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专题1.6 二次函数中的几何最值问题
模块1：学习目标
1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；
2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大（小）面积、长度、周长、比值等问题；
4. 掌握以二次函数为背景的几何最值问题（军饮马模型、瓜豆模型、胡不归模型、费马模型）。
模块2：知识梳理
1.求二次函数的最大（或最小）值
问题1 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的最值由什么决定？
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值由a及自变量的取值范围决定.
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值是多少？
问题3 当自变量x有限制时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值如何确定？
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的最值可以根据以下步骤来确定：
1）配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2）画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3）判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
2.二次函数与几何图形面积、长度、比值的最值
代数法:
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积、长度、比值最值问题的方法：
1）求出函数解析式和自变量的取值范围；
2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；
3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
几何法:
主要模型：将军饮马模型、瓜豆模型、胡不归模型、阿氏圆模型、费马模型；
根据具体情况选择合适的几何模型求解即可。
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数中求面积最值
例1．（2022·盘锦市双台子区九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝﹣（m﹣）2+，S有最大值是；
【分析】（1）先由直线BC的解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过P作PE⊥x轴于E，利用面积和求出四边形OCPB的面积S，并配方化成顶点式，求其最值即可；
【详解】解：（1）当x=0时，y=3，∴C（0，3），,当y=0时，由﹣x+3=0得：x=3，∴B（3，0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝-x2+bx+c中，得：，解得：，
∴抛物线的解析式y＝﹣＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，∵P（m，n）且点P在第一象限，∴OE＝m，BE＝3﹣m，PE＝n，
S＝S梯形COEP+S△PEB＝OE（PE+OC）+BE PE，＝m（n+3）+n（3﹣m），＝m+n，
∵n＝﹣m2+2m+3，∴S＝m+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S有最大值是；
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，借助做辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
变式2．（2023·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为轴正半轴一点，．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)点为该抛物线在第一象限上的点不与点、重合，求面积的最大值及此时点的坐标：
【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时，点
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由面积，即可求解；
【详解】（1）解：，则点，
设抛物线的表达式为：，则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴交于点，
设直线为，
∵过，，
∴，解得，，
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
则面积的最大值为，此时，点；
考点2、二次函数中求线段最值
例2．（2022·湖北襄阳市·九年级一模）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．
【答案】（1）y=－2x2＋8x－6；（2）；（3）－3≤m＜－1或0＜m≤2．
【分析】（1）先解得点A的坐标，再代入二次函数解析式中，求得抛物线与x轴的两个交点，根据题意解得m的值即可；（2）作PMy轴交直线l于点M，先求一次函数与y轴的交点B，证得∠PMQ=∠OBA=45°，再利用正弦定义解得PQ=PM，设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标为－n＋1，计算PM的长，转化为解一元二次方程－2x2＋8x－6=－x＋1，解得x的值，最后根据一次函数的增减性解题．
【详解】解：（1）由y=－x＋1=0，解得：x=1，所以，
由y=－2x2＋4mx－2m2＋2=－2（x－m）2＋2=0，解得：x1=m－1，x2=m＋1，
∵抛物线经过点A，且抛物线与x轴的交点在y轴的右侧，m－1＜m＋1，∴m－1=1，解得：m=2，
∴抛物线的解析式为y=－2x2＋8x－6；
（2）如图，作PMy轴交直线l于点M，
当x=0时，y=－x＋1=1，所以，∴OA=OB．
∵∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠PMQ=∠OBA=45°，
∵PQ⊥l于Q，∴PQ=PM·sin∠PMQ=PM·sin45°=PM
设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标为－n＋1，
∴PM=（－2n2＋8n－6）－（－n＋1）=－2（n－）2＋，
∴PQ=PM=－（n－）2＋,
由－2x2＋8x－6=－x＋1，解得：x1=1，x2=．
∵点P在直线l上方的抛物线上，∴1＜n＜,
∵－＜0，1＜＜，∴当n=时，PQ取最大值为;
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点问题、一次函数的图象与性质、正弦、二次函数与一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
变式2. （2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
【答案】（1）b=，c=；（2）；
【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，解得：，∴b=，c=；
（2）由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0∵-1<0，∴当时，PQ有最大值，最大值为；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，其中熟练掌握方程的思想方法是解题关键．
考点3、二次函数中求线段和最值（将军饮马问题）
例3．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，求DE+BF的最大值．
