初中数学浙教版八下精彩练习5.1矩形（2）
一、基础达标
1．一个四边形要成为矩形，需要的条件是（ ）
A．两个内角相等 B．三个内角相等
C．四个内角相等 D．两个外角为直角
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形四个内角相等，
∴四个内角为直角，即四边形为矩形，
∴四个内角相等的四边形是矩形.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形为矩形，即可得出正确答案.
2．在 ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C，
若∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形.
故答案为：D.
【分析】先利用平行四边形性质结合∠A+∠C=180°，求得∠A=∠C=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断.
3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相互平分可以判定平行四边形，A选项不符合题意；
B、两组对边相等可以判定平行四边形，B选项不符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定为矩形，C选项不符合题意；
D、对角线相等且平分的四边形为矩形，可知对角线的交点到四个顶点距离是否相等，可判断四边形是否为矩形，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形为矩形；有三个角是直角的四边形为矩形；对角线相等且平分的四边形为矩形，据此判断即可.
4．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，A选项不符合题意；
B、∵BE⊥DC，
∴平行四边形BCED为菱形，B选项符合题意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，C选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件证明四边形BCED为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断A、C、D选项；对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可判断B选项，据此判断即可得出正确答案.
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若BC=2，则四边形BCDE的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2
∴AC= BC=2 ，
∵DE垂直平分AC，∠CDE=90°，
∴AD=DC= AC=，
∵BE⊥ED，
∴∠C=∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴四边形BCDE的面积=BC·DC=2×=2 .
故答案为：A.
【分析】先解直角三角形求得AC的长，再由垂直平分线的性质求得DC的长，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形BCDE为矩形，再由矩形的面积计算公式求出面积即可.
6．满足 或 的平行四边形是矩形；有三个角是 的四边形是矩形.
【答案】有一个角是直角；对角线相等；直角
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：有一个角时直角的平行四边形是矩形，
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三角是直角的四边形是矩形.
故答案为：有一个角是直角，对角线相等；直角.
【分析】根据矩形的判定定理：①间接法，“平行四边形+有一个角是直角或对角线相等”，②直接法，“有三个角是直角的四边形”，据此填空即可.
7．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，过点D分别作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于点E，F.如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备的条件是 .
【答案】∠BAC=90°
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形.
故答案为：∠BAC=90°.
【分析】由DE∥AB，DF∥AC，可证得四边形AEDF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可添加∠BAC=90°，即可得到四边形AEDF是矩形.
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形 EFGH是矩形.
【答案】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD.
又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴EO=FO=GO=HO，
∴四边形EFGH是平行四边形，EG=HF，
∴四边形EFGH是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形性质，得OA=OB=OC=OD，再由E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，得EO=FO=GO=HO，可证明四边形EFGH是平行四边形，再由EG=HF即可判定四边形EFGH是矩形.
9．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE= AB.
求证：四边形CFED是矩形.
【答案】证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴ ，且
又∵ ，
∴DE=CF，
∴四边形CFED是平行四边形.
又∵
∴
所以四边形CFED是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，可得DE 、DF、EF分别为△ACB的中位线，利用三角形中位线性质得DE=CF且DE∥CF，可证明四边形CFED是平行四边形；再根据CE= AB得CE=DF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明.
二、能力提升
10．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，要使四边形GHEF为矩形，则四边形ABCD 的对角线AC，BD 应满足的条件是 .
【答案】AC⊥BD
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，
∵顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，
∴EF、GH分别为△ADC、△ABC的中位线；FG、EH分别为△ADB、△DBC的中位线，
∴EF∥AC且EF= AC，GH∥AC且GH= AC，FG∥DB且FG= BD，EH∥BD且EH= BD，
∴EF∥GH，且EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD时，
∴∠EFG=∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形.
故答案为：AC⊥BD.
【分析】先根据中位线的性质求得EF∥GH，且EF=GH，可判定四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°，即可证明四边形EFGH为矩形.
11．如图，在 中，DE平分 ，交AB于点E，BF平分 ，交CD于点 .
（1）求证： .
（2）当AD与 BD满足什么关系时，四边形
DEBF是矩形 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在 与 中，
∴ .
（2）解：当AD=BD时， 四边形DEBF是矩形 ，理由如下：
∵△ADE≌△CBF
∴DE=BF，
∵∠ADB=∠CBD，∠DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∵∠EDB=∠DBF，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
若AD=BD时，
∴△ADE≌ △DEB（SAS），
∴∠AEB=∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形.
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先由平行四边形性质得AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，进而得∠ADB=∠CBD，再由角平分线定义，可得∠ADE=∠CBF，最后利用“ASA”定理即可证明三角形全等；
（2）当AD=BD时四边形DEBF是矩形. 由（1）中已证△ADE≌△CBF，得DE=BF，再由平行线的判定定理易证DE∥BF，进而证得四边形DEBF是平行四边形，再由DE平分∠ADB及AD=BD，利用“SAS”证得△ADE≌ △DEB，得∠AEB=∠DEB=90°，可证明四边形DEBF，即可解决问题.
