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专题1.5 确定二次函数的解析式的六种方法与二次函数图象与系数的关系（选填题压轴）
模块1：学习目标
1. 会用待定系数法求二次函数的表达式；
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题；
3. 熟练掌握二次函数的图象与系数的关系；
4. 熟练掌握二次函数图象与性质类的综合压轴（选填题）。
模块2：知识梳理
1、由抛物线的图象确定系数的符号
通过抛物线的图形判断系数的符号题型中，通常关注图形中的一下几点：
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0；
②对称轴可确定b的符号：对称轴在x轴负半轴，则＜0，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0，即ab＜0；
③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0；
④含有b2和4ac时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△；
⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=；
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
⑦只含有a、b两个字母时，想对称轴；
2a+b与0的大小→找对称轴与1的左右关系；2a-b与0的大小→找对称轴与-1的左右关系；
a+b与0的大小→找对称轴与的左右关系；a-b与0的大小→找对称轴与的左右关系；
⑧含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系时，给x取值，结合图像上下判断;
如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
（1）a+b+c与0的大小：∵当x=1时，y=a+b+c，∴看x=1时，对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，上方则a+b+c＞0，下方则a+b+c＜0；
（2）a-b+c与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
（3）4a+2b+c与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
（4）4a-2b+c与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
⑨只含有a、c或者只含有b、c时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a或b转化成b或a，最后转化成a+b+c或a-b+c等结论判断.
⑩其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.
2、一般式法二次函数的表达式
1）待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式；（2）代：坐标代入；（3）解：方程（组）；（4）还原：写解析式。
2）一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
3、顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
4、交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
5、特殊条件的二次函数的表达式
1）二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
2）二次函数的轴对称
（1）关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
（2）关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是
3）二次函数的中心对称
（1）关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
（2）关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
模块3：核心考点与典例
考点1、由抛物线的图象确定系数的符号
例1．（2023·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①；根据图象判断时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，，，∴，∴；故①错误；
由图象可知：当时，对应的函数值小于0，即：，∴；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，∴和的函数值相同，即：，
∵，∴；故③正确；
∵，，∴，∴，即：；故④错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数取得最大值为，∴，
∴；故⑤正确；综上：正确的有个；故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
变式1．（2022·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置、对称轴即可判断①对错；根据对称轴即可判断②对错；根据抛物线的对称性得即可判断③对错；根据图象与x轴的交点个数，即可判断④对错；将代入函数解析式即可判断⑤对错．
【详解】解：图象开口向上，与轴交点在负半轴，，，
图象对称轴在x轴负半轴， 、同号，，，①错误；
对称轴为直线，，，②正确；
对称轴为直线，且与的一个交点坐标为，
图象与x轴的另一个交点坐标为，③正确；
图象与x轴有两个交点，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，④错误；
图象与x轴的两个交点为，，
，，⑤正确，正确的结论有②③⑤，共3个，故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，由图象得出a、b、c的数量关系是解题关键，属于基础题型．
变式2．（2023·浙江·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，
∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确；
由函数图象可知，当时，，∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，
∵，∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数有最大值，
∴，∴，故④正确；故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
变式3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）小明给出如下题目：二次函数的图象如图所示，点A坐标为，给出下列结论：①；②；③当时，；④；⑤其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则根据判别式的意义可对①进行判断；利用对称轴即可对②进行判断；根据图象即可对③进行判断；由，，即可对④进行判断；由，，即可求得，即可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