【答案】（1）（2）9；
【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；
【详解】解：（1）令x=0，得
令得 ，
（2）设直线BC的解析式为：，代入，得
设
即DE+BF的最大值为9；
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2022·辽宁九年级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；
【详解】解：（1）令，则，解得，当时，，∴点A（2，0），B（﹣8，），把点A、B代入抛物线得，，解得：，所以，该抛物线的解析式；
（2）∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴PD=，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵直线解析式，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD==，即；∵，∴当x=﹣3时，最大值为15；
考点：二次函数综合题．
考点4、二次函数中求线段和最值（胡不归问题）
例4．（2022·云南·一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求PC＋PB的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②
【详解】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5t，t），点，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得PGPC，可得，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，即BH是PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．
答案详解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），
又∵，∴CD＝BD tan∠CBD＝4，即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得 ，
∴二次函数的解析式为 x2；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，解得 即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得：，∴点E（5t，t），
把 代入，得 ，即，
∴，∴△BCF的面积EF×BD（t），
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，∴线段BH的长就是的最小值，
∵，又∵，
∴，即，∴的最小值为．
变式4.（2023·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
【答案】(1)抛物线表达式为：；(2)AP+2PC的最小值是；
【分析】（1）先求的直线与x轴，y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值，从而得抛物线的表达式；（2）如图1，作，交y轴于E，过点P作于H，当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小，根据直角三角形含30度角的性质可得CH的长，从而可得结论；
【解析】 (1)中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，∴C（0，2），A（-4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，∴点B的坐标为（1，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-4，0），B（1，0），可设抛物线表达式为y=a（x+4）（x-1），
又∵抛物线过点C（0，2），∴2=-4a，∴，∴抛物线表达式为：；
(2)如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，,
,∴当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小，
∵∠APH=∠OPC，∠COP=∠AHP=90°，∴∠OCP=∠OAE=30°，Rt△AOE中，AO=4，,
Rt△CHE中，,
∴AP+2PC的最小值是;
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，还考查了轴对称-最短路径问题，难度较大．
考点5、二次函数中求线段和最值（费马点问题）
例5．（2022·广东·九年级专题练习）如图，抛物线经点，与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长．已知点为抛物线对称轴上的一点，且在轴上方，点为平面内一点，当以为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点到二次函数图象的垂直距离最小时，在为顶点的菱形内部是否存在点，使得之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)的和最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出a、b的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A、B两点坐标，即可得出对称轴解析式，分两种情况：当以AB为边时，EF//AB，由对称轴可得E点的横坐标，根据EF=AB=4即可得出F点的横坐标，根据菱形的性质求出EM的长，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；当以AB为菱形对角线时，根据菱形的性质可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的长，进而可得F点坐标，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；（3）由当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，根据AB=AF=BF可证明△ABF是等边三角形，根据旋转性质可知均为等边三角形，进而可得当共线时的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的长即可得答案.
【详解】(1)∵抛物线过点，
∴解得 ∴解析式.
(2)当时，由，得，
对称轴所在直线为，顶点坐标为，
∵抛物线与轴相交于点．∴
①若为菱形的边，如图1，则，且的横坐标为3∴的横坐标为7或-1，
∵，∴∴或，
当，∴点到二次函数图象的垂直距离为，
当x=-1时，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，∴点到二次函数图象的垂直距离为.
②若为对角线，如图2，∵是菱形，，∴EM=FM==∴，
当x=3时，y=×32-3×3+=-2，∴点到二次函数图象的垂直距离为=-2，
综上所述：点到二次函数图象的垂直距离为或-2.
(3)当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，如图3，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，∵AB=4，AF=BF=4，∴△ABF是等边三角形，
∵将绕逆时针旋转到位置，
∴≌，且均为等边三角形，∴，
∵，
∴当共线时的和最短，即最短值为的长．
∵，∴且，∴，∴，
在中，，∴的和最小值为．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式，等边三角形的判定与性质、菱形的性质及旋转的性质，理解点到二次函数图象的垂直距离的定义是解题关键.
