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专题1.4 二次函数的应用
模块1：学习目标
1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；
2. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围；能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；
4. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题；
5. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题；
模块2：知识梳理
1．列二次函数解决实际问题的步骤：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；
③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；
④解决二次函数，并解答。
2．实际问题中自变量的取值
1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值，
①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y=
②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y=
2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。
3．利润问题中的数量关系：（1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.
4. 求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤：(1)实际问题。（2）建立二次函数模型。（3）利用二次函数的图象和性质求解。（4）确定实际问题的解。
6.二次函数与几何图形面积的最值
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1）求出函数解析式和自变量的取值范围； 2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数应用—商品利润的最值问题
例1．（2022·四川成都市·九年级二模）某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价20元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于26元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）每件销售价为26元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】解：（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知，，
，当时，随的增大而增大，
，当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为26元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
变式1．（2022·江苏南京市·九年级二模）某商品有线上、线下两种销售方式．线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5 000元；线下销售单件利润500元．另需支付其它成本12 500元．(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本)
（1）线上销售100件的净利润为 元；线下销售100件的净利润为 元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
【答案】(1)45000，37500；(2)当0＜x＜150时，线上销售的净利润大于线下销售的净利润；当x＝150时，线上销售的净利润等于线下销售的净利润；当150＜x≤600时，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；(3)当线上销售50件，线下销售350件时，最大净利润为185 000元
【分析】(1) 根据题意分别列式计算即可解答；(2)分别求出两种销售方式的净利润的函数关系式，再分三种情况求出x的取值范围即可；(3)设线上销售a件，售完后的净利润是m元，根据题意列出m关于a的关系式，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：(1)线上销售100件的净利润为：(600-100)×100-5000=45000(元)，
线下销售100件的净利润为：500×100-12500=37500(元)，故答案为：45000，37500
(2)设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，线上线下销售的净利润差为w元．则y1＝x(600－x)－5000，y2＝500x－12500.
w＝x(600－x)－5000－(500x－12500)＝－x2＋100x＋7500
结合二次函数w＝－x2＋100x＋7500的图像可知：
当0＜x＜150时，w＞0，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，
当x＝150时，w＝0，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，
当150＜x≤600时，w＝0，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；
(3)设线上销售a件时，售完400件商品的净利润为m元．
则m＝a(600－a)－5000＋500(400－a)－12500＝－a2＋100a＋182500 ＝－(a－50)2＋185000
∵－1＜0，∴当a＝50时，m有最大值185000，
即当线上销售50件，线下销售350件时，最大净利润为185000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出函数关系式，进而利用二次函数的性质求解．
考点2、二次函数应用—喷泉问题
例2．（2022·河北张家口市·九年级一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】D
【分析】A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
B、把y=0代入函数y＝﹣x2+x+1即可水流喷射的最远水平距离;C、当x=20时y=11，减去2即可；
D、向后平移后的解析式为，把x=37代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．
【详解】解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，
∴解析式为；故A不符合题意；
B、当y=0时，；解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；故B不符合题意；
C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，