即抛物线抛物线与x轴有2个交点，∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，即，∴，故②错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为，开口向下，∴当时，，故③正确；
∵，，∴，故④错误；∵抛物线经过点，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故⑤正确．故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
变式4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期末）如图为二次函数的图象，有下列结论：①；②；③；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象可知，，，可判断①，然后由图象可知当时，y的最大值为．当时，，可得，可判断②．由图象可知：当时，y的最大值为, 当时，，可判断③，若方程有四个根，分别设为，，，，再由图象对称性可知，，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①不符合题意．
由①知：, 由图象可知：时，， ∴， ∴，
∴， 即，故②不符合题意．
由图象可知：当时，y的最大值为，
∴当时，，∴，
∵， ∴， ∴，故③符合题意．
若方程有四个根，分别设为，，，，
其中，是方程的两个根，，是方程的两个根，
则，， 即这四个根的和为4，故④符合题意． 故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．
考点2、二次函数的解析式--开放型
例2．（2022·广东·汕头市一模）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式_______．
【答案】y=x2+2x+1（答案不唯一）
【分析】由待定系数法可设出函数的表达式，代入点坐标即可求得系数的关系式，进而可得到答案．
【详解】解：设二次函数的表达式为
∵二次函数过点（-1,0）∴ 令，则
∴二次函数的表达式为 故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
变式1. （2022 昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式： ．
【分析】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．
【详解】解：设抛物线y＝ax2+bx+c，对称轴x4，顶点到x轴的距离为2，
即顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵4，即：2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，2b+c＝2时则 设a＝2，2b+c＝﹣2时，则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．故答案为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．答案不唯一．
考点3、利用一般式求解析式
例3．（2022·浙江杭州·九年级期末）若二次函数的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
【答案】C
【分析】根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，解得：，∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
变式3. （2022 埇桥区期末）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．
【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．
【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0） ∴AO＝1，OB＝4，
AB＝AO+OB＝1+4＝5，∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数图象过A，C，B三点，
∴，解得，∴二次函数的表达式为yx2x+5．
考点4、利用顶点式求解析式
例4．（2022·云南·红河县九年级期末）已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用待定系数法确定解析式，对照选择即可．
【详解】∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为，
把点代入解析式，得，解得ａ=1，∴，故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握解析式是解题的关键．
变式4. （2022·浙江杭州·九年级阶段练习）某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1
【答案】C
【分析】设二次函数的解析式为，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，可确定函数的解析式．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，
∴二次函数的解析式为：，故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．
考点5、利用两根式求解析式
例5．（2022 任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
【解题思路】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．
【解答过程】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得
8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），
化简得，y＝2x2+2x﹣4．故选：D．
变式5. （2022 长安区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
【解题思路】由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；
【解答过程】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
考点6、利用平移变换求解析式
例6．（2022·河南初三月考）将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
【解析】解：抛物线y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）．
将其向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2+5．故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
变式6. （2022·上海市九年级期中）抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，那么原抛物线的解析式为____________
【答案】
【分析】将抛物线的图像先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得．
【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为，即为，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为，