考点6、二次函数中求线段最值（瓜豆原理问题）
例6．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则．又得，消去得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为， 则，解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．
如图②，将代入，得，解得，或（舍），
将代入，得，解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得，
当时，长度的最小值为．此时，，解得，
所以，点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
变式6．（2022秋·重庆·九年级校考阶段练习）如图，过抛物线上一点作轴的平行线，交抛物线于另一点，交轴于点，已知点的横坐标为，在上任取一点，连结，作点关于直线的对称点，连结，求的最小值为______．
【答案】/
【分析】连接OB，由题意易得抛物线的对称轴为直线，点，则根据抛物线的对称性可得，，然后根据轴对称的性质可知，由勾股定理可得，进而根据三角不等关系可得问题．
【详解】解：连接OB，如图所示：
由抛物线可知对称轴为直线，把点的横坐标代入抛物线解析式得：，∴，
∵轴，∴点A、B关于对称轴对称，∴，，
∴，，∴，由轴对称的性质可知，
∵，∴当点O、D、B三点共线时，有最小值，即为;故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及三角不等关系，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及三角不等关系是解题的关键．
考点7、二次函数中求线段（面积）比值的最值
本考点含有第4章的内容（相似三角形）
例7．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
【答案】（1）；（2）有最大值为，P点坐标为
【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；（2）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得：解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）设与交于点N．过B作y轴的平行线与相交于点M．
由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为
∴M点坐标为，由，可得，
设，则
，
∴当时，有最大值0.8，此时P点坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键．
变式7.（2023·湖南长沙·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接OD，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积为△ABC面积的时，求点D的横坐标；（3）若△CDE的面积为，△OCE面积为，请判断是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点D的横坐标为或；（3）有最大值为．
【分析】（1）过点，先求出，在根据过点A（，0），B（3，0），利用根与系数之间的关系求出即可；（2）设点，根据已知条件得到，再利用，建立关于的等式，解出后看是否在范围内即可得出；
（3）过点作轴交于点，交于，根据面积比与线段比之间的关系建立等式，推出相似三角形，利用相似比建立等式，通过等量代换的思想整理出，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）抛物线经过点，，
又抛物线经过点A（，0），B（3，0），令，
根据根与系数之间的关系得，解得：，抛物线解析式为：．
（2）设点的横坐标为，则纵坐标为，即，而，
，过点作轴交于点，
，解得：，点的横坐标为3，
而， 综上的横坐标为或．
（3）过点作轴交于点，交于，
的面积为，的面积为，，
又，，，即，
设，则，由知直线的解析式为，
当时，，即，，
，令，当时，有最大值，即有最大值，
，综上：最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合运用、涉及到求解析式、点的坐标、相似三角形等知识，解题的关键是利用数形结合、分割、等量代换的思想进行求解．
模块4：同步培优题库
1．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线，作于E，作于F，交y轴于，
抛物线的对称轴为直线，∴，
当时，，∴，当时，，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，当点P在时，最小，最大值等于，
在中，，，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,
∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
3．（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，即，解得：，∴,
令，解得，∴，
∵点是对称轴上的一个动点，∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且经过点A（2，1），点是抛物线上的动点，的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点，点关于直线的对称点为，连接，，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则当（ ）时，的周长最小.
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【分析】因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
【详解】∵O与D关于直线PB的对称，∴PB垂直平分OD，∴CO=CD，
∵△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=，
∴当AD最小时，△ACD的周长最小；∴此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．故选A.
【点睛】此题考查中心对称，垂直平分线的性质，垂线的性质，解题关键在于掌握运算法则.
5．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），∴ME=6，∴PF+PM=6
∵F（0，2），∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．
6．（2022·江西南昌·九年级阶段练习）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为( )
A．10 B．8 C．7.5 D．5
【答案】A
【分析】写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值.
【详解】解：设P(x，x2﹣x﹣4)，
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10.故选A．
【点睛】二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是解题的关键.
