-4），如图，
直线y=n与x轴重合时，与函数图象有2个交点，即点A和点B，
当直线y=n过抛物线顶点时，即n=4，此时，直线y=n与函数图象有3个交点，
在x轴上方，抛物线下方，直线 y=n与函数图象有4个交点，
所以，n的取值为：．故答案为．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点和几何变换问题，明确抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，即翻折前后的点关于x轴对称，先求特殊点，即顶点坐标，从而求出n的取值，利用数形结合的思想确定其结果．
变式13. （2022 章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【解题思路】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线 y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答过程】如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线 y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故选：D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·云南·红河县九年级期末）已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用待定系数法确定解析式，对照选择即可．
【详解】∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为，
把点代入解析式，得，解得ａ=1，∴，故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握解析式是解题的关键．
2．（2022·山东·九年级一模）如图，二次函数的图像经过点，若点的横坐标为-1，则一次函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，
当x＝ 1时，y＝a b＜0，∴y＝（a b）x＋b的图象在第二、三、四象限，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数以及一次函数的图像和性质，解答本题的关键是掌握一次函数与二次函数图像与系数的关系．
3．（2022·陕西西安·三模）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】据（﹣1，n）和（2，n）可确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝﹣＝，即可求解．
【详解】解：抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，
可知函数的对称轴x＝＝，∴﹣＝，∴m＝﹣1；∴y＝x2﹣x﹣1，
将点（﹣1，n）代入函数解析式，可得n＝1；∴m＋n＝﹣1＋1＝0．故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
4．（2022·广东深圳·三模）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A． B． C．-2或 D．或
【答案】C
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【详解】解：由二次函数（m为常数)，得到对称轴为直线x= m，抛物线开口向上，
①当m≥ 2时，由题意得：当x= 2时，y最小值为 -3，代入得：4 - 4m=-3，即m =< 2 ，不合题意，舍去；
② 当-1< m< 2时，由题意得：当x=m时，y 最小值为-3，代入得：，即m=或m= (舍去)；
③ 当m≤-1时，由题意得：当x=-1时，y最小值为-3，代入得：1 + 2m=-3，即 m=-2，
综上，m的值是-2或． 故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
5.（2022 上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（ ）
A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q
【解题思路】依据题意y＝ax2+bx+c的图象如下图所示，在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，即可求解．
【解答过程】解：依据题意y＝ax2+bx+c的大致图象如下图所示，
在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，则C、D的横坐标为m，n，
故m＜p＜q＜n，故选：C．
6．（2022·浙江宁波·二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求．
【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，∴有，且显然a≠0，∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，∴，∵a-b=1，∴，解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，∴P=2a-b=a+a-b=a+1，∵，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键．
7．（2022·广西南宁·二模）表中列出的是一个二次函数自变量x与函数y的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象与x轴有一个交点 B．抛物线开口方向向上
C．函数有最小值是－2 D．当时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=-x2-4x-6，通过解方程-x2-4x-6=0可判断抛物线与x轴没有交点，则可对A选项进行判断；根据二次函数的性质对B选项进行判断；利用配方法得到y=-（x+2）2-2，然后根据二次函数的性质可对C、D选项进行判断．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-3，-3），（-2，-2），（0，-6）代入得
，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-6，
当y=0时，-x2-4x-6=0，此方程没有实数解，
∴抛物线与x轴没有交点，所以A选项不符合题意；
∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，所以B选项不符合题意；
∵y=-x2-4x-6=-（x+2）2-2，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
当x=-2时，y有最大值为-2，所以C选项不符合题意．
∴当x＞-2时，y随x增大而减下，所以D选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，反过来，通过抛物线与x轴的交点坐标确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解．也考查了二次函数的性质．
8．（2022·太原市·山西实验中学九年级其他模拟）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【分析】据二次函数的性质和各个点到对称轴的距离，可以得到y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+x﹣m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，该函数图象开口向下，