即为，则原抛物线的解析式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．
考点7、利用对称变换求解析式
例7．（2022·湖北恩施·二模）抛物线y＝5x2＋3x＋2关于x轴对称的抛物线解析式为（ ）
A．y＝5x2＋3x＋2 B．y＝－5x2－3x－2 C．y＝－5x2－3x＋2 D．y＝－5x2＋3x＋2
【答案】B
【分析】利用原抛物线上的关于 x 轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
【详解】解：抛物线y＝5x2＋3x＋2关于x轴对称的抛物线解析式为-y＝5x2＋3x＋2，
∴所求解析式为：y＝－5x2－3x－2， ∴A、C、D错误，不符合题意，B正确，符合题意，故选： B．
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．
变式7.（2022.绵阳市九年级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
【解题思路】（1）直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案；
（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于原点对称的特点得出答案．
【解答过程】解：（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，
得﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7
所以二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
模块4：同步培优题库
一、选择题
1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：（1）；（2）当时，y的值随x值的增大而减小；（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①由图表中数据可知，和时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线，∵时，，∴，
∵时，，∴，∴，故（1）正确，
②∵，∴开口向下，∵抛物线的对称轴，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故（2）正确，
∵时，，∴，∴，
∴是方程的一个根，故（3）正确．
∵时，，∴，∴，
∴是方程的一个根，
∴当时，，故（4）正确．
综上所述，正确的有4个，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于A、B两点，与轴正半轴交于点C，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与各项系数的关系，可知，，，所以①错误；根据图像与轴有两个交点，可知，所以②错误；已知，根据C点坐标得到A点坐标，代入函数式得到，所以③正确；设A、B两点的横坐标为、，则，，根据一元二次方程跟和系数关系可知，所以④错误．
【详解】抛物线开口向下，，
抛物线的对称轴在轴右侧，，，
抛物线与轴交点在正半轴，，，所以①错误；
抛物线与轴有两个交点，，所以②错误；
，，，，所以③正确；
设A、B两点的横坐标为、，则，
，，所以④错误，故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与各项系数的关系，抛物线与轴交点，一元二次方程跟和系数关系等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：
①；②；③；④，（m为实数）；
⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
【详解】解：①对称轴在轴右侧，、异号，，故正确；
②对称轴，，故正确；
③，，当时，，
，故错误；
④根据图示知，当时，有最大值；即：，
所以为实数），故正确；
⑤如图，当时，不只是大于0，故错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
4．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得，进而判断②③；由有两个根和，且，即可判断④；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，则，对称轴在y轴的左侧，则，交y轴的负半轴，则，
∴，①正确；∵抛物线的顶点坐标，
∴，∴，∴抛物线的解析式为，
∴，②正确；，③错误；
∵抛物线交x轴于，
∴若方程有两个根和，且，，则，④正确；
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，
则，可得，设方程的两根分别为，，
则，可得，所以这四个根的和为，⑤正确．
综上，①②④⑤正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
5．（2022·浙江宁波·校考三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤．
【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，，，
它的对称轴为直线，，，，，故①正确；
该抛物线的顶点在x轴的上方，它的顶点的纵坐标，故②正确；
它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4，
当时，，故③正确；由③知点B的横坐标在4与5之间，
它的对称轴为直线，点A的横坐标在0与-1之间，
方程其中一个解的取值范围为，故⑤错误；
故当时，，，，
即，故④错误，故正确的有①②③，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图， 拋物线的对称轴是直线， 并与轴交于， 两点， 若， 则下列结论中: ①；②；③；④若为任意实数， 则， 正确的个数是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①④
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，设，可得到，解得（舍去），从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④．
【详解】解：因为抛物线的开口方向，所以；
因为对称轴是直线，所以；
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以，所以；故①错误；
因为对称轴是直线，所以；
因为，设，所以，
解得（舍去），所以，所以，
所以，
所以，所以②③正确；
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，
所以，所以，
所以，所以，所以④正确．故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质，对称轴，最值，抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
7．（2023·陕西西安·校考二模）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图像如图所示，则以下结论其中正确是（ ）
A． B．若方程没有实数根，则
C． D．若点、是抛物线上的两点，则
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，顶点坐标以及与一元二次方程的关系逐项判断即可．
【详解】抛物线与x轴有两个不同交点，
因此，故A选项错误；
若方程没有实数根，则，故B选项错误；
∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，故C选项错误；
观察图像可知：当时，y随x增大而减小，
时，，∴，故D选项正确；故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是正确判断的前提．
8．（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据对称轴可判断①不正确；根据二次函数的增减性可判断②正确；由抛物线经过点和对称轴可得，结合可判断③正确；求出点的对称点为，结合图象可判断④正确．
【详解】解：∵对称轴，∴，∴，故①不正确；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点的距离，∴，故②正确；
∵抛物线经过点，∴，∵，∴，
∵抛物线开口向上，∴，∴，故③正确；
∵对称轴为直线，∴点的对称点为，
∵开口向上，∴，，故④正确．故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，下列结论：①；②；③关于x的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴，
∵对称轴为，∴，∴，故①正确；
∵抛物线与轴有2个交点，∴，即，故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵时，即，
∵抛物线的对称轴为，∴，即，∴，即，
∵，∴，∴，故④不正确，故选：C
【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
10．（2023·广东广州·统考一模）已知二次函数，与自变量之间的部分对应值如下表所示．下列结论：①；当②时，；③；④关于的一元二次方程的解是，．其中正确的有（ ）
x … …
y … 1 0 …
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】观察图表可知，开口向下，，二次函数在与时，值相等，得出对称轴为直线，即可得出，在根据图象经过点，得出由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与轴的交点，即可判断②；根据，即可判断③；根据抛物线的对称性求得点关于直线的对称点是，即可判断④．
【详解】解：①由表格可知：二次函数有最大值，，开口向下，
对称轴为直线，，
图象经过点，，，故①说法错误；
②对称轴为直线，点关于直线的对称点为，
，开口向下，当时，，当时，，故②说法错误；
③由对称性可得：当时，，
，故③说法错误；
④点关于直线的对称点是，
关于的一元二次方程，即的解是，，故④说法正确．即正确的说法有1个，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线是解题的关键．
11．（2023·山东泰安·统考一模）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④（m为任意实数），其中结论正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：，，
，，，故①错误；
②抛物线与轴有两个交点，，，故②正确；
③∵图像对称轴为直线，与x轴一个交点在和0之间，则另一个交点在2和3之间，
∴当时，图像在x轴下方，即，
∴当时，，故③错误；
④当时，取最小值，此时，，
而当时，，所以，
故，即，故④正确；即正确的结论有2个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
12．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的交于点，与y轴交于点B，下列判定：①；②；③当时，；④若，则抛物线最高点的纵坐标y满足：．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系得到，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，推出，即可判断②；根据对称性即可判断③；先由抛物线与x轴的交于点，得到，再由当时，，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于坐标轴，∴，
∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故①错误；
当时，，∴，∴，故②正确；
∵当时，，且抛物线对称轴为直线，∴当时，，故③正确；
∵抛物线与x轴的交于点，∴，即，∴，
当时，，
∵，∴，即若，
则抛物线最高点的纵坐标y满足：，故④正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
13．（2023·四川巴中·统考一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤直线（，，，，，）与抛物线所有交点的横坐标之和为；其中正确结论的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴的性质，依次判断，即可．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为：，
∴当时，，∴当时，，故错误；
∵二次函数的图象与轴有两个交点，∴，∴，
∵二次函数的图象开口向上，∴，∴，∴，∴正确；
∵二次函数的图象与轴交于点，∴当时，，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵二次函数的图象与轴的交点在和之间，
∴，∴，∴，∴，∴正确；
∵，，，∴，∴正确；
∵，∴，∴，
当时，，∴正确；∴正确的为：．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
14．（2023·广东惠州·校考一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、定点坐标等知识点，逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵对称轴，异号，∴，
∵抛物线与轴的交点在和之间，∴，∴，故①正确；
∵抛物线与轴交于，对称轴为，∴抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，故②不正确；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴，即，
∵，∴，故③正确；
由题意可知，方程的两个根为，，又∵，即，
∵，∴，∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有个，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，正确的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系是正确解答本题的关键．
15．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，已知二次函数（为常数，且）的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据图像判断二次函数中系数符号，根据对称轴判断的符号，根据点的坐标及函数最值等即可求解．
【详解】解：根据图示可知，，，
∵对称轴为，∴，∴①，正确；
②，故②错误；∵二次函数（为常数，且）的图像经过点，
∴，故③正确；
∵函数的对称轴为，∴当，，随的增大而减小，故④错误；
∵当时，函数有最大值，且最大值为，
∴对于任意实数，总有，即，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，个，故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．