当x=37时，y=8.5 8.5-3=5.5＞2.3， ∴可以避开对这棵石榴树的喷灌； 故选：D
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式2. （2022·浙江九年级期末）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？
【答案】（1）；（2）不会被水喷到；（3）
【分析】（1）结合题意，根据抛物线顶点坐标，将抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解；（2）解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=4时y的值，由此即可得出结论；
解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.7时x的值，由此即可得出结论；
（3）设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解
【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为（）．
把，代入得，解得．∴
令y=0，，解得：
∴抛物线（第一象限）的表达式为．
（2）解法一：对于，令，则，
∴小明不会被水喷到．
解法二：令，则，解得，．
∵，∴小明不会被水喷到．
（3）设喷水管的高度要升高（），则抛物线的表达式为．
把代入得，解得．∴喷水管的高度要升高．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
考点3、二次函数应用—球类运动轨迹问题
例3．（2022·浙江九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1），16米；（2）米
【分析】（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入（1）的解析式，求出的值即可得第一次落地点和守门员（点的距离；（2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出的值，进而得出结论．
【详解】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得，解得：，．
当时，，解得：（舍去）或，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点和守门员（点的距离为16米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，
由题意，得，
解得或（舍去），．
当时，．解得：或．
他应从第一次落地点再向前跑的距离为：米．
答：他应再向前跑米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键
变式3. （2022·宁县宁初三月考）某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A的水平距离为x米，与地面的距离为y米，运行时间为t秒，经过多次测试，得到如下部分数据：
t秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 …
x米 0 4 8 10 12 16 20 …
y米 2 4.56 5.84 6 5.84 4.56 2 …
（1）当t为何值时，网球高度达到最大值？（2）网球落在地面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）网球落在地面上弹起后，y与x满足；①用含a的代数式表示k；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A点，若有请求出a的值，若没有请说明理由．
【答案】（1）10；（2）米；（3）①；②不存在，理由见解析
【分析】（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；
（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A的水平距离；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可；
②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为，若要击杀则有，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a的值，继而根据对应x的值取舍可得．
【解析】（1）由表格中数据可得（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；
（2）以A为原点，以球场中线所在直线为x轴，网球发出的方向为x轴的正方向，竖直运动方向为y方向，建立平面直角坐标系．
由表格中数据，可得是的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，可设，
将（0，2）代入，可得：，∴，
当，得(负值舍去)，∴网球落在地面上时，网球与端点A的距离为米；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(，)代入，得；
②不存在．∵网高1.2米，球网到A的距离为米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点，∴扣杀路线在直线上，
令，整理得：，
当时符合条件，，解得，．
开口向下，，∴，都可以，
将，分别代入，得到得解都是负数，不符合实际．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
考点4、二次函数应用—拱桥（隧道）问题
例4．（2022·浙江·九年级一模）去年下半年以来，我市遭遇连续干旱，各地河流的水位连续下降，小明仔细观察并测量自家门口的抛物线型拱桥的水位高度与水面宽度，发现两周来每周水位下降的高度相同，而第一周水面宽度增加1米，而第二周水面宽度增加0.8米，小明刚开始观察时，他家门口抛物线型拱桥的水面宽为_______米．
【答案】3.1．
【分析】以初始拱桥最高点所在的水平线为x轴，以经过拱桥最高点且与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，然后根据二次函数的解析式和题目的已知条件求解计算即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为： 由题意可知QM=MN，CD-AB=1，EF-CD=0.8
∴由二次函数的图像的对称性可知MD=OB+0.5，NF=OB+0.9
设B点坐标为（m，），QM=MN=h∴D点坐标为（m+0.5，）∴F点坐标为（m+0.9，）
将D、F两点的坐标代入抛物线解析式得：
即消去得：，解得
又∵∴∴OB=OA=1.55∴AB=3.1故答案为：3.1．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合性问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识点．
变式4. （2022·山东青岛市·九年级一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【答案】（1）；（2）能正常进入；（3）650元
