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专题1.7 二次函数图象中的定值与特殊图形的存在性（探究）问题综合压轴
该专题内容的部分考点涉及相似三角形的性质与判定，建议大家学习完第4章再完成该专题。
模块1：学习目标
1. 熟练掌握在二次函数中探究特殊几何图形（角度、线段、特殊三角形、四边形、相似三角形等）的存在性问题；
模块2：知识梳理
1、“两定一动”型等腰三角形存在性问题
如图，已知定点A、O，在x轴上找点P，使△OAP为等腰三角形，
则P1、P2、P3、P4即为符合题意的点P
解决策略：（有时也可用两点间距离公式求值）
①当OA=OP时，以O点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点；
②当OA=AP时，以A点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点；
③当AP=OP时，线段OA的中垂线与目标直线x轴的交点即为所求点；
2、“一定两动”型等腰三角形存在性问题
如图，P、Q分别为AB、CB上一动点，当△BPQ是等腰三角形时，有以下几种情况：
①BP=BQ ②BQ=PQ ③BP=PQ
解决策略：
即BQ=PQ可转化为:；BP=PQ可转化为:。
特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形
①根据点的坐标，表示出三边的平方；
②根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程；
③分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在。
3、直角三角形的存在性问题
如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：
解决策略：
如图，已知A(-3，0),B(-1，-6)，在y轴上找点P，
使△ABP为直角三角形；分以下3种情况：
4、平行四边形的存在性问题
1）知识储备：①平行四边形是中心对称图形；中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分；②中点公式：已知的中点为P，则。
2）方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标；②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论；③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解
例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；
（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。
5、菱形的存在性问题
方法策略：
抓菱形两大性质 邻边相等→转化为等腰△存在性问题
对角线垂直→转化为直角△存在性问题，或“k型相似”问题
6、矩形、正方形的存在性问题
方法策略：抓矩形两大性质（内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题）；
正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题。
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数中角度问题的存在性问题
例1．（2023·广东东莞·虎门五中校联考一模）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：(2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由；(3)如图②，连接，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式为，进而得到直线于直线平行，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，求出，据此求解即可；
（3）分图3-1和图3-2两种情况过点A作使得，过点P作轴于T，连接，可证明，则与抛物线对称轴的交点即为点Q，利用一线三垂直模型求出点P的坐标，进而求出直线的解析式，即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：，
∴，∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，设直线的解析式为，
∴，∴直线的解析式为，∴直线与直线平行，
∵，∴，∴点M在运动过程中的长保持不变，
要使的面积最大，则最大，即要使最大，
∵，∴当最大时，最大，即此时的面积最大，
∵M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m，
∴，∴，
∴，
∵，∴当时，最大，即此时的面积最大；
（3）解：如图3-1所示，过点A作使得，过点P作轴于T，连接，
∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，
在中，令，则，∴，
∵，∴，∴，∴；
∵，∴，∴与抛物线对称轴的交点即为点Q，
同（2）法可求出直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，∴点Q的坐标为；
如图3-2所示过点A作使得，过点P作轴于T，连接，
同理可得，，∴与抛物线的对称轴的交点即为点Q，
同理可得同理可求出直线的解析式为，在中，当时，，
∴点Q的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
变式1．（2023·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）如图，已知抛物线的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；(3)在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）把A、B、C三点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）首先求出直线的解析式，然后设，，表示出线段，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意分点Q在x轴上方和x轴下方两种情况讨论，分别根据直线和抛物线的交点求解即可．
【详解】（1）解：将点和点，代入得，
，解得，∴；
（2）设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
∴，∴设，，
∴，∴当时，线段最大，
∴将代入，∴；
（3）如图所示，当点Q在x轴上方抛物线上时，
∵，∴，∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，解得，
∴，∴设直线的解析式为，
∴将点代入得：，∴，
∴联立和得，，∴解得，
∴将代入，∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴直线的表达式为，
∴联立直线和直线可得，，即，∴解得，
∴将代入，∴，∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，∴解得，∴，
∴联立直线和抛物线得，，即，
∴解得，，∴将代入，∴，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，解题的关键是数形结合分类讨论，掌握二次函数的图像和性质．
变式2．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中、，M是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM，交线段AC于点D，求的最大值（其中符号S表示面积）；
(3)连接CM，是否存在点M，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)的最大值为(3)存在，
【分析】（1）代入点A和点B的坐标到二次函数解析式即可求解；
（2）和是等高的两个三角形，面积比的最大值即是底边的最大值，构造相似三角形，用m表示相似比求最大值即可；（3）做辅助线构造等腰三角形可得二倍角关系，建立一次函数图像，与二次函数交点的横坐标即为所求．
【详解】（1）解：（1）分别代入、到抛物线解析式，
解得：；故答案为：．
（2）设直线的解析式为，
将点和点代入中，
，解得：， 直线的解析式为，
如图所示，过点M作轴交于于点G，过点A作交与点F，
G点的纵坐标与M点的纵坐标相同，
M为抛物线上的一点，设M(m，)，
又G点在直线AC上，直线的解析式为，
，，
又，，
，，
，
的最大值为．故答案为：．
（3）过点C作轴，延长交x轴于点T．，
，
，，为等腰三角形， ．
在中，，
，，，
设直线的解析式为，将点和点代入中，
解得：，直线的解析式为，
M是直线和抛物线的交点，，
令，，，，
解得（舍去）或故答案为：．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是待定系数求解析式，平行线分线段成比例定理的推论，角度的存在性等相关内容，解本题的关键在于是否能将面积比转化为线段比，解本题的难点在于是否能通过已知角度条件建立有关m的一次函数解析式.