∵点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，1﹣（）＝，1﹣＝，2﹣1＝1，∴y2＞y3＞y1，故选：A．
9．（2022·四川眉山·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．
【详解】∵，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，
∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为，化简后为：．故选：C．
【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．
10．（2022·陕西渭南·二模）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点；④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③ D．①③④
【答案】C
【分析】根据求出的范围即可判断①；求出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为，即可判断③，根据，，利用根与系数的关系即可求出的的范围，从而可以判断④．
【详解】解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点，
，整理得：，，故①正确；
，函数关于对称，
，开口向上，当时，y随x的增大而增大；故②错误；
，当时，，则恒过定点，故③正确；
若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，
根据二次函数的对称轴是，则，，
，
即：，解得，故④错误，选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东·汕头市一模）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式_______．
【答案】y=x2+2x+1（答案不唯一）
【分析】由待定系数法可设出函数的表达式，代入点坐标即可求得系数的关系式，进而可得到答案．
【详解】解：设二次函数的表达式为
∵二次函数过点（-1,0）∴ 令，则
∴二次函数的表达式为 故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2021·湖南中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中_______．
【答案】6
【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得．
【详解】解：由表格可知，和时的函数值相等，则二次函数的对称轴为直线，
因此，和的函数值相等，即，故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
12.（2022·广西南宁市·九年级一模）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求得点A的坐标，再利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【详解】解：解方程，得，当时，，∴点A的坐标为(，4)，
如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键．
14．（2022·江苏常州市·九年级一模）二次函数的图像与轴有两个公共点，则的取值范围是__________________．
【答案】
【分析】根据△＞0 抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+a的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，∴4﹣4a＞0，∴a＜1．故答案为a＜1
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△＝0 抛物线与x轴只有一个交点，△＞0 抛物线与x轴有两个交点，△＜0 抛物线与x轴没有交点，属于基础题．
15．（2022·辽宁·沈阳市虹桥中学溪湖分校一模）已知y＝﹣x2+4x，则x＝_____时，y有最_____值，为_____．
【答案】 2 大 4
【分析】利用配方法先将等式右边化简，即可求出结论．
【详解】解：y＝﹣x2+4x＝﹣(x2﹣4x+4﹣4)＝﹣(x﹣2)2+4，
∵(x﹣2)2≥0，∴﹣(x﹣2)2≤0，∴﹣(x﹣2)2+4≤4，
∴当x＝2时，y有最大值，为4．故答案为：2，大，4．
【点睛】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，将题中等式运用配方法变形为﹣（x﹣2）2+4是解题的关键．
16. （2022·广西·宾阳县三模）已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于_________．
【答案】1
【分析】根据二次函数的对称性用m、n表示出二次函数图象的对称轴，可得x=-=，则m+n=-，然后代入解析式求解即可．
【详解】解：∵当x=m和x=n时，y的值相等，∴x=-=，∴m+n=-
当x=m+n=-时，则y=a（-）2+b(-)+1=1，∴当x=m+n时，其函数值y为1，故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
17.（2022·福建初三月考）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
【答案】或
【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．
【解析】解：∵点是该抛物线的顶点，且，
∴该函数有最小值，则函数开口向上，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
当时，点B、C重合，则，不符合题意；
∴的取值范围为：或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．
18．（2022·江苏南通初三模拟）已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上
x … 0 1 2 3 …
y … m n 3 n …
则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．
【答案】-1
【分析】根据二次函数图象的对称性确定其对称轴，根据对称轴公式求出b的值，代入表格中的坐标求出c的值，然后根据二次函数的对称性及增减性判断和的大小关系．
【解析】根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是n，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，∴ ，b=4 ∴
把(2，3）代入得：c=-1 ∴ 把x=0代入得：m=-1
又∵对称轴是直线x=2， ∵，关于对称轴的对称点在4和5之间，
∵该二次函数的图象的开口方向是向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴y1＜y2，
答案：-1；y1＜y2
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知：二次函数．(1)将化成的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
【答案】(1)(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
【分析】（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
【解析】 (1)解：．