12．如图，桌而上有两块全等的三角板ABC和DFE， ，
（1）若按如图1所示的位置放置(边EF与 BC重合)，求证：四边形ABDC是平行四边形.
（2）将三角板 ABC沿EF所在的直线向右平移1 cm(如图2)，此时四边形AEDC是矩形吗 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴四边形ABDC是平行四边形.
（2）解：四边形AEDC是矩形.理由：
∵AB=DF，∠ABE=∠DFC=90°，EB=CF，
∴
∴
又∵
∴四边形AEDC为平行四边形.
∵ ，
，
∴
∴ ，即四边形AEDC为矩形.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由题意易知△ABC≌△DFE，由全等性质得AB=DF，AC=DE，再根据“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”即可证明；
（2）利用“SAS”定理先证明△ABE≌△DFC，由全等性质及AC=DE可判定四边形AEDC为平行四边形；再利用直角三角形的性质分别求得DC，DE及EF的长，进而求得EF的长，再根据勾股定理逆定理可得∠EDC=90°，即可证明四边形AEDC是矩形.
13．如图，将矩形 ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH.
（1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）若EH=5，EF=12，则矩形ABCD的面积是 .
【答案】（1）解：由题意得， ，
∴
∴
∴
同理可得
四边形EFGH是矩形
（2）120
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）由（1）四边形EFGH为矩形，
∴EH=GF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，
同理，可得：∠BFE=∠FGC，
∴∠AEH=∠FGC，
∴Rt△HAE≌Rt△FCG，
∴FC=NF=MH=AH，
∴HD=MF，
∴AD=HF，
∵EH=5，EF=12，
∴HF= =13，
∴AD=BC=13，
∵S△HEF= HE·EF= EM·HF，
∴EM= = = ，
∴AE=EB= ，
∴AB= ，
∴S矩形ABCD=AB·BC= ×13=120.
故答案为：120.
【分析】（1）由翻折性质易得△AEH≌△MEH，△EBF≌△EMF，利用全等三角形性质及互补关系可得∠HEM+∠MEF，即∠HEF=90°，同理可得：∠EHG=90°，∠HGF=90°，即可证明四边形EFGH为矩形；
（2）先由（1）已证明四边形EFGH为矩形，得EH=GF，∠HEF=90°，进而得∠AEH=∠BFE，同理可得：∠BFE=∠FGC，可证明Rt△HAE≌Rt△FCG，利用全等三角形性质及折叠性质可得AD=HF，再由勾股定理求得HF的长度，进而求得BC的长，再由S△HEF的面积求得EM的长，利用折叠性质求得AB的长，最后根据矩形的面积计算公式求解即可.
三、拓展创新
14．如图，延长 ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BE.
（1）求证：BF=CF；
（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC= 2∠D，求 ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD.
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF=CF.
（2）解：由（1）知四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D.
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°
∴BC=AD=4，
∴ ，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先由平行四边形性质得AB∥CD，AB=CD，再利用CE=DC，进而得AB=EC，即可证明四边形ABEC是平行四边形，再由平行四边形性质即可得出结论；
（2）由（1）中已证得四边形ABEC是平行四边形，平行四边形ABCD及∠AFC=2∠D，通过角和边的代换，可推出FA=FE=FB=FC，即AE=BC，可证得四边形ABEC是矩形，再由矩形性质得∠BAC=90°，BC=AD=4，利用勾股定理求得AC得长，再根据面积计算公式即可求得平行四边形ABCD得面积.
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习5.1矩形（2）
一、基础达标
1．一个四边形要成为矩形，需要的条件是（ ）
A．两个内角相等 B．三个内角相等
C．四个内角相等 D．两个外角为直角
2．在 ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C． D．
3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
4．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若BC=2，则四边形BCDE的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
6．满足 或 的平行四边形是矩形；有三个角是 的四边形是矩形.
7．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，过点D分别作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于点E，F.如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备的条件是 .
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形 EFGH是矩形.
9．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE= AB.
求证：四边形CFED是矩形.
二、能力提升
10．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，要使四边形GHEF为矩形，则四边形ABCD 的对角线AC，BD 应满足的条件是 .
11．如图，在 中，DE平分 ，交AB于点E，BF平分 ，交CD于点 .
（1）求证： .
（2）当AD与 BD满足什么关系时，四边形
DEBF是矩形 请说明理由.
12．如图，桌而上有两块全等的三角板ABC和DFE， ，
（1）若按如图1所示的位置放置(边EF与 BC重合)，求证：四边形ABDC是平行四边形.
（2）将三角板 ABC沿EF所在的直线向右平移1 cm(如图2)，此时四边形AEDC是矩形吗 请说明理由.
13．如图，将矩形 ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH.
（1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）若EH=5，EF=12，则矩形ABCD的面积是 .
三、拓展创新
14．如图，延长 ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BE.
（1）求证：BF=CF；
（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC= 2∠D，求 ABCD的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形四个内角相等，
∴四个内角为直角，即四边形为矩形，
∴四个内角相等的四边形是矩形.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形为矩形，即可得出正确答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C，
若∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形.
故答案为：D.