考点2、二次函数中线段定值（及比值）的存在性问题
例2．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线与直线相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段下方抛物线上一动点，过点M作∥轴交于点G．(1)当∥轴时，①求点A、B的坐标；②求的值；
(2)当时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
【答案】(1)①，；② (2)是定值，理由见解析
【分析】（1）①利用轴，则，将代入抛物线的解析式求得值，则点，的横坐标可求，纵坐标为8，结论可得；
②设，分别用A，B，M，G的坐标表示出线段，，，代入运算即可得出结论；
（2）将两解析式联立求得A，B的坐标，设，则，分别用A，B，M，G的坐标表示出线段，，，代入运算即可得出结论．
【详解】（1）解：①当轴时，，则，
对于，当时， ，解得，，．
②∵点为线段下方抛物线上一动点，
设，则，，，，
．
（2）是定值．∵，∴直线：，设，则，
．令，解得，，
∵点A在点B的左侧，点为线段下方抛物线上一动点，
，，，
，
，
．
∴当时， 的值为定值，这个定值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
变式2．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线与轴交于点和点，对称轴是直线，与轴交于点，点在抛物线上（不与A，重合）．(1)当时．①求抛物线的解析式；②点在直线的下方，且的面积最大，求此时点的坐标；(2)若直线，分别与轴交于点、判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)①；②(2)是定值，3
【分析】（1）①将，对称轴为直线，代入求解即可得到答案；②设，直线的解析式为，解出直线解析式，过点作轴，交于点，用m表示出H点，列出面积关于m的解析式，利用函数性质即可得到答案；
（2）根据对称轴是直线，得到，，设点，求出直线、的解析式，求出D、E坐标，即可得到答案；
【详解】（1）解：①当时，二次函数的解析式为．
∵对称轴为直线，，
∴，解得，∴二次函数解析式为；
②设，直线的解析式为．
∵，，∴解得
∴直线的解析式为．过点作轴，交于点．
∴，∴，
∴，
∴当时，最大，∴；
（2）解：是定值，理由如下，∵对称轴是直线，，
∴，∴，∴，
设，则直线的解析式为，
直线的解析式为，∴，，
∴，∴；
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数动点最大面积问题，二次函数动点线段问题，解题的关键是作辅助线表示出点的坐标．
考点3、二次函数中直角三角形的存在性问题
例3．（2023·山东聊城·统考一模）如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；(2)若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
【答案】(1)， (2)或
(3)存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标和对称轴，由此即可求出点D的坐标；（2）先求出直线的解析式为，设，则，由轴，（点E在点F左侧），得到，解方程即可得到答案；（3）设点P的坐标为，利用勾股定理求出，，，再分当，则，当时，则，当时，则，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线解析式中得：，
∴，∴抛物线解析式为；令，则，∴，
∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，
∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，∴；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，∴，∴直线的解析式为，
设，则，
∵轴，（点E在点F左侧），∴，∴，
解得或，∴或；
（3）解：设点P的坐标为，∵，，
∴，
，
当，则，∴，
∴，解得或，∴点P的坐标为或；
当时，则，∴，解得，∴点P的坐标为；
当时，则，∴，解得，∴点P的坐标为；
综上所述，存在点P，使得为直角三角形，
此时点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
变式3．（2023·青海西宁·统考一模）如图，抛物线与轴交于点和．
(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)点或
【分析】（1）把点和代入，待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据解析式配方得出，，根据四边形是平行四边形 ，可得，得出点的横坐标，代入抛物线解析式即可求解；
（）①当点是直角顶点时，过点作于点，交对称轴于点，则过点作直线轴于点，过点作于点，证明，设，根据相似三角形的性质得出，进而代入数据求得；②当点是直角顶点时，连接，，则，得出是斜边的中线，即可求解．
【详解】（1）解：把点和代入
得 解得抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
四边形是平行四边形 点的横坐标是
点在抛物线上 点的坐标是；
（3）①当点是直角顶点时，过点作于点，交对称轴于点，则过点作直线轴于点，过点作于点
，，，
又， ， ，
设， ， ，，，，
，
②当点是直角顶点时，连接，，则
在中 四边形是平行四边形
是的中位线 是斜边的中线
点在上方，
综上所述，在轴上方对称轴上存在点或，使是直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点4、二次函数中等腰三角形的存在性问题
例4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．将抛物线向右平移一个单位得到抛物线．(1)求抛物线与的函数解析式；(2)连接，探究抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的函数解析式：，的函数解析式：；
(2)抛物线的对称轴上存在点，使得以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或或；
【分析】（1）将点、代入解析式求出L的解析式，再根据平移规律代入求解即可得到答案；（2）设点的坐标为，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，得
，解得，∴抛物线的函数解析式为：，
∵，
∴的函数解析式为：；
（2）解：存在，理由如下，由（1）可知的对称轴为，可设点的坐标为，
∵，，∴，，，
①当时，，解得，∴点的坐标为或；
②当时，，解得，，
∴点的坐标为或；
③当时，，解得，∴点的坐标为；
综上，抛物线的对称轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题考查二次函数动点特殊三角形问题，解题的关键是先求出解析式，设点分类讨论腰．
变式4．（2023秋·九年级单元测试）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．(1)求抛物线的关系式；(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．①求S与m之间的函数关系式．②当S取得最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；②
(3)存在，或
【分析】（1）点坐标代入解析式可求的值，由对称轴可求的值，即可求解；
（2）①先求出点，点，点的坐标，利用待定系数法可求解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，，抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵∴．
∵令，则，解得，∴．
∵点，点，∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，∴点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵∴当时，S有最大值为，
此时把代入，得∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．
理由如下：设，则，，所以，
，，
若，即，解得（舍去），所以点P；
若，即，解得（舍去），所以点P；
若，即，解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
考点5、二次函数中平行四边形的存在性问题
例5．（2023春·广东东莞·九年级虎门五中校考期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P点的坐标为或
(3)的坐标为或或
【分析】（1）根据得，再由待定系数法即可求出解析式；
（2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标；（3）存在．分类讨论：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形为平行四边形．由平行线的性质和平移的性质可得点的坐标．
【详解】（1），，
设，把代入得，解得，；
（2），对称轴是：直线，，，
，，，，
，，
如图，当时，，，，，则，
当时，，，
，， ，点的坐标为或；
（3）存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图，当四边形是平行四边形时，则，
，点的横坐标为，点的横坐标为，
将代入，；
如图，当四边形是平行四边形时，则，同理得：；
如图，当四边形为平行四边形时，
由平行四边形对角线互相平分可得：点的横坐标为：，
将代入，
综上所述，点的坐标为或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性质和判定，平行四边形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是利用平移的性质确定点的坐标，并正确画图，运用分类讨论的思想解决问题
变式5．（2023·湖南娄底·统考一模）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点、的坐标分别为、，点的坐标为．点是抛物线第一象限上一个动点，设点的横坐标为，连接、、．
(1)求抛物线的函数表达式；(2)当四边形的面积最大时，求的值；(3)在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是拋物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线的表达式，设点，则点，可得，故当时，有最大值6；求出，推出当最大时，也最大，则当最大时，；（3）分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入中得：，解得，
∴；
（2）解： 设直线的表达式为，
把点，代入中得：，
解得：，∴直线的表达式为，
如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，
设点，则，∴
∴ ，
∵，∴当时，有最大值6；
∵，∴，
∴当最大时，也最大，∴当最大时，；
（3）解：在中，当时，，∴点，
设点，点，则，
当是边时， 点向左平移2个单位向上平移个单位得到点，同样点向左平移2个单位向上平移个单位得到点，
故或，联立得：或
并解得：（舍去）或或或；
故点的坐标为或或；
当是对角线时， 由中点公式得：，
联立，解得或（舍去），故点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
考点6、二次函数中矩形的存在性问题
例6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，在轴上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出平移方式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)向右平移个单位长度或向左平移个单位长度
【分析】（1）先根据抛物线L的对称轴为直线求出，再把代入抛物线L解析式中求解即可；（2）先求出，进而求出，在推出点M必定在点A右侧，且AM为对角线（因为与不垂直），设，则，在中，由勾股定理得，，解得，则，再矩形两条对角线的中点坐标相同，求出；可设抛物线的解析式为，把代入中得：，解得或，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，∴，∴抛物线L的解析式为，