7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确
【答案】A
【分析】抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，可求得p=－6， 抛物线y＝－x2＋px＋q过点N（﹣1，1），可以求得：q=﹣4，得到抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，点M（﹣3,5），直线y＝kx＋b过M，N两点，其解析式为：y＝﹣2x＋3，作点A使得A与N关于y轴对称，连接MA，与y轴交于点P，易得P（0，2），作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点Q，易得Q（），MA【详解】解：抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，
抛物线y＝－x2＋px＋q过点N（﹣1,1），
所以抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，顶点M（﹣3,5），
直线y＝kx＋b过M，N两点， 解析式为：y＝﹣2x＋3，
如图，作点A，使得A与N关于y轴对称，连接MA，与y轴交于点P，
的解析式为： P（0，2），
同理：作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点Q，
同理可得Q（），
MA8．（2022·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】连接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，，作于，于，
当时，，解得，，则，，
∵，∴，，，
∵顶点A在抛物线的对称轴上，∴，，
为等边三角形，，，，
垂直平分，，，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
∵为等边三角形，于，∴，
∴，的最小值为3．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质以及最短路径的解决方法，将转化为，根据当、、共线时，的值最小，最小值为的长是解决本题的关键．
9．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接交于点G，设，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件设，其中，求得直线的解析式，直线的解析式，联立即可求得点G的坐标，根据，令，根据二次函数的性质求得z的最大值，即可求得w的最小值．
【详解】∵点P在第四象限的抛物线上，交于点G，如图，
当时，，解得，，即，，
∵D为抛物线顶点，∴，设直线的解析式为，
∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为，
当时，，∴，设，其中，
设直线的解析式为，∵，
∴，解得：，∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，∵，
∴，解得，∴直线的解析式为，
联立方程组，得：，解得：，∴，
∵，∴，，∴，
∴，
令，
∵，∴当时，z取得最大值 ，w取得最小值为 ，
∴w有最小值，最小值为 ．故选：A．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，运用转化思想是解题的关键
10．（2022广西贵港市九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
【答案】C．
【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．
【解析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，）
令x=0，则y=，点C坐标（0，），令y=0则，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC
==，
∴x=5时，△PAC面积最大值为，此时点P坐标（5，）．故选C．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的最值；最值问题；动点型．
11．（2022·河南·郸城县光明学校二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____．
【答案】2
【分析】连接AP，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
【详解】解：连接AP．当时，解得，则，
∵Q是线段PB的中点．∴OQ为的中位线．∴．
当AP最小时，OQ最小．连接AC交圆于P时，PA最小．
∵．∴AP的最小值：．
∴线段OQ的最小值：．故答案为2．
【点睛】本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小．
12.（2022 包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
【解题思路】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，﹣3），D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+1，则F（0，1），然后根据三角形面积公式计算．
【解答过程】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF4×14×1＝4．故答案为4．
13.（2022 海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．
【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．
14．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．
【答案】
【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′
=，
∴四边形EDFG的周长的最小值为：．故答案是：．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
15．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为___________．
【答案】/
【分析】作辅助线如图，证明，求出点，则，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：抛物线与轴交于，与轴交于点，
当时，，点的坐标为，
当时，即，解得：，点坐标为，点的坐标为，
，点的坐标为，函数对称轴为，
设直线的解析式为：，
则，解得，直线的解析式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
设点，点，则，
，，
，，
，即，
解得：，点，
则，
当时，取得最小值，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练的掌握二次函数的性质，等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，作出恰当的辅助线是解题关键．
16．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图已知，点P是抛物线上一动点，点Q是x轴上一动点，G，H是坐标系内两个动点，且四边形是矩形，连接，则线段长度的最小值为______．
【答案】3