16．（2023·河南郑州·校考一模）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，可判断，，，故，故①正确；根据对称轴的情况，可得，故②错误；根据图形，当时，，故③正确；当时，，可得，故④错误，即可解答．
【详解】解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，，
抛物线与轴交于负半轴，，，故①正确；
对称轴为直线，得，即，故②错误；
由图可知：当时，，，故③正确；
当时，，，即，故④错误．
综上所述，有个结论正确．故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数的图像判断式子的符号，熟知二次函数图像与对应的项的符号关系以及对称轴公式是解题的关键．
17．（2023·天津滨海新·统考一模）二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）；其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据二次函数图像的性质，对称轴的性质即可求解．
【详解】解：根据图示可知，在二次函数中，，，对称轴，
∴，∴结论①中，，故结论①错误；
结论②，根据题意得，当时，二次函数中，；当时，，
∵对称轴为，∴当与时，的值相等，且，故结论②错误；
结论③，当时，，
∵，∴，即，则，
∴，∴，故结论③错误；结论④，
∵对称轴为，∴当时，，是函数的最小值，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故结论④正确，
综上所述，正确的有④，个，故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的性质，理解图示，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
18．（2023·广东河源·统考一模）已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：若，则；若时，则；
若点，，在抛物线上，，且，则；
当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据和过点，可得，根据，列不等式组可解答；
根据对称轴是直线，计算，最后将点的坐标代入抛物线的解析式可解答；
计算对称轴，确定，可知：点到对称轴的距离点到对称轴的距离，开口向下时可得的大小；列方程计算可解答；根据已知确定解析式，列方程计算可解答．
【详解】解：若，则，
抛物线过，，，
，当时，；当时，；
联立此两个不等式，将代入以上不等式，可解得；故错误；
当时，对称轴是直线，，
当时，，，即，，故错误；
由题意，抛物线的对称轴是直线，，，即，
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，，故正确；
设抛物线的解析式为，方程，
整理得，， ，
，，，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确，
如果，则，如果，根据，则；
又抛物线过，，，，
当时，，当时，，
根据图象知，直线与该二次函数有一个公共点，则，
，故错误．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2023·湖北随州·统考一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，点的坐标为，顶点为，对称轴与轴交于点，则下列结论：①，②，③，④当时，在线段上一定存在点，使得为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线的图像开口向上，与y轴交于点C在y的负半轴上，可判断、，对称轴在y轴右侧，可判断，故，结论①正确；由点B的坐标为，可知，即，故结论②正确；根据题意确定点，结合点，可知和是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系即可计算，故结论③正确；求出，，再推出，即，从而判断结论④正确．
【详解】解：∵抛物线的图像开口向上，与y轴交于点C在y的负半轴上，
∴，，∵其对称轴在y轴右侧，∴，∴，∴，故结论①正确；
∵点B的坐标为，∴，∴，故结论②正确；
∵根据题意，抛物线与y轴交点为，且，∴点，
∴和是方程的两个根，
∴，，即，∴，故结论③正确；
∴，∴，∵是对称轴，点P在线段上，∴，
∴当为等腰直角三角形时，，∴，
∴，∴，∴，即，
∴或，∴或（舍去），
∴当时，在线段上一定存在点P，使得为等腰直角三角形，故结论④正确．故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像与x轴交点以及二次函数图形问题等知识，解题关键是掌握二次函数图像的性质以及二次函数与方程的关系．
20．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，，下列结论中：①；② ；③若t为任意实数，则有；④当此抛物线经过点时，方程的两根为，可求得，正确结论的序号为（ ）
A．① ② ③ B．② ③ C．③ ④ D．② ③ ④
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对②进行判断；利用二次函数当时有最小值可对③进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，，从而得到，，则可对④进行判断．
【详解】如图所示
①抛物线开口向上，，
抛物线的对称轴为直线，即，，
抛物线与轴的交点在轴下方，，，所以①不符题意；
②时，，，而，，
，，所以②不符合题意；
③时，有最小值，为任意实数），
即，所以③符合题意；
④图象经过点，时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，，
抛物线的对称轴为直线，二次函数与直线的另一个交点为，，
即，，，所以④不符题意．故选：B．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，掌握抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点； 时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点，是解题关键．
21．（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣4x C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝x2﹣4x+3
【答案】B
【分析】根据对称轴可求得，进而根据向下平移经过原点即可求得平移后的解析式
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2
∴解得
向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，
平移后图象所对应的二次函数的表达式为故选B
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的平移，求得二次函数的解析式是解题的关键．
22．（2022·山东泰安·九年级期末）如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可．
【详解】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将二次函数的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为，即．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴的对称点的坐标特点是解答此题的关键．
