初中数学浙教版八下精彩练习5.1矩形（1）
一、基础达标
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB//DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AC=BD，OA=OC，
∴A、B、D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，对边平行且相等，对角线相等且平分，即可判断.
3．如图所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（ ）
A．29° B．32° C．22° D．61°
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠EBD=∠DBC=29°，再根据矩形的性质即可求得结果。
【解答】由题意得∠EBD=∠DBC=29°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBD-∠DBC=32°，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的四个角都是直角，折叠前后的图形全等。
4．如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的一个夹角∠AOB=60°，AC=12cm，则这个矩形的一条较短边为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AC=12cm，
∴AO=BO=6cm，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=BO=6cm.
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质，结合AC=12cm，求得AO=BO=6cm，进而可证明△ABO是等边三角形，由等边三角形三边相等即可求得短边AB的长.
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴BO=DO=AO=CO，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵∠EOD=∠FOB，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴S△FBO=S△EDO，
∴阴影部分面积=S△BOC= S矩形ABCD= ×4×3=3.
故答案为：A.
【分析】先由矩形性质得BO=DO=AO=CO，AD∥BC，进而得∠EDO=∠FBO，再利用“ASA”判定定理证明△EDO≌△FBO，即得S△FBO=S△EDO，最后再由阴影部分面积=S△BOC= S矩形ABCD即可求解.
6．有一个角是 的平行四边形叫做矩形，矩形是轴对称图形，有 条对称轴，矩形也是 对称图形，其对称中心是 .
【答案】直角；2；中心；对角线的交点
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：矩形定义为有一个角是直角的平行四边形；
矩形有两条对称轴，分别为两条邻边的中垂线；
矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
故答案为：直角；2；中心；对角线的交点.
【分析】根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形为矩形；矩形分别为两条邻边的中垂线，有2条；平行四边形为中心对称图形，矩形是特殊的平行四边形，也为中心对称图形，对称中心为对角线的交点，据此填空即可.
7．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠DOC=110°，则∠DAC= .
【答案】55°
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴DO=AO，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠DOC=110°，
∴2∠DAO=110°，即∠DAO=55°，
∴∠DAC=55°.
故答案为：55°.
【分析】根据矩形性质得DO=AO，进而得∠ADO=∠DAO，再由三角形的外角定理求得∠DAO=55°，即可求出∠DAC的度数.
8．如图，在矩形ABCD中，已知AD=8cm，CD=6cm，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，则AC= cm，EF= cm.
【答案】10；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CD=6cm，AD=8cm，
∴∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，
AC=BD= =10cm，OD=5cm，
又∵E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF= OD= cm.
故答案为：10； .
【分析】先根据矩形性质得∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，再利用勾股定理求得AC和BD的长，进而得OD的长，根据E，F分别是AO，AD的中点，得EF为△AOD的中位线，再利用三角形的中位线性质即可求出EF的长度.
9．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE=2∠BAE，则∠EAC= .
【答案】30°
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠DAE=2∠BAE，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BD，即∠AEB=90°，
∴∠ABO=60°，
∴ ∠BAO=60°，
∴ ∠EAC=∠BAO-∠BAE=60°-30°=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据矩形性质得OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，结合∠DAE=2∠BAE，可求得∠BAE=30°，由AE⊥BD，即∠AEB=90°，求得∠ABO=60°，进而得∠BAO=60°，再由∠EAC=∠BAO-∠BAE，代入数据即可求得∠EAC度数.
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形.
【答案】证明：∵ 是BC边上的中线，
∴ ，
∴ .
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”性质，得AD⊥BC，即∠ADB=90°，再根据矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形为矩形即可求证结论.
二、能力提升
11．如图所示，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE=1cm，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为 cm.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接EC，BE交MN于点F，
∵矩形ABCD，E是AD的中点，且AE=1cm，
∴AB=CD，AD=BC=2AE=2cm，ED=1cm，
∵FC垂直平分BE，
∴EC=BC=2cm，∠BFC=∠EFC=90°，
∴在Rt△EFC中，CD= ，
∴AB=CD= cm.
故答案为： .
【分析】由矩形性质及E是AD的中点，且AE=1cm，可得AB=CD，AD=BC=2AE=2cm，ED=1cm，再由垂直平分线性质可得EC=BC=2cm，∠BFC=∠EFC=90°，再利用勾股定理求得CD，即可求得AB得长.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连结OE，OF.求证：OE=OF.
【答案】证明： ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
在 与 中，
∵
∴
∴
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先根据矩形性质得OD=OC，即得∠ODC=∠OCD，进而求得∠EDO=∠FCO，再结合DE=CF利用“SAS”可证明△ODE≌△OCF，再由全等性质即可证明结论成立.