【分析】（1）根据题意可写出E点，N点和抛物线顶点坐标．再设该抛物线表达式为，即利用待定系数法可求出该抛物线解析式．（2）令，即求出方程的两个根，比较两个根的差的绝对值和3米的大小即可判断．（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，由此即可求出AB、CD和AD的长，即可列出W和t的二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点式求出其最值即可．
【详解】（1）根据题意可知E(0，4)、N(4，4)、抛物线顶点(2，6)．
设该抛物线表达式为，∴，解得：，
由图可知自变量x的取值范围是．故该抛物线表达式为．
（2）对于，当时，
即，解得：，，
∵，∴该消防车能正常进入．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，
根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，
∴，．
∴，即．
∵，∴最多需要花费650元．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
考点5、二次函数应用—分段函数
例5．（2022·凉山·九年级一模）我州拥有充足的日照、优质的水源和土壤，非常利于冬草莓种植，但草莓的产量对培育技术要求很高．某基地为降低成本、提高产量，发现基地草莓的生长率与温度有如下关系：如图，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．按照经验，基地草莓提前上市的天数（天）与生长率之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数（天） 0 5 10 15
（1）求的值；（2）写出关于的函数表达式；（3）用含的代数式表示；（4）天气寒冷，大棚加温可改变草莓生长速度．大棚恒温时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调査：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到时的成本为200元/天，但若欲加温到，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：假如草莓上市售出后大棚暂停使用）
【答案】（1）29；（2）；（3）当时，，当时，；（4）当时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元
【分析】（1）把代入，解方程即可得到结论；
（2）由表格可知，是的一次函数，设，把代入求出k、b的值即可；
（3）当时，，求得；
当时，根据题意即可得到；（4）根据二次函数的性质，分别讨论当时，当时，增加的利润最大值，比较结果得出最大值，即可得出结论．
【详解】解：（1）把代入得：，
解得：或，，．
（2）由表格可知，是的一次函数，设，
把代入得解得．
（3）当时，，；
当时，，
．
（4）当时，增加的利润为：，
当时，增加的利润的最大值为（元）；
当时，增加的利润为：，
∴当时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．
变式5. （2022·云南昆明市·九年级二模）五月我市周边的各种水果陆续成熟，吸引了广大市民前往观光采摘．果园经济带动了乡村采摘游，带动更多农户走向致富道路．郭家庄准备购买一批桑葚树和樱桃树共100棵，其中桑葚树不少于10棵，已知桑葚树的成活率为70%，樱桃树的成活率为90%，现在要求这批树的成活率不低于80%，桑葚树的单价和购买数量的函数关系以及樱桃树的单价和购买数量的函数关系分别如图1和图2所示．（1）写出关于的函数关系式（2）请你帮该农庄做个预算：购买这批树最少需要多少钱？
【答案】（1）；（2）购树所需费用最少为7900元．
【分析】（1）本题题函数是一个分段函数，当10≤x≤60时，是一个一次函数，可用待定系数法求得解析式，当60＜x≤100时，是一个常数函数y1=60；
（2）设购买桑葚树x棵，则购买樱桃树（100-x）棵，根据“桑葚树不少于10棵．其中桑葚树不少于10棵，已知桑葚树的成活率为70%，樱桃树的成活率为90%，学校要求这批树的成活率不低于80%”列出不等式（组）求得x的取值范围，再购树所需费用为W元，分情况：当10≤x＜40时；当40≤x≤50时．分别列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质，求得其最小值．
【详解】解：（1）当时，设，
把，代入得，，解得∴
当时，．综上，
（2）设购买桑葚树棵，则购买樱桃树棵，
由，得，∴．
设购树所需费用为元，①当时，
，
随的增大而减小
∴当时，（元）．
②当时，
，
根据图像，当时，，
∵∴购树所需费用最少为7900元．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，不等式（组）的应用，二次函数的应用，分段函数，求函数的最值．根据函数图象和正确列出二次函数解析式是解答第（2）小题的关键．
考点六：二次函数应用—其他问题
例6．（2022·浙江九年级期末）某校上学高峰期九年级学生到达学校的累积人数随时间的变化情况如表所示：
时间（分钟） 0 2 4 6 8 10 10-15
人数（人） 0 180 320 420 480 500 500
10分钟之后九年级学生全部到校．九年级到达学校的累积人数与时间的关系式为．回答下列问题：（1）疫情期间，该校九年级学生按要求有序匀速通过校门口的红外线测温仪进行体温检测．如果学生一到达学校就开始接受体温测量，体温检测仪每分钟可检测20人，问：学校门口等待接受体温测量的学生最多时有多少人？（2）按照“分批次、错峰上学”要求，为不影响七八年级学生进校时间，学校要求在12分钟内完成九年级学生的体温检测，现决定增设人工测温岗，每个岗位的工作人员每分钟检测10人，请问至少需要增设几个人工测温岗？
【答案】（1）320人；（2）至少需要增设3个测温岗
【分析】（1）若学校门口等待接受体温测量的学生为w，列出等待测温的函数解析式，利用函数的性质即可得出结果；（2）设增设a个人工测温岗，根据表格知集聚500人，利用每个测温岗检测人数之和大于等于集聚人数，列不等式求解即可．
【详解】（1）若学校门口等待接受体温测量的学生为w，则，
当分钟时，有最大值人．
（2）设增设a个人工测温岗，体温检测仪每分钟可检测20人，12分钟可测12×20=240人，
一个测温岗人工侧温每分钟检测10人，12分钟可测10×12=120人，
由题意可知：，解得，即至少需要增设3个测温岗．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的应用问题，掌握二次函数性质与列不等式的方法是解题关键．
变式6. （2022·吉林初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
【答案】＜＜
【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
【解析】解：抛物线，
∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）．
∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：；∴，
由对称轴为x=1及图象与x轴交于（，0），（3，0）可知，
当＜＜时，抛物线与线段AB有两个交点；
∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是＜＜；故答案为：＜＜.