二、填空题
23．（2022·黑龙江大庆·九年级期末）抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为：_____．
【答案】
【分析】根据两点式解析式的特点设．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），
∴抛物线解析式可设为，故答案为：．
【点睛】此题考查两点式解析式的公式，正确掌握公式及字母表示的意义是解题的关键．
24.（2022 西城区模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
【解题思路】利用二次函数的性质可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，二次项系数为1，然后利用顶点式写出满足条件一个二次函数表达式．
【解答过程】解：∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，∴二次项系数为1，
∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1）2．故答案为y＝（x﹣1）2．
25．（2022 荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），则抛物线的解析式 ．
【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为（5，4）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D，
∴，解得．故抛物线的解析式为yx2x+4．
26.（2022 漳州月考）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，则该二次函数的解析式为 ．
【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5，∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a （﹣1） （﹣4）＝3，解得a，
所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x+3；
当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a （﹣1） （﹣4）＝﹣3，解得a，
所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x﹣3，
所以该二次函数的解析式为yx2x+3或yx2x﹣3．
27．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．
【答案】①②④
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，，即可判断③．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c=3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，即，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；
∵抛物线开口向下，∴a<0，∵当x=-1时，，
∴即，故③错误，故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．
28．（2022·浙江台州·九年级校考期中）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有______．
【答案】①③
【分析】由二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为，由图像可得开口向下，则有，，对称轴为直线，即，由此可进行求解问题．
【详解】解：由二次函数二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，可得抛物线与x的另一个交点坐标为，开口向下，即，当时，y随x的增大而增大，∴当时，y＜0，故正确；
∵对称轴为直线，即，，∴，故②错误；
设抛物线的解析式为，则，令x=0时，则有y=-3a，
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），
∴，解得：，故③正确；
∵，，由得，∵，∴，∴，
∴，与矛盾，故④错误；所以正确的结论有①③；故答案为①③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
29．（2022·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有________．
【答案】①②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，
∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，∴4ac-b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，∴a＜-1．故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．
30．（2023·湖北武汉·统考一模）二次函数（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如下表：
x -1.4 0 1 2.4
y -1.4 2.4 5 2.4
①；②当时，y的值随x值的增大而减小；
③是方程的一个根；④当时，．
以上结论正确的是______（填序号）．
【答案】①③④
【分析】根据表格数据可得抛物线的对称轴为直线且开后向下，即可判定①；由对称轴为对称轴为直线且开后向下，则当时，y的值随x值的增大而减小，可判定②；然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①由图表中数据可得出抛物线且开后向下，∴，即①正确；
②二次函数开口向下，且对称轴为，
当时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③时，，∴，
将代入可得：，
即是方程的一个根，故③正确；
④时，，
时，，
时，，则且函数有最大值，
当时，，故④正确．故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键．
31．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是___________（填序号）．
【答案】②③④
【分析】抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确．
【详解】解：观察图象可知，,故①错误,
时, ,,故②正确,
对称轴 ，故③正确,
点和关于对称轴对称,,故④正确，故答案为：②③④
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）下表中所列的，的7对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标，其中．
… …
… 7 0 0 7 …
根据表中所提供的信息，有以下4个论断：
①；②；③该函数图象的顶点坐标为；
④，是方程的两个实数根.其中正确论断的序号有______．
【答案】②④
【分析】首先根据，其对应的函数值是先减小后增大，可得抛物线开口向上，所以；根据，可得二次函数有最小值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可，根据抛物线与轴的交点即可得出，是方程的两个实数根．
【详解】解：，其对应的函数值是先减小后增大，