(2)解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），
抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．
【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
20．（2022·江苏阜宁初三二模）已知二次函数（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．
（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶点坐标为（m，-（m-1）2），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
【解析】（1）令，则．
∵，，，∴．
∵，∴．∴一元二次方程有实数根．
故不论取何值，函数与轴总有公共点．
（2）∵．
∴该函数的顶点坐标为．把代入，得．
∴不论为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上．
【点睛】本题考查了抛物线与判别式．也考查了二次函数的性质
21．（2022·河北邯郸·三模）已知x与y之间的函数关系式为（其中a、b是常数），且有下列对应关系：
x 1 －2
y －1 17
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点，点均在抛物线上，求m的值．
【答案】(1) (2)，．
【分析】（1）利用待定系数法，将对应的x，y代入，解二元一次方程组即可；（2）先将代入y与x之间的函数关系式求出的值，再将代入y与x之间的函数关系式求出m的值．
【解析】(1)解：由题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为．
(2)解：∵点在抛物线上，∴．∴，
∵点在抛物线上，∴，
整理得，解得，．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度较小，牢记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．
22．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若点（－1，），（a，），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围．
【答案】(1)直线 (2)或
【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；（2）分三种情况进行讨论分析：①当时，②当时，③当时，根据二次函数的基本性质及图象求解即可得出结果．
【解析】 (1)解：∵抛物线表达式为，∴对称轴为直线；
(2)解：由题意可知抛物线开口向上．
①当时，由，得．解得．
由，得．解得．∴．
②当时，由，得．解得．
由，得．解得．∴．
③当时，由，得．解得．
由，得．解得．无解．
综上，或．
【点睛】考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关键．
23．（2022·浙江·九年级一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且．当时，．求m的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；（2）把分别代入二次函数中，由得到，再结合图象知，整理得，结合已知条件，代入解题即可．
【详解】解：（1）二次函数图象的对称轴为：
二次函数的图象与x轴交于O，A两点，由对称性可知；
（2）把分别代入二次函数中得，
整理得，由抛物线开口向下得
．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一元一次不等式的解法、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24．（2022·浙江杭州·二模）二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
(1)若，求此时函数解析式；(2)当时，对应的函数值．
①和在该二次函数的图象上，试比较与大小；②求的范围．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出二次函数对称轴，然后根据当时，对应的函数值， 推出二次函数在对称轴左侧，y随x增大而减小，则二次函数开口向下，由此求解即可；②先求出，得到，再由当时，对应的函数值，求出，由此即可得到答案．
【解析】(1)解：设二次函数解析式为，
由题意得：，∴，∴二次函数解析式为；
(2)解：①∵当时，，当时，，∴二次函数对称轴为直线，
∵当时，对应的函数值，
∴二次函数在对称轴左侧，y随x增大而减小，∴二次函数开口向上，
∵，∴；
②∵二次函数对称轴为直线，∴当与当时的函数值相同，即，
设二次函数解析式为，
∴，，∴，∴，
∵当时，对应的函数值，∴，即，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
25．（2022·云南昭通·二模）已知二次函数的图象经过．
(1)求二次函数的对称轴；(2)点A的坐标为，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把代入得：，化简得：，再利用对称轴公式可得答案；（2）由点A的坐标为，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，先求解点B的坐标，结合，开口向下，再画好图形，列出不等式即可．
【解析】(1)解：把代入得：，化简得：，
∴二次函数的对称轴为：．
(2)解：∵点A的坐标为，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，
∴，∵，开口向下，∴二次函数图象与线段AB有交点时，
∴，解得：，∴a的取值范围是：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，点的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是解本题的关键．
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专题1.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
模块1：学习目标
1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，从而确定顶点坐标、对称轴；
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象性质并会应用；会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象；
3. 掌握二次函数字母系数与图象的关系；
4.理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系；了解用图象法求一元二次方程的近似根。
5.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集；
模块2：知识梳理
1、二次函数的性质
一般式 顶点式 交点式
函数表达式
开口 开口方向：当时，开口 向上 ，当时，开口 向下 .开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大。
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，k）
增减性及最值 当时，在对称轴的左侧，随的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，随的增大而 增大 ，函数有最 小 值 ；
当时，在对称轴的左侧，随的增大而 增大，在对称轴的右侧，随的增大而 减小 ，函数有最 大 值 .