【点睛】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大．
考点7、几何图形的最值问题
变式7. （2022 富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．
【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．
【解答过程】解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x），
当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，
答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；
（3）依题意得：，解得：6≤x≤28﹣a，
S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，
又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．
变式7．（2022·广东九年级期中）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵BE边长为x米，∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x 苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x+4x+16=16解得：x=0(舍）x=2 答：此时BE的长为2米．
【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山西九年级专题练习）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】D
【分析】根据数关系式，t＝﹣时，礼炮在升空到最高点，求解即可．
【详解】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t＝﹣ ＝- ＝6（s），故答案为：D．
【点睛】本主查二次数的性质，练享握二次函数的性质是解的关键．
2．（2022·山西运城市·九年级期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
∴函数表达式为：，
∵a＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
3．（2022·浙江九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【详解】解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，，解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为，故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．
4．（2022·四川省中考模拟）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），
则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-）， ∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
5．（2022·浙江温州·九年级期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y＝ax2－a，利用PQ＝EF建立等式，求出二次函数中的参数a，即可得出EF的值．
【详解】
解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1,O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则＝0，即b＝0．∴y＝ax2 +c．
将A(1，0)代入得a+c＝0,则c＝－a．∴y＝ax2－a．
∵OH＝2××＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝．
∴y＝x2＋．∴EF＝（）×（-0.6）２＋＝．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
6．（2022·山西临汾市·九年级二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【详解】解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7．（2022·江苏九年级三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，当y＜0时，n=1，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2022·山东德州市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
【答案】C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（2022·山东·九年级二模）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
【答案】B
【分析】设旅行团人数为人，此时的营业额为元，根据优惠规定可建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得．
【详解】解：设旅行团人数为人，此时的营业额为元，则，
由题意得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
10．（2022·广东九年级专题练习）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断
【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3
将（0，0）代入解析式得a＝，∴抛物线解析式为y=，
当x＝10时，y＝，∵＜2.44，满足题意，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·湖北襄阳市·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
【答案】3
【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴当x=1时，，故答案是：3．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
12．（2021·辽宁沈阳市·九年级二模）某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________元．
【答案】39
【分析】设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为x-20元，销售数量为280-（x-30） 10，根据公式利润=（售价-进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．
【详解】解：设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30） 10，∴利润总额为y=（x-20） [280-（x-30） 10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，故答案为：39．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即可求最大值．
13．（2022·青海西宁市·九年级期末）铅球运行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系满足，此运动员能把铅球推出__________．
【答案】18
【分析】运动员把铅球推出的距离即为y＝0时x的正值，据此求解可得答案．
【详解】解：当y＝0时，，整理，得：x2﹣16x﹣36＝0，解得x1＝18，x2＝﹣2，