【分析】根据矩形的性质知，求线段长度的最小值即求线段长度的最小值，当点P是抛物线的顶点，且轴时，线段取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，∴，
求线段长度的最小值即求线段长度的最小值，
∴当点P是抛物线的顶点，且轴时，线段取得最小值，
，∴抛物线的顶点为，
∴线段长度的最小值为3，即线段长度的最小值为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，明确当点P是抛物线的顶点，且轴时，线段取得最小值是解题的关键．
17．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，拋物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线的对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是的中点，连接、，则的最小值为______．
【答案】
【分析】由题意可得出、为的中位线，即得出．连接、，即得出，从而推出，即B，C，P三点共线时，的值最小，最小值为．根据抛物线解析式可求出B和C点的坐标，从而得出和的长，进而由勾股定理求出的长，即得出的最小值．
【详解】∵点D、E、F分别是、、的中点，
∴、为的中位线，∴，，
∴．如图，连接．
由抛物线的对称性可得出，∴，
∴最小时，最小．
∵，∴的最小值即为的长，此时B，C，P三点共线．
对于，令，则，解得：，，
∴，∴．令，则，∴，∴，
∴，∴，
∴，即的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的对称性，三角形三边关系的应用以及勾股定理等知识．确定出当B，C，P三点共线时，最小，且最小值为是解题关键．
18．（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
19．（2022·盘锦市双台子区九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝﹣（m﹣）2+，S有最大值是；
【分析】（1）先由直线BC的解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过P作PE⊥x轴于E，利用面积和求出四边形OCPB的面积S，并配方化成顶点式，求其最值即可；
【详解】解：（1）当x=0时，y=3，∴C（0，3），,当y=0时，由﹣x+3=0得：x=3，∴B（3，0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝-x2+bx+c中，得：，解得：，
∴抛物线的解析式y＝﹣＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，∵P（m，n）且点P在第一象限，∴OE＝m，BE＝3﹣m，PE＝n，
S＝S梯形COEP+S△PEB＝OE（PE+OC）+BE PE，＝m（n+3）+n（3﹣m），＝m+n，
∵n＝﹣m2+2m+3，∴S＝m+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S有最大值是；
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，借助做辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
20．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点．(1)若已知．①求抛物线的顶点坐标；②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标；(2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】(1)①顶点坐标为；②点P的坐标为
(2)最小值为，点的坐标为
【分析】（1）①将点代入求解即可；②先求出点坐标，再求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点F的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可求解；（2）先证四边形是平行四边形，得出，作点E关于x轴的对称点，取得最小值时，即为点C，，三点共线时，求出此时的最小值和坐标即可．
【详解】（1）①由题意，抛物线过，
∴，即，∴，∴，
∴，∴抛物线的顶点坐标为；
②由与y轴相交于点C，可知，
设经过B，C两点的直线的解析式为，将代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴当时，有最大值，此时，点P的坐标为；
（2）由和，得中点，
由题意与平行且相等，可知与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，∴，∴，
作点E关于x轴的对称点，
取得最小值时，即为点C，，三点共线时，
此时，
设经过，C两点的直线的解析式为，将代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，当时，，此时点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，一次函数的求法，平行四边形的性质与判定是解题的关键．
21．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；(3)当取最大值时，求的面积．
【答案】(1)(2)1(3)2
【分析】（1）先求出A、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标 ，再利用待定系数法求解即可；（2）设，则，则，由二次函数的性质求解即可；（3）根据，进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，
∴，
∵抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，
∴，∴可设抛物线解析式为，
把代入中得，∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设，则，
∴，
∵，∴当时，最大，最大值为1；
（3）解：由（2）得当最大时，，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（2023·河南新乡·统考一模）已知抛物线（，是常数）与轴相交于点和点，顶点为．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线（是常数）与抛物线相交于点，与线段相交于点，当取最大值时，求点的坐标．(3)当时，若的最大值与最小值之差为，直接写出的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案
（2）利用待定系数法确定直线的表达式为，设，，且，可得，再利用二次函数的最值即可得出答案；（3）由抛物线的表达式可得当时，的最小值为，当时，，可知当时，的最大值为，根据的最大值与最小值之差为，可建立关于方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，在抛物线上，
∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）∵抛物线的表达式为，整理可得：，∴点的坐标为，
设直线的表达式为，、，
∴，解得：，∴直线的表达式为，
∵直线（是常数）与抛物线相交于点，与线段相交于点，
设，，且，
∴，
∴当时，取最大值，此时，∴．
（3）∵抛物线的表达式为，∴当时，的最小值为，
∵当时，若的最大值与最小值之差为，
当时，，∴当时，的最大值为，
∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴．