13．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15°，求AD的长度.
【答案】解：如图，连结AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BE，AC=BD，
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】连结AC交BD于点O，由矩形的性质得AD∥BE，AC=BD，OA=OD，进而得∠ADB=∠CAD，∠E=∠DAE，再由BD=CE得CE=CA，可求得∠E=∠CAE，即得∠ADB=30°，根据直角三角形性质即可求出AD得长度.
14．如图，在矩形ABCD中， 远BC上一点，连结 ，垂足为 ，连结DF
求证：
（1） ；
（2）DF是 的平分线.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB.
∵DE⊥AF
∴∠DEA=∠B=90°.
∵AF=BC，
∴AF=AD，
∴
（2）证明：由(1)知 .
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB，
∴DC=DE.
∵DF=DF，
∴Rt Rt ，
∴ ，
即DF是 的平分线.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形性质得∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，进而得∠DAE=∠AFB；由DE⊥AF，得∠DEA =∠B=90°，由AF=BC，得AF=FD，利用“AAS”即可证明三角形全等；
（2）由三角形全等性质得AB=DE，再由矩形性质得∠C=90°，DC=AB，进而求得DC=DE，可证明得Rt△DEF≌Rt△DCF，得∠EDF=∠CDF，即可证明DF是∠EDC的角平分线.
三、拓展创新
15．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18cm.宽为16cm的矩形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积.
【答案】解：分三种情况.
①如图1，在△AEF中，AE=AF=10cm，
∴
②如图2，在△AGH中，AG=GH=10cm，
∴BG=AB-AG=16-10=6(cm).
根据勾股定理，得BH=8cm，
∴
③如图3，在 中， ，
∴ .
根据勾股定理，得DN=6cm，
∴
综上所述，剪下的等腰三角形的面积为50cm2或40cm2或30cm2.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】因为等腰三角形的位置不确定，可分为三种情况进行讨论：①如图1，在△AEF中，AE=AF =10cm时；②如图2，在△AGH中，AG=GH=10cm时；③如图3，在△AMN中，AM=MN=10cm时，分别利用勾股定理及三角形面积公式计算即可求出剪下的等腰三角形面积.
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习5.1矩形（1）
一、基础达标
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB//DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
3．如图所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（ ）
A．29° B．32° C．22° D．61°
4．如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的一个夹角∠AOB=60°，AC=12cm，则这个矩形的一条较短边为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
6．有一个角是 的平行四边形叫做矩形，矩形是轴对称图形，有 条对称轴，矩形也是 对称图形，其对称中心是 .
7．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠DOC=110°，则∠DAC= .
8．如图，在矩形ABCD中，已知AD=8cm，CD=6cm，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，则AC= cm，EF= cm.
9．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE=2∠BAE，则∠EAC= .
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形.
二、能力提升
11．如图所示，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE=1cm，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为 cm.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连结OE，OF.求证：OE=OF.
13．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15°，求AD的长度.
14．如图，在矩形ABCD中， 远BC上一点，连结 ，垂足为 ，连结DF
求证：
（1） ；
（2）DF是 的平分线.
三、拓展创新
15．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18cm.宽为16cm的矩形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AC=BD，OA=OC，
∴A、B、D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，对边平行且相等，对角线相等且平分，即可判断.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠EBD=∠DBC=29°，再根据矩形的性质即可求得结果。
【解答】由题意得∠EBD=∠DBC=29°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBD-∠DBC=32°，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的四个角都是直角，折叠前后的图形全等。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AC=12cm，
∴AO=BO=6cm，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=BO=6cm.
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质，结合AC=12cm，求得AO=BO=6cm，进而可证明△ABO是等边三角形，由等边三角形三边相等即可求得短边AB的长.
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴BO=DO=AO=CO，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵∠EOD=∠FOB，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴S△FBO=S△EDO，
∴阴影部分面积=S△BOC= S矩形ABCD= ×4×3=3.
故答案为：A.
【分析】先由矩形性质得BO=DO=AO=CO，AD∥BC，进而得∠EDO=∠FBO，再利用“ASA”判定定理证明△EDO≌△FBO，即得S△FBO=S△EDO，最后再由阴影部分面积=S△BOC= S矩形ABCD即可求解.
6．【答案】直角；2；中心；对角线的交点
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：矩形定义为有一个角是直角的平行四边形；
矩形有两条对称轴，分别为两条邻边的中垂线；
矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
故答案为：直角；2；中心；对角线的交点.