所以此运动员能把铅球推出18m，故答案为：18．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解运动员把铅球推出的距离即为y＝0时x的正值．
14．（2022·吉林长春市·九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米．
【答案】3.4
【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x＝2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度．
【详解】解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，∴抛物线为y＝，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．故答案为：3.4．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题．
15．（2022·瑞安市九年级期末）图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米（如图2所示），x轴表示桥面，米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为__________．
【答案】
【分析】设出两个函数关系式，分别求出A、B、C、D各点表示的数即可解决问题．
【详解】如图，
因为两个函数的形状相同，因此可设：AB所在的抛物线为①，
CD所在的抛物线为②，
其中，分别表示A、B、C、D的横坐标，
对于①令x=0，代入可得，得E点坐标为；
对于②令x=0，代入可得，得E点坐标为，∴，即
∵∴∴，，
∴，， 将上式代入，得
解得，
又∵∴∴故答案为：
【点睛】此此题主要考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．
16．（2022·山东淄博市·九年级期末）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为________．
【答案】
【分析】根据题意得到顶点B的坐标为(6，6)，设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，求出a即可得到函数解析式．
【详解】根据题意可知：顶点B的坐标为(6，6)，
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，36a+6=0，解得a=，
∴抛物线的解析式为，故答案为：．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．
17．（2022·浙江温州市·九年级一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．
【答案】
【分析】以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标．由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量．
【详解】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，∴该抛物线解析式为．
当x=0时，故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．∴．解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．当时，即，
解得：（舍）．∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式以及一次函数的应用是解答本题的关键．数据处理较大，较难．
18．（2022·江苏苏州·九年级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．
【答案】40
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，设外侧抛物线的解析式为，将代入，得：
，解得：，内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，解得：，，，，
在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为．故答案为：40．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·安徽合肥市·九年级期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米
【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，解得：x1＝1，x2＝5，
∵起跳点A坐标为（2，3），∴x1＝1，不符合题意，∴x＝5，
∴运动员落水点与点C的距离为5米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
21．（2022·盐城市九年级期中）小明为了能在4月份的体育加试中取得好成绩，每天进行掷实心球训练：当投掷实心球时会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．实心球在投掷的过程中的高度y与实心球出手后的时间t满足：y＝－5t2＋bt＋2，水平距离x＝at，a是出手后实心球水平向前的速度，b为出手后竖直向上的速度．
（1）当时，①写出x与t的函数表达式为 ，y与t的函数表达式为 ；②结合所给的平面直角坐标系，求出y与x的函数表达式及此时投掷距离．
（2）当a＝b时，点O为投掷点，实心球落在圆心角为45°的∠AOB区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点O的距离为学生的投掷距离，已知落地点P在∠AOB区域内且到边界的距离PM＝m，PN＝6m，求出小明投掷的距离及实心球在此次投掷中的最高高度．
【答案】（1）①，；②，8m；（2）投掷距离为10m，2.006m
【分析】（1）①根据题意直接代入数值即可，②将①中的两式联立即可求出表达式，当时即可求出投掷距离；（2）先求出投掷距离，确定此时的表达式，求最值即可．
【详解】解：（1）①当时，，，
故答案为，；
②，① ，② 联立①②可得，
故与的函数表达式为，
当时得方程，解得或（舍去），故投掷距离为8m；
（2）作于，于，四边形为矩形，即，
，，，
又，，，，，
又，，即投掷距离为10m，
，，，
当时，，，解得，
，，，当时达到最高高度，
此时，故此次投掷中的最高高度为2.006m．
【点睛】此题考查与斜抛运动相关的数学知识，利用二次函数求最值是本题的解题关键．
22．（2022·河北唐山市·九年级二模）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．
（万元）
（万元）
（万元）
分别求和关于的函数关系式；求关于的函数关系式（用含的式子表示）；
当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）①该预判正确，理由见解析；②．
【分析】（1）y1（万元）、y2（万元）与投入资金n2、n（万元）成正比例，要确定解析式，只要找直线上一点，y2（万元）上（2，1），y1（万元）上（2，0.1）即可
（2）设公司计划共投入资金m（万元），投入甲种产品资金为x（万元），投入乙种产品资金为（m-x）（万元），代入即可，
（3）①由，得，配方得利用二次函数开口向上，对称轴右侧，函数的性质，取最大值与最小值作差即可，②设剩余年利润为，由①知年利润，可得剩余年利润为：，对称轴为，，抛物线开口向上，在对称轴左侧，剩余年利润为与x的增大而减小，只要投资额在对称轴左侧取值，即，又知0【详解】解：（1）由题意，设，由表格数据可得，，解得∴．
设，由表格数据可得，，解得，∴．
（2）由题意可知，投入甲种产品资金为万元，则投入乙种产品资金为万元，
则有，即．
（3）①由，得，
∵，抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，，
当时，，，∴该预判正确．
②．设剩余年利润为，由题意可得：，
对称轴为，，抛物线开口向上，
若要满足全年利润随增大而减小，则必有，解得，又，∴．
【点睛】本题考查正比例函数，二次函数，剩余利润函数问题，关键是掌握正比例函数的求法，再列出二次函数，统一自变量，读懂题的含义列出剩余利润函数．