【点睛】本题考查待定系数法确定抛物线和直线的解析式，图像上点的坐标特征，两点间距离，抛物线的最值，一元二次方程的应用．掌握抛物线的最值是解题的关键．
23．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式；(2)若点T为对称轴直线上一点，则的最大值为多少？
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设出两点式，求出的值，即可得出结论；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则：，即当三点共线时，取得最大值为的长，
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
设抛物线的表达式为，即：，∴，
故抛物线的表达式为；
（2）解：点B关于函数对称轴的对称点为点A，则：，即当三点共线时，取得最大值为的长，
连接交函数对称轴于点T，则点T为所求点，
∵，当时，，∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
24．（2022春·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当时，若点Q是直线下方抛物线上的一个动点，过点Q作于点D，当的值最大时，求此时点Q的坐标及的最大值．
【答案】(1)，
(2)点Q的坐标为时，有最大值是
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后代入抛物线得出答案即可；
（2）求出点A、B、C的坐标，说明是等腰直角三角形，得出，过点Q作轴于F，交于E，说明是等腰直角三角形，设，则，得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：直线中，当时，，∴，
当时，，∴，∴，
将，，代入抛物线中，得，
，∴，；
（2）解：当时，，∴，∴，
∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
如图2，过点Q作轴于F，交于E，则是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
当时，有最大值是，当时，，
综上，点Q的坐标为时，有最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，求二次函数最值，解题的关键是，作出辅助线，数形结合．
25．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.
(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.
【答案】（1）点坐标为,点坐标为 （2） （3）8
【分析】（1）根据一元二次方程求得A点坐标，代入直线求证，（2）通过点H、B关于直线L对称，求得H的坐标，从而解出二次函数的解析式，(3)先求出HN+MN的最小值是MB, 再求出BM+MK的最小值是BQ,即和的最小值
【详解】(1)依题意,得ax2+2ax 3a=0(a≠0)，
两边都除以a得：即x2+2x 3=0，解得x1= 3,x2=1，
∵B点在A点右侧，∴A点坐标为( 3,0),B点坐标为(1,0)，
答：A. B两点坐标分别是( 3,0),(1,0).
证明：∵直线l:y=，
当x= 3时,y=，∴点A在直线l上．
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=对称,
∴AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC=，
∴顶点H，代入二次函数解析式,解得a=，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为.
(3)直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，
由解得，即K(3,2)，则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2)，∴HN+MN的最小值是MB，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK,QE=EK=2，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90 ，由勾股定理得QB=
∴HN+NM+MK的最小值为8，答：HN+NM+MK和的最小值是8.
【点睛】考核知识点：二次函数综合运用.
26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值．
【答案】（1）y=（x）2，（，）；（2）
【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
答案详解：（1）由题意，解得 ，∴抛物线解析式为yx2x，
∵yx2x（x）2，∴顶点坐标（，）；
（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB，∴tan∠ABO，
∴∠ABO＝30°，∴PHPB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD，∠HAD＝60°，
∴sin60°，∴DH，∴PB+PD的最小值为．
27．（2023·山西太原·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点．
(1)求点，和的坐标；(2)如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标；
【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是
(2)点的坐标是
【分析】（1）分别令，，即可求解；（2）可求直线的解析式为，设点的坐标为，由于当的周长最大时，斜边最大，从而可求；
【详解】（1）解：把代入中，得，解得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
把代入中，得，点的坐标是．
（2）解：设直线的函数表达式为，
点，点，
，解得，直线的解析式为，
，点，点，，
，设点的坐标为，
轴于点交直线于点，轴，点的坐标为，
，，是等腰直角三角形，
当的周长最大时，斜边最大，
，
，当时，取得最大值，
当时，，点的坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点求法，动点产生的最值问题，掌握具体求法是解题关键．
28．（2023·浙江·九年级专题练习）抛物线交x轴于点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是线段上的动点，直接写出的最小值为 ．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可；
（2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解；
（3）分析可知，且，，共线时所求线段最小，作，过点作交于点，交轴于点，得出，最后根据勾股定理和含直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得，解得，∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
设，则，∴，
∴，
当时，的面积有最大值，此时；
（3）如图2，作，过点作交于点，交轴于点，
∵， ，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，，∵，∴，∴，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，动点线段最短问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键．