抛物线开口向上，，①不符合题意；
，，，，②符合题意．
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；抛物线过点，，，，
，是方程的两个实数根，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：②④．故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
33．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与该图象相交于两个不同的点、点，设，的平均数为，点也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）；（2）点可能是二次函数的图象顶点；（3）；（4）．其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】①抛物线的开口向上，；②利用抛物线的对称性，进行判断；③利用，的平均数为，利用，，表示，求出的符号，进行判断即可；④利用，的平均数为，利用，，表示，求出，进行判断即可．
【详解】解：①抛物线的开口向上，，故①正确；
②∵，的平均数为，∴，
当点、点，关于对称轴对称时，
为抛物线的对称轴，此时点为抛物线的顶点；故②正确；
③，
∵，∴
∵，∴
，
∵，∴，∴；故③正确；
④∵，∴
，
∵，∴；故④正确；
综上，正确的是：①②③④；故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查根据二次函数图象，判断二次函数的系数，以及式子之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
34．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，，
，，即，
抛物线开口向下，， ，故①正确；
若，则，
，，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，
把两个等式相减，整理得，
，，，，
，，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，，，
， 故④正确．综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
35．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．下列四个结论：①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．其中正确的结论是_____（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④；
【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：，解得，故结论①正确；
抛物线对称轴为=2，函数开口向下，
∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，∴y1＜y2，故结论②错误；
设C（x3，0），C（x4，0），由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=，
∴| x3－x4|=，解得：a，故结论③正确；
由题意知：x=4时，y=3，∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，
∴y对应的整数值为：5，4，3，∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，
∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，解得﹣1＜a，故结论④正确；故答案为：①③④；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
36．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④中正确的是________．
【答案】①③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=3时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①根据图示知，该函数图象的开口向下，∴a<0；故①正确；
②当x=3时，故②错误；
③该函数图象交于y轴的正半轴，∴c>0，故③正确；
④观察图像，结合抛物线的对称轴可知：，故④正确；
所以①③④四项正确．故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
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专题1.5 确定二次函数的解析式的六种方法与二次函数图象与系数的关系（选填题压轴）
模块1：学习目标
1. 会用待定系数法求二次函数的表达式；
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题；
3. 熟练掌握二次函数的图象与系数的关系；
4. 熟练掌握二次函数图象与性质类的综合压轴（选填题）。
模块2：知识梳理
1、由抛物线的图象确定系数的符号
通过抛物线的图形判断系数的符号题型中，通常关注图形中的一下几点：
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0；
②对称轴可确定b的符号：对称轴在x轴负半轴，则＜0，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0，即ab＜0；
③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0；
④含有b2和4ac时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△；
⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=；
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
⑦只含有a、b两个字母时，想对称轴；
2a+b与0的大小→找对称轴与1的左右关系；2a-b与0的大小→找对称轴与-1的左右关系；
a+b与0的大小→找对称轴与的左右关系；a-b与0的大小→找对称轴与的左右关系；
⑧含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系时，给x取值，结合图像上下判断;
如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
（1）a+b+c与0的大小：∵当x=1时，y=a+b+c，∴看x=1时，对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，上方则a+b+c＞0，下方则a+b+c＜0；
（2）a-b+c与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
（3）4a+2b+c与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
（4）4a-2b+c与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
⑨只含有a、c或者只含有b、c时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a或b转化成b或a，最后转化成a+b+c或a-b+c等结论判断.
⑩其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.