22．（2022·湖北武汉市·九年级月考）如图，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点E，F，G，H构成四边形EFGH，四边形EFGH部分种植甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪．每一个小矩形的面积为xm2，已知种植甲种花50元/m2，乙种花80元/m2，草坪10元/m2，种植总费用为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；（2）当种植总费用为74880元时，求一个矩形的面积为多少？
（3）为了缩减开支，甲区域改用单价为40元/m2的花，乙区域用单价为a元/m2（，且a为10的倍数）的花，草坪单价不变，最后种植费只用了55000元，求a的最小值．
【答案】（1）；（2）96m2；（3）50
【分析】（1）E，F，G，H分别为正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为正方形且S正方形EFGH=S正方形ABCD=×402=800，进而求解；（2）令y=74880时，解得：x=96，即可求解；
（3）由题意得800×40+4xa+(800-4x)×10=55000，即(a-10)x=3750，而设矩形的一条边为t，则另一条边为 20-t，可得x=t (20-t)=-t2+20t，当t=10时，xmax=100，故a≥47.5，即可求解．
【详解】解：（1）∵E，F，G，H分别为正方形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH为正方形且S正方形EFGH=S正方形ABCD=×402=800，
∴y=800×50+4x 80+(800-4x)×10=280x+48000；
（2）当y=74880时，280x+48000=74880，解得：x=96，∴一个矩形的面积为96m2；
（3）由题意得800×40+4ax+(800-4x)×10=55000，∴(a-10)x=3750，∴a=+10，
设矩形的一条边为t m，则另一条边为(20-t)m，∴x=t (20-t)=-t2+20t=-(t-10)2+100，
∵-1＜0，∴当t=10时，xmax=100，∴a≥47.5，又∵a≤80，且a为10的倍数，∴a的最小值为50．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23.（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系：
… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 …
… 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 …
（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）．①写出关于的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）图象见详解；（2）；（3）①；②销售单价应定3元．
【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；
（3）①由题意易得，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．
【详解】解：（1）y关于x的函数图象如图所示：
（2）由（1）可设y与x的函数关系式为，则由表格可把代入得：
，解得：，∴y与x的函数关系式为；
（3）①由（2）及题意可得：；
∴关于的函数表达式为；
②由题意得：，即，∴，解得：，∴；
答：此时的销售单价应定为3元．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．
24．（2022.广东初三期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【解析】（1）当，即，．
∴当时，
当时，．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），，则．
令，则．解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．观察示意图可知：．
又，．
．
对称轴为
，对称轴．∴当时，元．
，．又，．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
25．（2022·江苏九年级期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数（单位：人）随时间（单位：分钟）的变化情况如图所示，当时，可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为；当时，累计人数保持不变．
（1）求与之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】（1）；（2）排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；（3）2个
【分析】（1）当时，可看作是的二次函数，由于抛物线的顶点为（10，500），设y与x之间的函数解析式为：y=a（x-10）2+500，把O点的坐标（0，0）代入即可求得a；当时，累计人数保持不变，问题即可解决；（2）设第x分钟时的排队人数为w人，到校人数减去检测人生，即可得到w与x的函数解析式，根据二次函数解析式可求得其最大值=180；要全部学生都完成体温检测，根据题意得，求解即可；（3）设从一开始就应该增加个检测点，由“在8分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．
【详解】解：（1）当时，设与之间的函数关系式为：，
把代入上式得：，解得：，
故函数关系式为：
当时，累计人数保持不变，即y=500．
∴
（2）设第分钟时的排队等待人数为人，由题意可得：
①时，，
∴当时，的最大值，
②当时，随的增大而减小，，
∴排队人数最多时是180人，
要全部学生都完成体温检测，根据题意得： 解得：
答：排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，由题意得：，解得
的最小整数是2，∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
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专题1.4 二次函数的应用
模块1：学习目标
1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；
2. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围；能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；
4. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题；
5. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题；
模块2：知识梳理
1．列二次函数解决实际问题的步骤：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；
③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；
④解决二次函数，并解答。
2．实际问题中自变量的取值
1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值，
①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y=
②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y=
2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。
3．利润问题中的数量关系：（1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.