把代入中得：，解得，
∴抛物线L的解析式为，
（2）解：在中，当时，，∴；∴，
∵，∴，∴，
∵点M在x轴上，且以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，
∴点M必定在点A右侧，且AM为对角线（因为与不垂直），设，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，∴，
∵矩形两条对角线的中点坐标相同，
∴，∴，∴；
∵抛物线L的解析式为，
∴可设抛物线的解析式为，
把代入中得：，
解得或 ，
∴将抛物线向右平移个单位长度或向左平移个单位长度，在抛物线上存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，勾股定理，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
变式6．（2023·浙江九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为
(3)存在，满足条件的的坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．
【详解】（1）解：，，，，，
抛物线经过点，，，
，解得：，该抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，
设直线的解析式为， ，，
，解得：，直线的解析式为，
设，则，，
直线与轴交于点，，，
轴，即，，，
，，
，当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由可得，,，，．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，，即，
b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
②当是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，，，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
考点7、二次函数中菱形的存在性问题
例7．（2023·广东汕头·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D，点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，直线交y轴于点C，过点P作交x轴于点F，轴，交直线于点E，交直线于点M．
(1)直接写出点A，B，D的坐标；(2)当时，求m的值；(3)试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，(2)或(3)存在，点P的坐标为或(
【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求解；（2）分两种情况，过点D作轴于点N，交于点G，根据轴，利用平行线分线段成比例定理，当时，可求得的长，解方程即可得到结论；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，利用，分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，，解得，，
∵点A在点B的左侧 ，，
，；
（2）解：①当点P在x轴上方时，作轴，交x轴于点N，交于点G，如图所示，
，，轴，，
，，，，
，解得，，
∵点P在抛物线对称轴的右侧 ；
②当点P在x轴下方时，作轴，交x轴于点N，交于点G，如图所示，
，，轴，
，，解得，，
∵点P在抛物线对称轴的右侧 ，
综上所述，m的值为或；
（3）解：存在，理由如下：设直线的函数表达式为，
∵直线过点，， 解得：，
当点P在轴上方时，设点，则点E的坐标为，
把点E的坐标代入的表达式得：解得：，
，由直线的表达式知：，
，，
∵四边形是菱形，则，，
解得（舍去）或，∴点P的坐标为，
当点P在轴下方时，同理可得，点P的坐标为，
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，求一次函数解析式等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
变式7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；(3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标；(4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或(4)或或
【分析】（1）先求得A、B、C三点的坐标，然后代入求得a、b、c的值即可解答；
（2）根据对称轴直线求出对称轴，即可得出最小值，再分别求出和
时的函数值，即可确定n取值范围；（3）先求出点E、F的坐标，然后再运用勾股定理逆定理说明，设，再分H在上方和下方两种情况，分别根据三角形面积和中点的性质进行解答即可；（4）先求出的长，然后当为菱形一边和对角线两种情况分别画图，再结合菱形的性质、勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴交于点B、点C,∴,，
∵直线与x轴交于点A，∴，
∵抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为，
∵点在抛物线上，，
∴当时，抛物线有最小值，即n有最小值；
∵当时，；当时，，即n有最大值14．
∴的取值范围为．
（3）解：∵直线与y轴交于点E，∴，
∵，即得：，∴，
∴，
∴∴．设．
①当H在上方，∵，∴，
∴，即F是的中点，
∴，解得：，∴；
②当H在下方，
∵，∴，∴，
设点为的中点，如图，即C是的中点，
∴，解得：，∴．
∵，∴设点，由为的中点,
∴，解得：,∴；
综上，点H的坐标为或．
（4）解：存在一点Q使存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵,,∴，
①当为菱形一边时，则，
∴,即，
②当为菱形对角线时，则，
设，，∵，∴，
解得：，∴，∴．
综上 ，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
考点8、二次函数中正方形的存在性问题
例8．（2023·山东济南·统考二模）如图．已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求点P的坐标；(3)连接，交直线于点E，交y轴于点F；①是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)；(2)存在，；(3)①存在点P，P坐标是（2，3）使与相似，理由见解析；②点Q的坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【分析】（1）把代入，求解三元一次方程组即可；
（2）如图：过B作轴交射线于D，由可得，易证，从而，进而解得，确定点D的坐标，进而求得直线解析式为，然后与抛物线解析式联立并结合点P的位置即可解答；（3）①如图：过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F， 进而确定点，从而直线解析式为，再说明，再证明即可求解；②由直线解析式为，可得，即知，即，由B知直线解析式是，可得，分两种情况讨论：当时，H点在上，K点在上，即知或，当时，，可得，此时与y轴重合，不符合与y轴平行；当时，，，有，可得；同理求解当时即可．
【详解】（1）解：把代入得：
，解得，∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：过B作轴交射线于D，
∴轴∴
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴，∴
设直线解析式为，将代入得：，解得，
∴直线解析式为，解得或，∴；
（3）解：①存在点P，使与相似，理由如下：
如图：过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F，
∵轴，∴，在中，令得：或，∴，
设直线解析式为，将代入得：
，解得，∴直线解析式为，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴当P坐标是时，与相似；
②由①知，P的坐标为时，直线解析式为，∴，
∵，∴，即，由知直线BC解析式是，
解得，∴，
∵以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，∴分两种情况讨论：
（Ⅰ）如图：当时，H点在上，K点在上，
∵H点在抛物线上，∴H为与抛物线交点，即或，
当时，，∴，∴，
∴的中点为，则的中点也为，∴，
但此时与y轴重合，不符合与y轴平行，∴不符合题意；
当时，，∴，∴
∴HK的中点为，则的中点也为，∴；
（Ⅱ）当时，此时轴，如图：
在中，令，则，解得：，
∴或，当时，，
∴，∴，
当时，，∴，∴，
综上所述，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的判定、待定系数法求函数解析式、三角形相似的判定与性质、正方形性质及应用等知识点，掌握相似三角形判定及性质的应用、分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
变式8．（2023·广东广州·统考一模）综合与探究 已知抛物线．
(1)当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式．(2)当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长．(3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立得，根据根与系数的关系得到，，再由得到，再根据（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，得到，由此求出m的值即可得到答案；
（3）先求出点G的坐标，设抛物线上任一点的坐标为，则点关于直线的对称点坐标为，由此求出抛物线的解析式得到H的坐标，进一步证明，则当A、B、G、H为顶点的四边形是正方形时，为该正方形的对角线，推出，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，∴，∴抛物线解析式为；
（2）解：联立得，∴，，
∵，∴，
∵无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，
∴，∴，∴，即；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴点G的坐标为，
设抛物线上任一点的坐标为，则点关于直线的对称点坐标为，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为，
∴点H的坐标为，∴都在直线上，∴轴，
∵都在直线上，∴轴，∴，
∴当A、B、G、H为顶点的四边形是正方形时，为该正方形的对角线，
∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，二次函数与一次函数综合，翻折变换等，灵活运用所学知识是解题的关键．
考点9、二次函数中相似三角形的存在性问题
例9．（2023·湖北十堰·校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；(2)N是抛物线对称轴上一点，当三角形为等腰三角形时，求N点的坐标．
(3)点D是边上一点，连接，将线段以O为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；(4)点M在线段上（与A，B不重合），点N在线段上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)符合条件的N点的坐标为或或或或；(3)或；(4)点N的坐标为：或或．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）求得对称轴为直线，设N点的坐标为，分，，时，三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解；（3）分点在上、点在上；点在上、点在上；点在上、点在上三种情况，分别求解即可；（4）分为直角、为直角、为直角两种情况，利用三角形相似求解即可．
【详解】（1）解：∵点和在抛物线上，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为①；
（2）解：∵，∴对称轴为直线，
∵，，∴，设N点的坐标为，
当时，则，解得，∴N点的坐标为；
当时，则，解得，
∴N点的坐标为或；