2、一般式法二次函数的表达式
1）待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式；（2）代：坐标代入；（3）解：方程（组）；（4）还原：写解析式。
2）一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
3、顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
4、交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
5、特殊条件的二次函数的表达式
1）二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
2）二次函数的轴对称
（1）关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
（2）关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是
3）二次函数的中心对称
（1）关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
（2）关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
模块3：核心考点与典例
考点1、由抛物线的图象确定系数的符号
例1．（2023·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（2022·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（2023·浙江·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
变式3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）小明给出如下题目：二次函数的图象如图所示，点A坐标为，给出下列结论：①；②；③当时，；④；⑤其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期末）如图为二次函数的图象，有下列结论：①；②；③；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2、二次函数的解析式--开放型
例2．（2022·广东·汕头市一模）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式_______．
变式1. （2022 昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式： ．
考点3、利用一般式求解析式
例3．（2022·浙江杭州·九年级期末）若二次函数的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
变式3. （2022 埇桥区期末）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．
考点4、利用顶点式求解析式
例4．（2022·云南·红河县九年级期末）已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
变式4. （2022·浙江杭州·九年级阶段练习）某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1
考点5、利用两根式求解析式
例5．（2022 任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
变式5. （2022 长安区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
考点6、利用平移变换求解析式
例6．（2022·河南初三月考）将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式6. （2022·上海市九年级期中）抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，那么原抛物线的解析式为____________
考点7、利用对称变换求解析式
例7．（2022·湖北恩施·二模）抛物线y＝5x2＋3x＋2关于x轴对称的抛物线解析式为（ ）
A．y＝5x2＋3x＋2 B．y＝－5x2－3x－2 C．y＝－5x2－3x＋2 D．y＝－5x2＋3x＋2
变式7.（2022.绵阳市九年级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
模块4：同步培优题库
一、选择题
1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：（1）；（2）当时，y的值随x值的增大而减小；（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于A、B两点，与轴正半轴交于点C，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：
①；②；③；④，（m为实数）；
⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤
4．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
5．（2022·浙江宁波·校考三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图， 拋物线的对称轴是直线， 并与轴交于， 两点， 若， 则下列结论中: ①；②；③；④若为任意实数， 则， 正确的个数是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①④
7．（2023·陕西西安·校考二模）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图像如图所示，则以下结论其中正确是（ ）
A． B．若方程没有实数根，则
C． D．若点、是抛物线上的两点，则
8．（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，下列结论：①；②；③关于x的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023·广东广州·统考一模）已知二次函数，与自变量之间的部分对应值如下表所示．下列结论：①；当②时，；③；④关于的一元二次方程的解是，．其中正确的有（ ）
x … …
y … 1 0 …
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2023·山东泰安·统考一模）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④（m为任意实数），其中结论正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的交于点，与y轴交于点B，下列判定：①；②；③当时，；④若，则抛物线最高点的纵坐标y满足：．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023·四川巴中·统考一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤直线（，，，，，）与抛物线所有交点的横坐标之和为；其中正确结论的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
14．（2023·广东惠州·校考一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，已知二次函数（为常数，且）的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
16．（2023·河南郑州·校考一模）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·天津滨海新·统考一模）二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）；其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
18．（2023·广东河源·统考一模）已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：若，则；若时，则；
若点，，在抛物线上，，且，则；
当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
19．（2023·湖北随州·统考一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，点的坐标为，顶点为，对称轴与轴交于点，则下列结论：①，②，③，④当时，在线段上一定存在点，使得为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，，下列结论中：①；② ；③若t为任意实数，则有；④当此抛物线经过点时，方程的两根为，可求得，正确结论的序号为（ ）
A．① ② ③ B．② ③ C．③ ④ D．② ③ ④
21．（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣4x C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝x2﹣4x+3
22．（2022·山东泰安·九年级期末）如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
23．（2022·黑龙江大庆·九年级期末）抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为：_____．
24.（2022 西城区模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
25．（2022 荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），则抛物线的解析式 ．
2022 漳州月考）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，则该二次函数的解析式为 ．
台州·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．
28．（2022·浙江台州·九年级校考期中）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有______．
29．（2022·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有________．
30．（2023·湖北武汉·统考一模）二次函数（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如下表：
x -1.4 0 1 2.4
y -1.4 2.4 5 2.4
①；②当时，y的值随x值的增大而减小；
③是方程的一个根；④当时，．
以上结论正确的是______（填序号）．
31．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是___________（填序号）．
32．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）下表中所列的，的7对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标，其中．
… …
… 7 0 0 7 …
根据表中所提供的信息，有以下4个论断：
①；②；③该函数图象的顶点坐标为；
④，是方程的两个实数根.其中正确论断的序号有______．
33．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与该图象相交于两个不同的点、点，设，的平均数为，点也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）；（2）点可能是二次函数的图象顶点；（3）；（4）．其中正确的结论是______．（填序号）
34．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．
35．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．下列四个结论：①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．其中正确的结论是_____（填写序号）．
36．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④中正确的是________．
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