4. 求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤：(1)实际问题。（2）建立二次函数模型。（3）利用二次函数的图象和性质求解。（4）确定实际问题的解。
6.二次函数与几何图形面积的最值
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1）求出函数解析式和自变量的取值范围； 2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数应用—商品利润的最值问题
例1．（2022·四川成都市·九年级二模）某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价20元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于26元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
变式1．（2022·江苏南京市·九年级二模）某商品有线上、线下两种销售方式．线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5 000元；线下销售单件利润500元．另需支付其它成本12 500元．(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本)
（1）线上销售100件的净利润为 元；线下销售100件的净利润为 元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
考点2、二次函数应用—喷泉问题
例2．（2022·河北张家口市·九年级一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
变式2. （2022·浙江九年级期末）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？
考点3、二次函数应用—球类运动轨迹问题
例3．（2022·浙江九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
变式3. （2022·宁县宁初三月考）某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A的水平距离为x米，与地面的距离为y米，运行时间为t秒，经过多次测试，得到如下部分数据：
t秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 …
x米 0 4 8 10 12 16 20 …
y米 2 4.56 5.84 6 5.84 4.56 2 …
（1）当t为何值时，网球高度达到最大值？（2）网球落在地面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）网球落在地面上弹起后，y与x满足；①用含a的代数式表示k；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A点，若有请求出a的值，若没有请说明理由．
考点4、二次函数应用—拱桥（隧道）问题
例4．（2022·浙江·九年级一模）去年下半年以来，我市遭遇连续干旱，各地河流的水位连续下降，小明仔细观察并测量自家门口的抛物线型拱桥的水位高度与水面宽度，发现两周来每周水位下降的高度相同，而第一周水面宽度增加1米，而第二周水面宽度增加0.8米，小明刚开始观察时，他家门口抛物线型拱桥的水面宽为_______米．
变式4. （2022·山东青岛市·九年级一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
考点5、二次函数应用—分段函数
例5．（2022·凉山·九年级一模）我州拥有充足的日照、优质的水源和土壤，非常利于冬草莓种植，但草莓的产量对培育技术要求很高．某基地为降低成本、提高产量，发现基地草莓的生长率与温度有如下关系：如图，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．按照经验，基地草莓提前上市的天数（天）与生长率之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数（天） 0 5 10 15
（1）求的值；（2）写出关于的函数表达式；（3）用含的代数式表示；（4）天气寒冷，大棚加温可改变草莓生长速度．大棚恒温时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调査：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到时的成本为200元/天，但若欲加温到，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：假如草莓上市售出后大棚暂停使用）
变式5. （2022·云南昆明市·九年级二模）五月我市周边的各种水果陆续成熟，吸引了广大市民前往观光采摘．果园经济带动了乡村采摘游，带动更多农户走向致富道路．郭家庄准备购买一批桑葚树和樱桃树共100棵，其中桑葚树不少于10棵，已知桑葚树的成活率为70%，樱桃树的成活率为90%，现在要求这批树的成活率不低于80%，桑葚树的单价和购买数量的函数关系以及樱桃树的单价和购买数量的函数关系分别如图1和图2所示．（1）写出关于的函数关系式（2）请你帮该农庄做个预算：购买这批树最少需要多少钱？
考点六：二次函数应用—其他问题
例6．（2022·浙江九年级期末）某校上学高峰期九年级学生到达学校的累积人数随时间的变化情况如表所示：
时间（分钟） 0 2 4 6 8 10 10-15
人数（人） 0 180 320 420 480 500 500
10分钟之后九年级学生全部到校．九年级到达学校的累积人数与时间的关系式为．回答下列问题：（1）疫情期间，该校九年级学生按要求有序匀速通过校门口的红外线测温仪进行体温检测．如果学生一到达学校就开始接受体温测量，体温检测仪每分钟可检测20人，问：学校门口等待接受体温测量的学生最多时有多少人？（2）按照“分批次、错峰上学”要求，为不影响七八年级学生进校时间，学校要求在12分钟内完成九年级学生的体温检测，现决定增设人工测温岗，每个岗位的工作人员每分钟检测10人，请问至少需要增设几个人工测温岗？
变式6. （2022·吉林初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是____．
考点7、几何图形的最值问题
变式7. （2022 富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．
式7．（2022·广东九年级期中）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山西九年级专题练习）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