【分析】根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形为矩形；矩形分别为两条邻边的中垂线，有2条；平行四边形为中心对称图形，矩形是特殊的平行四边形，也为中心对称图形，对称中心为对角线的交点，据此填空即可.
7．【答案】55°
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴DO=AO，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠DOC=110°，
∴2∠DAO=110°，即∠DAO=55°，
∴∠DAC=55°.
故答案为：55°.
【分析】根据矩形性质得DO=AO，进而得∠ADO=∠DAO，再由三角形的外角定理求得∠DAO=55°，即可求出∠DAC的度数.
8．【答案】10；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CD=6cm，AD=8cm，
∴∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，
AC=BD= =10cm，OD=5cm，
又∵E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF= OD= cm.
故答案为：10； .
【分析】先根据矩形性质得∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，再利用勾股定理求得AC和BD的长，进而得OD的长，根据E，F分别是AO，AD的中点，得EF为△AOD的中位线，再利用三角形的中位线性质即可求出EF的长度.
9．【答案】30°
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠DAE=2∠BAE，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BD，即∠AEB=90°，
∴∠ABO=60°，
∴ ∠BAO=60°，
∴ ∠EAC=∠BAO-∠BAE=60°-30°=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据矩形性质得OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，结合∠DAE=2∠BAE，可求得∠BAE=30°，由AE⊥BD，即∠AEB=90°，求得∠ABO=60°，进而得∠BAO=60°，再由∠EAC=∠BAO-∠BAE，代入数据即可求得∠EAC度数.
10．【答案】证明：∵ 是BC边上的中线，
∴ ，
∴ .
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”性质，得AD⊥BC，即∠ADB=90°，再根据矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形为矩形即可求证结论.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接EC，BE交MN于点F，
∵矩形ABCD，E是AD的中点，且AE=1cm，
∴AB=CD，AD=BC=2AE=2cm，ED=1cm，
∵FC垂直平分BE，
∴EC=BC=2cm，∠BFC=∠EFC=90°，
∴在Rt△EFC中，CD= ，
∴AB=CD= cm.
故答案为： .
【分析】由矩形性质及E是AD的中点，且AE=1cm，可得AB=CD，AD=BC=2AE=2cm，ED=1cm，再由垂直平分线性质可得EC=BC=2cm，∠BFC=∠EFC=90°，再利用勾股定理求得CD，即可求得AB得长.
12．【答案】证明： ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
在 与 中，
∵
∴
∴
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先根据矩形性质得OD=OC，即得∠ODC=∠OCD，进而求得∠EDO=∠FCO，再结合DE=CF利用“SAS”可证明△ODE≌△OCF，再由全等性质即可证明结论成立.
13．【答案】解：如图，连结AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BE，AC=BD，
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】连结AC交BD于点O，由矩形的性质得AD∥BE，AC=BD，OA=OD，进而得∠ADB=∠CAD，∠E=∠DAE，再由BD=CE得CE=CA，可求得∠E=∠CAE，即得∠ADB=30°，根据直角三角形性质即可求出AD得长度.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB.
∵DE⊥AF
∴∠DEA=∠B=90°.
∵AF=BC，
∴AF=AD，
∴
（2）证明：由(1)知 .
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB，
∴DC=DE.
∵DF=DF，
∴Rt Rt ，
∴ ，
即DF是 的平分线.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形性质得∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，进而得∠DAE=∠AFB；由DE⊥AF，得∠DEA =∠B=90°，由AF=BC，得AF=FD，利用“AAS”即可证明三角形全等；
（2）由三角形全等性质得AB=DE，再由矩形性质得∠C=90°，DC=AB，进而求得DC=DE，可证明得Rt△DEF≌Rt△DCF，得∠EDF=∠CDF，即可证明DF是∠EDC的角平分线.
15．【答案】解：分三种情况.
①如图1，在△AEF中，AE=AF=10cm，
∴
②如图2，在△AGH中，AG=GH=10cm，
∴BG=AB-AG=16-10=6(cm).
根据勾股定理，得BH=8cm，
∴
③如图3，在 中， ，
∴ .
根据勾股定理，得DN=6cm，
∴
综上所述，剪下的等腰三角形的面积为50cm2或40cm2或30cm2.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】因为等腰三角形的位置不确定，可分为三种情况进行讨论：①如图1，在△AEF中，AE=AF =10cm时；②如图2，在△AGH中，AG=GH=10cm时；③如图3，在△AMN中，AM=MN=10cm时，分别利用勾股定理及三角形面积公式计算即可求出剪下的等腰三角形面积.
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