当时，则，解得，
∴N点的坐标为或；
综上，符合条件的N点的坐标为或或或或；
（3）解：将以O为旋转中心，逆时针旋转，得到，
∵，，，∴
如图1，当点在上、点在上时，
设直线的解析式为，将点代入得
，解得，∴直线的解析式为：②，
联立①②并解得：或（舍去）；∴；
当点在上、点在上时，即y轴与抛物线的交点，
当点在上、点在上时，与抛物线没有交点，∴或；
（4）解：存在，理由：由点A、B、C的坐标得，，
，，则，
故为以为斜边的直角三角形，；
以C，M，N为顶点的三角形与相似，则为直角三角形，
由点B、C的坐标，同理可得直线的表达式为，
点N在上，故设点，点；
①当为直角时，此时点M与点A重合，不符合题意，
②当为直角时，如图2，
过点N作轴于点G，∵，，
∴，∴，
当时，，即两个三角形的相似比为，
则，，即且，解得：，故点N的坐标为；
当时，同理可得：（舍去）；
③当为直角时，如图3，
过点N作x轴的垂线，垂足为点H，过点C作交的延长线于点G，
当时，同理可得：且相似比为，
则，即，解得：，故点N的坐标为；
当时，则，而，则点N是的中点，由中点公式得，点；
综上，点N的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、一次函数的性质、三角形相似的性质、锐角三角函数、图形的旋转等，其中（2）、（3）、（4），都要注意分类求解，避免遗漏．
变式9．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求点A、B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
(2)存在，点E的坐标为，
【分析】（1）令，，解方程即可；
（2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为，求得是以为斜边的等腰直角三角形，得到，如图，设交l于点G，根据轴对称的性质得到，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，令，，
解得，，∴点A的坐标为，点B的坐标为，
在中，令，，∴点C的坐标为；
（2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线，
∴点D的坐标为；∵，，∴，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，∴，
如图，设交l于点G，∵点E，F关于直线l对称，∴，
∵，则，，∴．
分两种情况讨论：当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n，
则，，，
将其代入中，得，
解得，（舍去），∴，
当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，，∴，
将其代入中，得，
解得，（舍去），∴，
综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，
∴点E的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
模块4：同步培优题库
1．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是__________________．
【答案】/0.5
【分析】过作轴于，交于，求出、的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
【详解】解：抛物线的顶点为，且经过点、，
抛物线的对称轴是直线，且，关于直线对称，过作轴于，交于，
为等腰直角三角形，，，，
四边形是正方形，，，，，，，
把、的坐标代入得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·江西景德镇·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接．点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是______．
【答案】，或，或，
【分析】利用待定系数法求出函数关系式，再分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求出点坐标即可；
【详解】解：由题意，得：，解得：，
抛物线的解析式为：；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，，
，，，，
当时，则，解得：（舍去）或4，即点的坐标为，，
当时，，解得：，
综上所述，满足条件的点坐标为，或，或，；
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，题目综合性较强，属于中考压轴题．
3．（2023·江苏常州·校考一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时a的值，由图象可得a的取值范围．
【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴二次函数图象的顶点坐标在直线上移动，
∵y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在，
∴二次函数的图象与以顶点坐标为，，，的正方形有交点，
如图，当过点时，将代入得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
当过点时，将代入得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
由图可知，若y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在，
a的取值范围为：．故答案为：
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶好点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
4．（2023·山东淄博·统考一模）华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与f的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为．若抛物线与g的图象关于对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为__________．
【答案】
【分析】设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，把，代入抛物线后即可得出要求的函数解析式；
【详解】解：设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，
把，代入得∶∴，故答案为∶．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换的知识，明确关于的对称的点的坐标特征是解题关键．
5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线，交轴于、两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点除、外，过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；②是，
【分析】（1）根据当时，，可得，，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据题意得出．进而得出，轴，进而根据解析式得出顶点，即可求解；②设，得出直线：，：．令得，，即可得出．
【详解】（1）解：∵当时，，
，是的两根，，，
∴，解得：，∴抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，．
又当，，，线段轴．
，，
；
②设，直线，
因此可得：或，解得：或，
直线：，：．
令得，，∴，，∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题、线段问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为线段上方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点E，过点P作交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点的三角形是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)(2)的周长最大为，此时点P的坐标为
(3)或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，过点P作轴交直线于G，先求出，进而求出直线的解析式为，设，则，则，求出，，得到，，，；进一步证明是等腰直角三角形，得到；证明，一处，则的周长，推出当最大时，的周长最大，据此求解即可；（3）由，可设将抛物线向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到新抛物线，再根据平移后的抛物线与原抛物线交于点B，求出平移后的抛物线解析式为；设点M的坐标为，然后分如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于E，如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于E，两种情况证明，得到，进而用含t的式子表示出点Q的坐标，再根据，点Q在抛物线上进行代入求解即可．
【详解】（1）解：把代入到抛物线解析式中得：，
解得，∴抛物线解析式为
（2）解：如图所示，过点P作轴交直线于G，
在中，当时，，∴，设直线的解析式为，
∴，∴，∴直线的解析式为，设，则，
∴，
∵，，，∴，，
∴，，，；
∵轴，轴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴；
∵，∴，∴，
∴，即，∴，
∴的周长，∴当最大时，的周长最大，
∵，，∴当时，最大，最大为，
∴的周长最大为，此时点P的坐标为；
（3）解：∵，∴可设将抛物线向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到新抛物线，∴，
∵平移后的抛物线与原抛物线交于点B，∴，
∴，解得或（舍去），
∴平移后的抛物线解析式为；设点M的坐标为，
如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于G，
∴，∵以为斜边的等腰直角三角形，
∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵点Q在抛物线上，
∴，∴，
∴，解得或，∴点M的坐标为或；
如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于E，
同理可证，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵点Q在抛物线上，
∴，∴，∴，
∴，∴，解得或，
∴点M的坐标为或；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
7．（2023·四川南充·统考一模）抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、．
(1)求抛物线与直线的解析式；(2)求证：为定值；(3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)见解析(3)存在，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由，则，，，计算即可求解；（3）①当是平行四边形的边时，确定以、、、为顶点的平行四边形面积，故当最大时，平行四边形的面积最大，计算的最大值为；②当是平行四边形的对角线时，证明该种情况，不符合题设要求，进而求解．
【详解】（1）解：令，则，∴，∵，∴，∴，
将点代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；设直线为，
将点，的坐标代入得，
，解得：，∴直线的解析式是：；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
∴为定值；
（3）解：存在，理由：①当是平行四边形的边时，
如下图：设直线交轴于点，交于点，
令，则，解得；令，则，
∴，，则，∴，，
过点作于点，则，则，
则以、、、为顶点的平行四边形面积，其中为常数，
故当最大时，平行四边形的面积最大，设点，则点，
则，即的最大值为，此时点；