2．（2022·山西运城市·九年级期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川省中考模拟）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
5．（2022·浙江温州·九年级期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2022·山西临汾市·九年级二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
7．（2022·江苏九年级三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
8．（2022·山东德州市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
9．（2022·山东·九年级二模）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
10．（2022·广东九年级专题练习）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·湖北襄阳市·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
12．（2021·辽宁沈阳市·九年级二模）某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________元．
13．（2022·青海西宁市·九年级期末）铅球运行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系满足，此运动员能把铅球推出__________．
14．（2022·吉林长春市·九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米．
15．（2022·瑞安市九年级期末）图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米（如图2所示），x轴表示桥面，米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为__________．
16．（2022·山东淄博市·九年级期末）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为________．
17．（2022·浙江温州市·九年级一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．
18．（2022·江苏苏州·九年级一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·安徽合肥市·九年级期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．
21．（2022·盐城市九年级期中）小明为了能在4月份的体育加试中取得好成绩，每天进行掷实心球训练：当投掷实心球时会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．实心球在投掷的过程中的高度y与实心球出手后的时间t满足：y＝－5t2＋bt＋2，水平距离x＝at，a是出手后实心球水平向前的速度，b为出手后竖直向上的速度．
（1）当时，①写出x与t的函数表达式为 ，y与t的函数表达式为 ；②结合所给的平面直角坐标系，求出y与x的函数表达式及此时投掷距离．
（2）当a＝b时，点O为投掷点，实心球落在圆心角为45°的∠AOB区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点O的距离为学生的投掷距离，已知落地点P在∠AOB区域内且到边界的距离PM＝m，PN＝6m，求出小明投掷的距离及实心球在此次投掷中的最高高度．
22．（2022·河北唐山市·九年级二模）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．
（万元）
（万元）
（万元）
分别求和关于的函数关系式；求关于的函数关系式（用含的式子表示）；
当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．
22．（2022·湖北武汉市·九年级月考）如图，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点E，F，G，H构成四边形EFGH，四边形EFGH部分种植甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪．每一个小矩形的面积为xm2，已知种植甲种花50元/m2，乙种花80元/m2，草坪10元/m2，种植总费用为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；（2）当种植总费用为74880元时，求一个矩形的面积为多少？
（3）为了缩减开支，甲区域改用单价为40元/m2的花，乙区域用单价为a元/m2（，且a为10的倍数）的花，草坪单价不变，最后种植费只用了55000元，求a的最小值．
23.（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系：
… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 …
… 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 …
（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）．①写出关于的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
24．（2022.广东初三期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
25．（2022·江苏九年级期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数（单位：人）随时间（单位：分钟）的变化情况如图所示，当时，可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为；当时，累计人数保持不变．
（1）求与之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
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