29．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接．
(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；(2)求证：为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标．
【答案】(1)，；(2)见解析(3)点P的坐标为
【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形；
（3）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：直线，当时，则，解得；
当时，，∴，．
∵抛物线经过点和点，
∴，解得∴抛物线的解析式为；
（2）证明：已知抛物线，
当时，则，解得，，∴．
∵，，∴，，，∴，即．
∵，∴，，
∴，∴，∴是直角三角形；
（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为．
如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，
点P是直线上的点，连接．
∵垂直平分，∴，，∴．
∵为定值，∴当的值最小时，的周长最小．
∵，∴当点P与点E重合时，，
∴此时最小．∵直线，当时，，∴，
∴当的周长最小时，点P的坐标为．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
30．（2022秋·重庆·九年级统考阶段练习）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标：(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值．
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)首先可求得直线的解析式，再过点P作轴交于点G，设，则，可得，据此即可解答；(3)由题意可知在抛物线上，再由，可得当时，有最小值，求出n的值即可．
【详解】（1）解：将点A、C的坐标分别代入解析式，得
解得，，
，顶点D的坐标为；
（2）解：设的解析式为，
将点A、C的坐标分别代入解析式，得
解得的解析式为，
如图：过点P作轴交于点G，
设，则，，
，
当时，的面积最大，最大值为，此时；
（3）解：点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，
点，在抛物线关于y轴对称的抛物线上，且在第二象限，
，，
当时，有最小值，
，解得或(舍去)，故n的值为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出动点所在的函数解析式是解题的关键．
31．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）对称轴的抛物线与轴相交于A，两点，其中点A的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线与轴的交点．
①在对称轴直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标．
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1) (2)①；②有最大值
【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点A的坐标为，在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函数的解析式为，得到C点坐标，由抛物线的轴对称性质知：点A与点B关于直线对称，所以连接，直线与直线的交点即为所求的点P，运用待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点P的坐标；
②由直线的解析式为，设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含m的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，A点坐标为在抛物线上，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为：．
（2）解：①由于A、B关于抛物线的对称轴对称，那么P点为直线与的交点时，的周长最小，由（1）知，抛物线的解析式为，
令，则，∴，设直线解析式为，
把代入，得，解得，∴直线的解析式为，
当时，，∴；
②∵直线的解析式为，抛物线关系式为，
∴设点坐标为，则点坐标为，
，∴当时，有最大值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
32．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】(1)(2)(3)面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，解得：，∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，∴，∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，
∴ 直线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，∴，∴当面积最大时，面积最大，
设，则，，
，
∴当时，面积取最大值4，∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．
33．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
(1)，，三点的坐标为，______，______．(2)连接，交线段于点，①当与轴平行时，求的值；②当与轴不平行时，求的最大值；（含相似三角形）
【答案】(1)，(2)①；②
【分析】（1）令，则，已知点的坐标，即可求得点的坐标，令，即可求得点的坐标；（2）①由求得，根据平行线分线段成比例求解即可；②过点作轴交于点，求得直线的解析式，用含的式子表示，根据二次函数的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：令，则，解得：或，
，，令，则，，故答案为：，；
（2）解：①轴，，，，，
令，则，解得：，或，
，，；
②如图，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，，，解得，直线的解析式为，
设点的横坐标为，则，则，
，
，，
当时，的最大值为；
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专题1.6 二次函数中的几何最值问题
模块1：学习目标
1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；
2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大（小）面积、长度、周长、比值等问题；
4. 掌握以二次函数为背景的几何最值问题（军饮马模型、瓜豆模型、胡不归模型、费马模型）。
模块2：知识梳理
1.求二次函数的最大（或最小）值
问题1 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的最值由什么决定？
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值由a及自变量的取值范围决定.