②当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得：以、、、为顶点的平行四边形面积，此时，
∵当时，的值随最大而增大，而，当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求，
综上，点，即四边形为平行四边形时，符合题设要求，
设点，由中点坐标公式得：，解得：，故点．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题目，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、平行四边形的判定与性质是解决此题关键．
8．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图1，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，点D为抛物线上第四象限的动点．
(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．(3)如图2，直线交抛物线的对称轴于点N，过点B作的平行线交抛物线的对称轴于点M，当点D运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
【答案】(1)(2)(3)不变，值为8
【分析】（1）由二次函数，令，则，则，又由得到，，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由和得到当达到最大值时，的值最小，则当点D为抛物线的顶点时，达到最大值．利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）设，求出直线的解析式为，再再求出直线的解析式为，由抛物线的对称轴为，得到点M的坐标是，再求得直线的解析式为，求得点N的坐标是，即可得到，问题得到解答．
【详解】（1）解：由二次函数，令，则，∴．
又∵，∴，，
代入得，解得，∴抛物线的解析式是．
（2）．
∵，为定值，∴当达到最大值时，的值最小．
∵，∴点D为抛物线的顶点时，达到最大值．
设直线的解析式为，
又，∴，解得，∴直线的解析式为．
（3）解：设，∵点D为抛物线上第四象限的动点，，∴，
设直线的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，∴可设直线的解析式为，
把代入得，，，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，当时，，∴点M的坐标是，
设直线的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，∴点N的坐标是，
∴，即线段的长度是不会改变，线段的长度是8．
【点睛】题目主要考查二次函数和一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式、一次函数与二次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
9．（2023秋·浙江九年级期中）如图，已知抛物线的顶点为M，直线交抛物线于点，交x轴于点B(1)求点M的坐标；(2)求直线的解析式；(3)设点是抛物线在x轴下方，顶点左方一段上的动点，连接，过以P为顶角顶点，为腰的等腰三角形的另一顶点C作x轴的垂线交直线于点D，连接，设的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
(4)在上述动点中，是否存在使的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由
【答案】(1)(2)(3)
(4)存在动点P，使，此时P点坐标为
【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式中用待定系数法即可求出二次函数的解析式，进而求出顶点M的坐标即可；（2）把A、M坐标代入直线解析式用待定系数法求出直线的解析式；
（3）设点 ，则C的坐标是，可以求出D的坐标．得到的长度，因而的面积就可以用x表示出来，得到S与x的函数解析式．
（4）使，则把代入函数的解析式，就可以得到关于x的方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得，∴，
∴抛物线解析式为，∴顶点M的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，两点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
（3）解：在中，令，解得，∴B点坐标为；设，
∵以为腰的等腰三角形的另一顶点C在x轴上，∴C的坐标是，
∵轴，∴，∴，∴．
∴；
（4）解：当，时，则，
∴，此时，即方程无解，∴此种情形不成立；
当，时，则，∴，即，
解得或（舍去），∴
∴存在动点P，使，此时P点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数的解析式，以及坐标系中三角形的面积的求法，求线段的长的问题一般要转化为求函数图象上的点的坐标的问题．
10．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接，，．(1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；(2)点为轴左侧二次函数图象上一动点，作射线．①若点是射线上一点，当时，求点的坐标；②随着点的运动，试探究：射线上是否存在一点，使得，且的面积最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；直线的解析式为
(2)①；②
【分析】（1）通过解方程得A、B的坐标；令可求出点C的坐标，运用待定系数法可求直线的函数表达式；
（2）①设点，求出直线的解析式，设，根据全等三角形的性质得出对应边相等，列出方程，求解即可；②设，求得，根据得，进一步得出当时，最大值为，得出，从而得出结论
【详解】（1）当时，，解得，
∵点在点的左侧，∴，当时，∴
又，∴，设直线的解析式为，
把点C、D的坐标代入得，，解得，，∴直线的解析式为，
（2）①设点，设直线的解析式为，
把点B、P的坐标代入得，，解得，
∴直线的解析式为，设，
∵，∵，
又，
∴
得，，代入①得：
解得，（舍去）∴，∴；
②由①得，设，则
∵，∴，∴①
又∵为定值，∴最大时，最大，
由①得，,
∴当时，最大，为，∴（负值舍去）∴
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的最值问题．
11．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于（点B在点C的左边），与y轴交于点A．(1)求出点C的坐标；(2)在直线下方的抛物线上一点M，当最大面积为4时，求点M的坐标及a的值；(3)设抛物线的顶点为点D，连接，是否存在点D，使得？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，详见解析(2)，，详见解析(3)存在，，详见解析
【分析】（1）令得到方程求出与x轴的交点坐标，然后根据开口方向即可确定C点坐标；（2）设，过点M作轴交直线于点N，用含m的代数式表示出，表示出，利用二次函数的最值性质即可得解；
（3）分顶点D在y轴左侧和右侧两种情况，分别构造符合条件的直线解析式，先求出解析，然后将代入直线解析式，解方程得值，进而即可得解．
【详解】（1）解：令得到方程，解这个方程得：，
∴抛物线与x轴的交点为，
∵抛物线开口向上，∴，∴，
又∵B点在C点的左侧，∴，∴；
（2）解：如图，在下方的抛物线上任取一点M，过点M作轴交直线于点N，连接，
令得，解得，∴，由知，
设直线的解析式为，
∴，∴，∴直线解析式为，
设，∴，
∴，
∴，
∴当时最大为4，∴，∴，
又∵，∴，∴时，，
∴，综上：，；
（3）解：存在，如图2，作，连接，
∵，∴，∴，∴，
作等腰，使，交y轴于点M，
∴，∴，
∴，∴，
过点E作交y轴于F点，在中，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴过两点的解析式设为，
∴，∴，∴，
∵点D为抛物线的顶点，∴，
将D点坐标代入得，解方程得，
当时，与A重合，不符合题意，舍去
如图3，作，连接，∵，∴，∴，
过点A作，∴，
∵，∴过C,G两点的解析为：，
∵，直线过A点，∴过A,E两点的解析式为，
∵点D为抛物线的顶点，∴，
将D点坐标代入得，
解方程得：（舍去），综上所述：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质的综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理,一次函数解析式等知识点，，熟练掌握其性质，合理构造二倍角是解决此题的关键．
12．（2023·山西阳泉·统考二模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴；(2)求线段BC的长；(3)探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】(1)，，对称轴(2)(3)或
【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）根据三角形相似求出的长，再根据相似三角形的相似比求出，利用勾股定理求出的长；
（3）利用两点距离公式求出、、的长，再根据勾股定理建立方程进行求解．
【详解】（1）解：，令，得到，
解得，，，，对称轴为：；
（2），，，，
，，，，
设，，，，，
解得或（舍），；
（3），，，C点横坐标为：，
把代入，得，，对称轴为，
设，，，
，
当时，，即，解得，；
当，，即，此方程无解；
当，，即，解得，、，
综上所述，P为或．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点、性质、存在性问题和相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t．
(1)求抛物线解析式；(2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值；
(3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，(3)存在，，
【分析】（1）根据菱形的性质以及含角的直角三角形的性质求出点A， B，利用待定系数法即可求解； （2）过点D作于点M，于点N，证明，根据相似三角形的性质得出的面积，根据二次函数的性质即可得S的最小值；（3）根据矩形得到，，，,过点E作，过点D作，作于H，延长交于K，先证，得到，求出，解析式，根据平移即可得到答案；
【详解】（1）解：过点A作轴于点G，∴，
∵，，∴在中，，
∴，∴，
又菱形，∴，，∴，
由抛物线过原点，设抛物线解析式为．
由题意得解得，，∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意得，，过点D作于点M，于点N，
∵菱形，∴，∴，
又，∴，
∴，∴，∴，，解得，
在中，，
在中，，
，
∵，开口向上，，∴当，，
；
（3）当时，在平面内存在点Q，使得以为边，以点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，
此时，，，，,如图，过点E作，过点D作，作于H，延长交于K，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，解得，∴，
∴，∴．
由题得解得或，∴点P的横坐标为或6，
∴，，，
∴将点P先向左平移2个单位，再向上平移个单位，得点Q，∴点Q的横坐标为-4或4．
由题意得，解得或，∴点P的横坐标为或，
将点P先向右平移2个单位，再向下平移个单位，得点Q，∴点Q的横坐标为或，
综上，满足题意的矩形有，，，，
点Q的横坐标分别为，4，，．
；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质，两直线平行问题，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（2023·广东汕头·校联考二模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？(3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2),当时，有最大值(3)存在，或
【分析】（1）将，，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点E和点G的坐标，从而得出EG再根据解直角三角形求得EF，根据二次函数的最值即可得出答案；
（3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点G的坐标．