2.二次函数字母系数与图象的关系
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
②对称轴可确定b的符号：
对称轴在x轴负半轴，则，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则，即ab＜0
③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
其他辅助判定条件：
④顶点坐标⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
3. 二次函数图像与一元二次方程的联系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）如下图所示：
判别式 >0 =0 <0
图像
与x轴交点 2个（2解） 1个（1解） 0个（无解）
方程的解 无解
（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题
例1．（2022·云南昆明三中初三期中）已知抛物线．求出它的顶点坐标和对称轴；
变式1.（2022·河南新乡·二模）二次函数y= x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2
考点2、二次函数的图象变换问题
例2．（2022·浙江九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线经变换得到抛物线，则这个变换是（ ）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
变式2. （2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
考点3、二次函数y=ax2+bx+c的增减性问题
例3．（2022·太原市·九年级模拟）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
变式3.（2022·福建省初三月考）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
考点4、二次函数y=ax2+bx+c的最值再探究
例4．（2022·浙江九年级期末）已知二次函数（，），当时，随的增大而减小，则的最大值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．
变式4. （2022·安徽合肥市九年级一模）已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
考点5、二次函数的对称性及运用
例5．（2022·贵州黔东南·二模）已知：二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A． B． C． D．
变式5. （2022·广西·宾阳县三模）已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于_________．
考点6、二次函数y=ax2+bx+c的图象问题
例6．（2021·山东东营市·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
变式6. （2021·湖北襄阳市·中考真题）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点7、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质综合问题
例7．（2022·四川成都·二模）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
变式7. （2022·重庆市黔江区九年级期末）二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
考点8、抛物线与x轴的交点
例8．（2022 海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
变式8.（2022.绵阳市初三期中）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A．且 B． C． D．
考点9、由二次函数解一元二次方程
例9．（2022·广西九年级二模）如图是二次函数的部分图象，由图可知方程的所有解的积等于______．
变式9. （2022 花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 ．
考点10、由二次函数的图象解不等式
例10.（2022·河南九年级一模）已知抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣4
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2＋x﹣2＞0.
解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1
∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1
变式10. （2022 杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
考点11、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
例11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
变式11. （2022·广东九年级专题练习）如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
考点12、抛物线与x轴交点上的四点问题
例12．（2022·福建厦门·九年级模拟）若、（）是关于的一元二次方程的两个根，、（）是关于的方程的两根，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式12. （2022 碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
考点13、由二次函数与一次函数交点个数求范围
例13．（2022·广西玉林·九年级一模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，将此二次函数图象在x轴下方的部分沿着x轴翻折，原图像保持不变，得到一个新的图象．当直线与此图象有且只有四个公共点时，则n的取值范围为________．
变式13. （2022 章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·云南·红河县九年级期末）已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东·九年级一模）如图，二次函数的图像经过点，若点的横坐标为-1，则一次函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西西安·三模）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2022·广东深圳·三模）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A． B． C．-2或 D．或
5.（2022 上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（ ）
A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q
6．（2022·浙江宁波·二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．（2022·广西南宁·二模）表中列出的是一个二次函数自变量x与函数y的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象与x轴有一个交点 B．抛物线开口方向向上
C．函数有最小值是－2 D．当时，y随x增大而减小
8．（2022·太原市·山西实验中学九年级其他模拟）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
9．（2022·四川眉山·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西渭南·二模）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点；④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·广东·汕头市一模）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式_______．
12．（2021·湖南中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中_______．
12.（2022·广西南宁市·九年级一模）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______．
14．（2022·江苏常州市·九年级一模）二次函数的图像与轴有两个公共点，则的取值范围是__________________．
15．（2022·辽宁·沈阳市虹桥中学溪湖分校一模）已知y＝﹣x2+4x，则x＝_____时，y有最_____值，为_____．
16. （2022·广西·宾阳县三模）已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于_________．
17.（2022·福建初三月考）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
18．（2022·江苏南通初三模拟）已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上
x … 0 1 2 3 …
y … m n 3 n …
则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知：二次函数．(1)将化成的形式．(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
20．（2022·江苏阜宁初三二模）已知二次函数（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．
（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
21．（2022·河北邯郸·三模）已知x与y之间的函数关系式为（其中a、b是常数），且有下列对应关系：
x 1 －2
y －1 17
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点，点均在抛物线上，求m的值．
22．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若点（－1，），（a，），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围．
23．（2022·浙江·九年级一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且．当时，．求m的取值范围．
24．（2022·浙江杭州·二模）二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
(1)若，求此时函数解析式；(2)当时，对应的函数值．
①和在该二次函数的图象上，试比较与大小；②求的范围．
25．（2022·云南昭通·二模）已知二次函数的图象经过．
(1)求二次函数的对称轴；(2)点A的坐标为，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．
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