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值是多少？
问题3 当自变量x有限制时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值如何确定？
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的最值可以根据以下步骤来确定：
1）配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2）画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3）判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
2.二次函数与几何图形面积、长度、比值的最值
代数法:
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积、长度、比值最值问题的方法：
1）求出函数解析式和自变量的取值范围；
2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；
3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
几何法:
主要模型：将军饮马模型、瓜豆模型、胡不归模型、阿氏圆模型、费马模型；
根据具体情况选择合适的几何模型求解即可。
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数中求面积最值
例1．（2022·盘锦市双台子区九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值．
变式2．（2023·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为轴正半轴一点，．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)点为该抛物线在第一象限上的点不与点、重合，求面积的最大值及此时点的坐标：
考点2、二次函数中求线段最值
例2．（2022·湖北襄阳市·九年级一模）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．
变式2. （2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
考点3、二次函数中求线段和最值（将军饮马问题）
例3．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，求DE+BF的最大值．
变式3．（2022·辽宁九年级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
考点4、二次函数中求线段和最值（胡不归问题）
例4．（2022·云南·一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求PC＋PB的最小值．
变式4.（2023·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
考点5、二次函数中求线段和最值（费马点问题）
例5．（2022·广东·九年级专题练习）如图，抛物线经点，与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长．已知点为抛物线对称轴上的一点，且在轴上方，点为平面内一点，当以为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点到二次函数图象的垂直距离最小时，在为顶点的菱形内部是否存在点，使得之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
考点6、二次函数中求线段最值（瓜豆原理问题）
例6．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
变式6．（2022秋·重庆·九年级校考阶段练习）如图，过抛物线上一点作轴的平行线，交抛物线于另一点，交轴于点，已知点的横坐标为，在上任取一点，连结，作点关于直线的对称点，连结，求的最小值为______．
考点7、二次函数中求线段（面积）比值的最值
本考点含有第4章的内容（相似三角形）
例7．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
变式7.（2023·湖南长沙·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接OD，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积为△ABC面积的时，求点D的横坐标；（3）若△CDE的面积为，△OCE面积为，请判断是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
模块4：同步培优题库
1．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且经过点A（2，1），点是抛物线上的动点，的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点，点关于直线的对称点为，连接，，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则当（ ）时，的周长最小.
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
6．（2022·江西南昌·九年级阶段练习）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为( )
A．10 B．8 C．7.5 D．5
7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确
8．（2022·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
9．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接交于点G，设，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022广西贵港市九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
11．（2022·河南·郸城县光明学校二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____．
12.（2022 包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
13.（2022 海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．
14．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．
15．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为___________．
16．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图已知，点P是抛物线上一动点，点Q是x轴上一动点，G，H是坐标系内两个动点，且四边形是矩形，连接，则线段长度的最小值为______．
17．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，拋物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线的对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是的中点，连接、，则的最小值为______．
18．（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
19．（2022·盘锦市双台子区九年级月考）如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值．
20．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点．(1)若已知．①求抛物线的顶点坐标；②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标；(2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标．
21．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；(3)当取最大值时，求的面积．
22．（2023·河南新乡·统考一模）已知抛物线（，是常数）与轴相交于点和点，顶点为．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线（是常数）与抛物线相交于点，与线段相交于点，当取最大值时，求点的坐标．(3)当时，若的最大值与最小值之差为，直接写出的值．
23．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点T为对称轴直线上一点，则的最大值为多少？
24．（2022春·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当时，若点Q是直线下方抛物线上的一个动点，过点Q作于点D，当的值最大时，求此时点Q的坐标及的最大值．
25．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.
(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.
26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值．
27．（2023·山西太原·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点．
(1)求点，和的坐标；(2)如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标；
28．（2023·浙江·九年级专题练习）抛物线交x轴于点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是线段上的动点，直接写出的最小值为 ．
29．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接．
(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；(2)求证：为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标．
30．（2022秋·重庆·九年级统考阶段练习）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标：(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值．
31．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）对称轴的抛物线与轴相交于A，两点，其中点A的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线与轴的交点．
①在对称轴直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标．
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
32．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
33．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
(1)，，三点的坐标为，______，______．(2)连接，交线段于点，①当与轴平行时，求的值；②当与轴不平行时，求的最大值；（含相似三角形）
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