【详解】（1）由题意得，∴∴；
（2）设直线的表达式为，
∵过点，，∴，∴，∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，∴，∵轴，∴，∴，
∵，∴，
∴当时，有最大值；
（3）存在 ∵，，的坐标为，，
∴①当时，，即，解得，此时的坐标为，
②当时，，即，解得，此时的坐标为，
所以，点坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．（2023·广东深圳·统考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．
如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；
①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；
【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；
【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．
【答案】【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】
【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；
【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．
【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线关于轴的矢高是4，
当时，，解得：，∴点，
∴跨径是，∴矢跨比是；故答案为：4；4；1
②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，
∴抛物线经过点的矢高是，
∵与抛物线开口方向与大小一样，
∴可设该抛物线解析式为，
把点代入得：，解得：（舍去）或3，
∴该抛物线解析式为，
当时，，解得：或2，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为，
∴该抛物线的跨径是，∴它关于轴的矢跨比是；
【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，∴第一条抛物线的解析式为，
对于，顶点坐标为，
当时，，∴第二条抛物线的跨径是，
对于，当时，，
∴第一条抛物线的跨径是，
∵，
∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；故答案为：
【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，
∴主跨的矢高是米，根据题意得：，解得：，
∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，∴边跨的矢高是米，
∴边跨的矢跨比是．故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．（2023春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作．如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为．
(1)已知点、点，则 ， ．
(2)若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当取最大值时点Q的坐标．
【答案】(1)4，4(2)见解析(3)
【分析】（1）首先根据点到轴的距离是0，到轴的距离是4，可得；然后根据点到轴的距离是1，到轴的距离是3，求出的值是多少即可；
（2）首先设点的坐标是，然后根据，可得，据此求出点运动所形成的图形即可；（3）首先作于点，轴于点，交于点，设点的坐标为，其中，则，然后判断出点的坐标，以及，的大小，再判断出，即可判断出，据此求出；最后求出的值，根据二次函数最值的求法，求出当取最大值时点的坐标即可．
【详解】（1）解：点到轴的距离是0，到轴的距离是4，，
点到轴的距离是1，到轴的距离是3，．
综上，可得，．故答案为：4；4；
（2）解：设点的坐标是，，，
点运动所形成的图形是线段，如图2所示：
（3）解：如图4，作于点，轴于点，交于点，
，
把代入，得．解得．
设点的坐标为，其中，则，
点的坐标为，，，．
∵，．，
．
，当时，取得最大值．此时，点的坐标为．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
17．（2023·福建三明·统考二模）如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线在第一象限交于点A，点P为线段上一点（不含端点），过点P作直线轴，分别交x轴，抛物线于点M，Q．
(1)若点A的横坐标为2，求a的值；(2)过点A作，垂足为N，求证：；
(3)如图②，若过点Q的抛物线与直线交于点B，C （点B在C的左侧） ，求证：．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）先将代入中求得点A坐标，再将代入中求解即可；（2）设，则，，∴，，由求得，进而求得，进而可求解即可；
（3）作，，，垂足分别为E、F、N，由（2）知，，，由抛物线都过点Q求得，设，，则，，由题意和一元二次方程的根与系数关系得到，，证，得到，，进而证明即可证得结论．
【详解】（1）解：将代入中，得，则，
将代入中，得，∴；
（2）解：由题意，设，则，，
∴，，
由得，，∴，又，
∴，∴，∴；
（3）解：作，，，垂足分别为E、F、N，
由（2）知，，，
∵抛物线都过点Q，，∴，则，
设，，则，，
由得，∴，，
∵，∴，，
∴，，
∵，
∴，∴，即．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、比例性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质探究线段关系是解答的关键．
18．（2023春·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于C点，已知．
(1)求抛物线的解析式；(2)在直线下方的抛物线上取一点P，连接交于E点，当时，求点P的坐标；(3)点M、N均在抛物线上，设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，（），连接，连接、分别与y轴交于点S、T，，请问是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）先求点的坐标，根据三角形的面积求出点坐标，将点代入解析式进行求解即可；
（2）过点作交于点，过点作轴交于点，易得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用 ，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，即可得出结果；
（3）过点作轴的平行线，作点关于的对称点，连接，易证，三点共线，求出直线的解析式，与抛物线的解析式进行联立，求出点坐标，进而求出直线的解析式，求出的坐标，进行求解即可得出结论．
【详解】（1）解：令，则，∴或，∴，∴，
∵，∴ ，∴，∴，
将点代入解析式，得：，解得，∴；
（2）过点作交于点，过点作轴交于点，
则：，
∵，∴，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，同理：是等腰直角三角形，
设，则， ，∴
∵， ∴， 解得：，
∴，∴，∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，∴直线的解析式为：，
联立，解得：或，∴点坐标为：．
（3），理由如下：由题意可知，
过点作轴的平行线，作点关于的对称点，连接，
∴，，
∵，∴，即：，三点共线，
∵，∴， 设直线的解析式为，
则：，解得 ∴，
联立，解得：或
∴，设直线的解析式为，
，解得 ∴，∴，
设直线的解析式为， ，解得：，
∴，∴，∴，
∴
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
19．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
【答案】(1)(2)，(3)2或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，可得的周长的最小值为；
（3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可．
【详解】（1）将代入，
∴，解得，∴；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下：
∵，∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B点关于直线对称，∴，
∴的周长，
∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，
当时，，∴，∴，
∴的周长的最小值为；
设直线的解析式为，
∴，解得，∴，∴，
（3）设，
当为平行四边形的对角线时，∴，解得（舍）或，∴；
当为平行四边形的对角线时，∴，解得（舍）或，∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，解得或，∴或；
综上所述：M点横坐标为2或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
20．（2023·福建南平·统考二模）如图，抛物线经过点，且与直线交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求的面积；(3)已知垂直轴于点，垂直轴于点，求证：．
【答案】(1)(2)6(3)见解析
【分析】（1）根据待定系数法，把代入得a的值，即可求出二次函数的解析式；
（2）当时，先求出直线解析式，然后联立解得直线和抛物线的交点B、C，求出所在直线的函数解析式，再求出该直线与y轴的交点M，最后求出面积；
（3）先设出点，的坐标，然后联立得，然后根据根与系数的关系求出，，，，最后代入化简即可．
【详解】（1）解：把代入得，，解得，，
所以，二次函数的解析式为．
（2）解：当时，直线解析式为．
联立，得，解得，．
不妨设点的坐标为，则点的坐标为．
设所在直线的函数解析式为，
将，代入得，解得，
所以，直线的解析式为．
设直线与y轴交于点，则，所以，
所以，．
（3）解：设点，的坐标分别为，，
由得，
由根与系数的关系，得：．
因为，，，，
所以
．所以，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数围成三角形的面积，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点．
(1)如图1，点为直线上方的抛物线的图象上一点，当面积最大时，在直线上有一个动点M，在直线上有一个动点N，且，求的最小值及此时点的坐标；
(2)如图2，将绕点O顺时针旋转至的位置，点B、C的对应点分别为、，且，与轴交于点R，点S是抛物线对称轴上的一个动点，将沿直线翻折为，则能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点S的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)的最小值为，此时
(2)能，当时，；当时，；当时，，
【分析】（1）根据题意可求出的解析式，设点P的坐标，作平行线，根据直线解析式得Q的坐标，求出最大值，确定点P的坐标，然后由旋转得解析式，从而求出最小值；
（2）根据轴对称和旋转，翻折的性质可表示出线段的长，再根据等腰三角形的两腰相等，分三种情况讨论，分别求出满足条件的的坐标．
【详解】（1）令，可得，即：，
当时，可得，即，
设直线的解析式为，把,代入上式得：，解得，
∵，∴设，把代入得：，即：；
设，过P作轴交直线于点Q，则，
∴，∴，
∵，对称轴，∴当时，面积最大，此时；
由题可知，，把点P沿着射线方向平移2个单位得，再把直线绕点逆时针旋转交y轴于F，过点作交于，则的最小值为；
∵，∴，∴的最小值为，此时；
（2）解：①当时，设点，则
由翻折可得 即联立解得（舍）即，
又，设点则解得，即点
②当时，设点，则
同理有，解得（舍）即，
又，设点则 解得，即点
③当时，设点，则
同理有，解得（舍）
即或， 又，设点
当时，则解得，即点
当时，则解得，即点
综上所述，点的坐标为，，
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知抛物线（）与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点．(1)求与的关系式；(2)若时，点在抛物线的对称轴上；
①若过点的直线：（）与抛物线只有一个交点；证明：直线平分；
②设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．
【答案】(1)(2)①见解析；②是定值，值为4
【分析】（1）由题意可设函数解析式，令，即可得；（2）①当时，，由题意可得过点的直线：（）与抛物线只有一个交点，即，即，解得，根据点的坐标计算可得，进而得出结论即可；②设过点的直线：，联立，设，N， ，则，，代入即可得出答案．
【详解】（1）由题意可知：
令，∴
（2）①当时，，∴，
∵过点的直线：（）与抛物线只有一个交点，
∴直线：（）
∵过点的直线：（）与抛物线只有一个交点
∴，即，整理得，
∴，解得，∴直线l：交对称轴与
∴，，
∴∴，即，∴直线平分
②为定值，理由如下，设过点的直线：
联立化简
设，N， 则，
∴
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是根据题意设函数关系式以及点的坐标．
23．（2023·福建厦门·统考一模）我们称抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是．
(1)若点的坐标为，求点的坐标；(2)若．①求点与的距离；（用含的式子表示）
②将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线．证明：当时，以点，，，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”．
【答案】(1) (2)①；②见解析
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求出m的值，得出抛物线表达式，再求出点B的坐标，最后根据旋转的性质，即可求解；
（2）①将化为顶点式，得出顶点坐标，先求出点A的坐标，再根据二次函数对称性得出点M的坐标，进而根据旋转的性质得出点的坐标，最后得出，根据，即可求解；②根据题意可得，，，，则点在点的上方．求出直线的函数解析式为．再进行分类讨论：当时，要证四边形是抛物线的“非递增四边形”，只需证当时，抛物线不在四边形内；当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”；当时，设点为抛物线上升部分的任意一点，则在抛物线的上升部分必定存在点的平移对应点，设，其中．过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，，则当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线上升部分的下方，则始终在线段的下方．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，
将点A的坐标代入得：．
∴此时抛物线的解析式为．令，解得．
∵抛物线与轴交于点，且，∴．∴．
∵将绕点顺时针旋转，点的对应点是，
∴且点在轴的负半轴上．∴．
（2）解：①由得，
∴抛物线的对称轴为，顶点．
∵轴且点在抛物线上，∴．
∴点与关于直线对称，∴，∴，．
如图，过点作轴的垂线，垂足为．
∵将绕点顺时针旋转，点的对应点是，∴，．
∵，，∴，．
∴．∴．∴，．
∵点在第四象限，∴．
∵，∴．
∵，∴．∴与的距离．
②∵，，，，
∴．
∴点在点的上方．∴轴，．
∴四边形是平行四边形，且边在边的下方．
设直线的函数解析式为，
将，分别代入中得
，解得．∴的函数解析式为．
当时，抛物线记为，解析式为，此时顶点为．
将代入中，得．
∴抛物线的顶点在直线上．
∵抛物线在时，从左向右下降；时，从左向右上升，
∴要证四边形是抛物线的“非递增四边形”，只需证当时，抛物线不在四边形内．∵．
∵，∴．又∵，∴．
∴当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”．
当时，设点为抛物线上升部分的任意一点，则在抛物线的上升部分必定存在点的平移对应点，设，其中．过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，．
∵对于抛物线，当时，随增大而增大，又∵，∴．
∴当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线上升部分的下方，则始终在线段的下方．
综上所述，当时，四边形是抛物线的“非递增四边形”．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是理解题目所给定义，熟练掌握二次函数的相关知识，平移和旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征．
如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。
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专题1.7 二次函数图象中的定值与特殊图形的存在性（探究）问题综合压轴
该专题内容的部分考点涉及相似三角形的性质与判定，建议大家学习完第4章再完成该专题。
模块1：学习目标
1. 熟练掌握在二次函数中探究特殊几何图形（角度、线段、特殊三角形、四边形、相似三角形等）的存在性问题；
模块2：知识梳理
1、“两定一动”型等腰三角形存在性问题
如图，已知定点A、O，在x轴上找点P，使△OAP为等腰三角形，
则P1、P2、P3、P4即为符合题意的点P
解决策略：（有时也可用两点间距离公式求值）
①当OA=OP时，以O点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点；
②当OA=AP时，以A点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点；
③当AP=OP时，线段OA的中垂线与目标直线x轴的交点即为所求点；
2、“一定两动”型等腰三角形存在性问题
如图，P、Q分别为AB、CB上一动点，当△BPQ是等腰三角形时，有以下几种情况：
①BP=BQ ②BQ=PQ ③BP=PQ
解决策略：
即BQ=PQ可转化为:；BP=PQ可转化为:。
特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形
①根据点的坐标，表示出三边的平方；
②根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程；
③分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在。
3、直角三角形的存在性问题
如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：
解决策略：
如图，已知A(-3，0),B(-1，-6)，在y轴上找点P，
使△ABP为直角三角形；分以下3种情况：
4、平行四边形的存在性问题
1）知识储备：①平行四边形是中心对称图形；中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分；②中点公式：已知的中点为P，则。
2）方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标；②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论；③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解
例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；
（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。
5、菱形的存在性问题
方法策略：
抓菱形两大性质 邻边相等→转化为等腰△存在性问题
对角线垂直→转化为直角△存在性问题，或“k型相似”问题
6、矩形、正方形的存在性问题
方法策略：抓矩形两大性质（内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题）；
正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题。
模块3：核心考点与典例
考点1、二次函数中角度问题的存在性问题
例1．（2023·广东东莞·虎门五中校联考一模）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：(2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由；(3)如图②，连接，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
变式1．（2023·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）如图，已知抛物线的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；(3)在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中、，M是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM，交线段AC于点D，求的最大值（其中符号S表示面积）；
(3)连接CM，是否存在点M，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
考点2、二次函数中线段定值（及比值）的存在性问题
例2．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线与直线相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段下方抛物线上一动点，过点M作∥轴交于点G．(1)当∥轴时，①求点A、B的坐标；②求的值；
(2)当时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
变式2．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线与轴交于点和点，对称轴是直线，与轴交于点，点在抛物线上（不与A，重合）．(1)当时．①求抛物线的解析式；②点在直线的下方，且的面积最大，求此时点的坐标；(2)若直线，分别与轴交于点、判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
考点3、二次函数中直角三角形的存在性问题
例3．（2023·山东聊城·统考一模）如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；(2)若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
变式3.（2023·青海西宁·统考一模）如图，抛物线与轴交于点和．
(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点4、二次函数中等腰三角形的存在性问题
例4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．将抛物线向右平移一个单位得到抛物线．(1)求抛物线与的函数解析式；(2)连接，探究抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4．（2023秋·九年级单元测试）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．(1)求抛物线的关系式；(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．①求S与m之间的函数关系式．②当S取得最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点5、二次函数中平行四边形的存在性问题
例5．（2023春·广东东莞·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式5．（2023·湖南娄底·统考一模）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点、的坐标分别为、，点的坐标为．点是抛物线第一象限上一个动点，设点的横坐标为，连接、、．
(1)求抛物线的函数表达式；(2)当四边形的面积最大时，求的值；(3)在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是拋物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点6、二次函数中矩形的存在性问题
例6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，在轴上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出平移方式；若不存在，请说明理由．
变式6．（2023·浙江九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
考点7、二次函数中菱形的存在性问题
例7．（2023·广东汕头·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D，点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，直线交y轴于点C，过点P作交x轴于点F，轴，交直线于点E，交直线于点M．
(1)直接写出点A，B，D的坐标；(2)当时，求m的值；(3)试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；(3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标；(4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点8、二次函数中正方形的存在性问题
例8．（2023·山东济南·统考二模）如图．已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求点P的坐标；(3)连接，交直线于点E，交y轴于点F；①是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
变式8．（2023·广东广州·统考一模）综合与探究 已知抛物线．
(1)当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式．(2)当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长．(3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
考点9、二次函数中相似三角形的存在性问题
例9．（2023·湖北十堰·校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；(2)N是抛物线对称轴上一点，当三角形为等腰三角形时，求N点的坐标．
(3)点D是边上一点，连接，将线段以O为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；(4)点M在线段上（与A，B不重合），点N在线段上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
变式9．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求点A、B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
模块4：同步培优题库
1．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是__________________．
2．（2023·江西景德镇·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接．点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是______．
3．（2023·江苏常州·校考一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为______．
4．（2023·山东淄博·统考一模）华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与f的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为．若抛物线与g的图象关于对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为__________．
5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线，交轴于、两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点除、外，过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
6．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为线段上方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点E，过点P作交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点的三角形是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
7．（2023·四川南充·统考一模）抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、．
(1)求抛物线与直线的解析式；(2)求证：为定值；(3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图1，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，点D为抛物线上第四象限的动点．
(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．(3)如图2，直线交抛物线的对称轴于点N，过点B作的平行线交抛物线的对称轴于点M，当点D运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
9．（2023秋·浙江九年级期中）如图，已知抛物线的顶点为M，直线交抛物线于点，交x轴于点B(1)求点M的坐标；(2)求直线的解析式；(3)设点是抛物线在x轴下方，顶点左方一段上的动点，连接，过以P为顶角顶点，为腰的等腰三角形的另一顶点C作x轴的垂线交直线于点D，连接，设的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
(4)在上述动点中，是否存在使的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由
10．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接，，．(1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；(2)点为轴左侧二次函数图象上一动点，作射线．①若点是射线上一点，当时，求点的坐标；②随着点的运动，试探究：射线上是否存在一点，使得，且的面积最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于（点B在点C的左边），与y轴交于点A．(1)求出点C的坐标；(2)在直线下方的抛物线上一点M，当最大面积为4时，求点M的坐标及a的值；(3)设抛物线的顶点为点D，连接，是否存在点D，使得？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．
12．（2023·山西阳泉·统考二模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴；(2)求线段BC的长；(3)探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
13．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t．
(1)求抛物线解析式；(2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值；
(3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023·广东汕头·校联考二模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？(3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023·广东深圳·统考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．
如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；
①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；
【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；
【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．
16．（2023春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作．如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为．
(1)已知点、点，则 ， ．
(2)若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当取最大值时点Q的坐标．
17．（2023·福建三明·统考二模）如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线在第一象限交于点A，点P为线段上一点（不含端点），过点P作直线轴，分别交x轴，抛物线于点M，Q．(1)若点A的横坐标为2，求a的值；(2)过点A作，垂足为N，求证：；(3)如图②，若过点Q的抛物线与直线交于点B，C （点B在C的左侧） ，求证：．
18．（2023春·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于C点，已知．
(1)求抛物线的解析式；(2)在直线下方的抛物线上取一点P，连接交于E点，当时，求点P的坐标；(3)点M、N均在抛物线上，设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，（），连接，连接、分别与y轴交于点S、T，，请问是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
19．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
20．（2023·福建南平·统考二模）如图，抛物线经过点，且与直线交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求的面积；(3)已知垂直轴于点，垂直轴于点，求证：．
21．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点．
(1)如图1，点为直线上方的抛物线的图象上一点，当面积最大时，在直线上有一个动点M，在直线上有一个动点N，且，求的最小值及此时点的坐标；
(2)如图2，将绕点O顺时针旋转至的位置，点B、C的对应点分别为、，且，与轴交于点R，点S是抛物线对称轴上的一个动点，将沿直线翻折为，则能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点S的坐标；若不能，请说明理由．
22．（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知抛物线（）与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点．(1)求与的关系式；(2)若时，点在抛物线的对称轴上；
①若过点的直线：（）与抛物线只有一个交点；证明：直线平分；
②设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．
23．（2023·福建厦门·统考一模）我们称抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是．
(1)若点的坐标为，求点的坐标；(2)若．①求点与的距离；（用含的式子表示）
②将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线．证明：当时，以点，，，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”．
如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。
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