【分析】先利用平行四边形性质结合∠A+∠C=180°，求得∠A=∠C=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断.
3．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相互平分可以判定平行四边形，A选项不符合题意；
B、两组对边相等可以判定平行四边形，B选项不符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定为矩形，C选项不符合题意；
D、对角线相等且平分的四边形为矩形，可知对角线的交点到四个顶点距离是否相等，可判断四边形是否为矩形，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形为矩形；有三个角是直角的四边形为矩形；对角线相等且平分的四边形为矩形，据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，A选项不符合题意；
B、∵BE⊥DC，
∴平行四边形BCED为菱形，B选项符合题意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，C选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件证明四边形BCED为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断A、C、D选项；对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可判断B选项，据此判断即可得出正确答案.
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2
∴AC= BC=2 ，
∵DE垂直平分AC，∠CDE=90°，
∴AD=DC= AC=，
∵BE⊥ED，
∴∠C=∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴四边形BCDE的面积=BC·DC=2×=2 .
故答案为：A.
【分析】先解直角三角形求得AC的长，再由垂直平分线的性质求得DC的长，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形BCDE为矩形，再由矩形的面积计算公式求出面积即可.
6．【答案】有一个角是直角；对角线相等；直角
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：有一个角时直角的平行四边形是矩形，
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三角是直角的四边形是矩形.
故答案为：有一个角是直角，对角线相等；直角.
【分析】根据矩形的判定定理：①间接法，“平行四边形+有一个角是直角或对角线相等”，②直接法，“有三个角是直角的四边形”，据此填空即可.
7．【答案】∠BAC=90°
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形.
故答案为：∠BAC=90°.
【分析】由DE∥AB，DF∥AC，可证得四边形AEDF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可添加∠BAC=90°，即可得到四边形AEDF是矩形.
8．【答案】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD.
又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴EO=FO=GO=HO，
∴四边形EFGH是平行四边形，EG=HF，
∴四边形EFGH是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形性质，得OA=OB=OC=OD，再由E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，得EO=FO=GO=HO，可证明四边形EFGH是平行四边形，再由EG=HF即可判定四边形EFGH是矩形.
9．【答案】证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴ ，且
又∵ ，
∴DE=CF，
∴四边形CFED是平行四边形.
又∵
∴
所以四边形CFED是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，可得DE 、DF、EF分别为△ACB的中位线，利用三角形中位线性质得DE=CF且DE∥CF，可证明四边形CFED是平行四边形；再根据CE= AB得CE=DF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明.
10．【答案】AC⊥BD
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，
∵顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，
∴EF、GH分别为△ADC、△ABC的中位线；FG、EH分别为△ADB、△DBC的中位线，
∴EF∥AC且EF= AC，GH∥AC且GH= AC，FG∥DB且FG= BD，EH∥BD且EH= BD，
∴EF∥GH，且EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD时，
∴∠EFG=∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形.
故答案为：AC⊥BD.
【分析】先根据中位线的性质求得EF∥GH，且EF=GH，可判定四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°，即可证明四边形EFGH为矩形.
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在 与 中，
∴ .
（2）解：当AD=BD时， 四边形DEBF是矩形 ，理由如下：
∵△ADE≌△CBF
∴DE=BF，
∵∠ADB=∠CBD，∠DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∵∠EDB=∠DBF，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
若AD=BD时，
∴△ADE≌ △DEB（SAS），
∴∠AEB=∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形.
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先由平行四边形性质得AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，进而得∠ADB=∠CBD，再由角平分线定义，可得∠ADE=∠CBF，最后利用“ASA”定理即可证明三角形全等；
（2）当AD=BD时四边形DEBF是矩形. 由（1）中已证△ADE≌△CBF，得DE=BF，再由平行线的判定定理易证DE∥BF，进而证得四边形DEBF是平行四边形，再由DE平分∠ADB及AD=BD，利用“SAS”证得△ADE≌ △DEB，得∠AEB=∠DEB=90°，可证明四边形DEBF，即可解决问题.
12．【答案】（1）证明：∵
∴
∴四边形ABDC是平行四边形.
（2）解：四边形AEDC是矩形.理由：
∵AB=DF，∠ABE=∠DFC=90°，EB=CF，
∴
∴
又∵
∴四边形AEDC为平行四边形.
∵ ，
，
∴
∴ ，即四边形AEDC为矩形.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由题意易知△ABC≌△DFE，由全等性质得AB=DF，AC=DE，再根据“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”即可证明；
（2）利用“SAS”定理先证明△ABE≌△DFC，由全等性质及AC=DE可判定四边形AEDC为平行四边形；再利用直角三角形的性质分别求得DC，DE及EF的长，进而求得EF的长，再根据勾股定理逆定理可得∠EDC=90°，即可证明四边形AEDC是矩形.
13．【答案】（1）解：由题意得， ，
∴
∴
∴
同理可得
四边形EFGH是矩形
（2）120
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）由（1）四边形EFGH为矩形，
∴EH=GF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，
同理，可得：∠BFE=∠FGC，
∴∠AEH=∠FGC，
∴Rt△HAE≌Rt△FCG，
∴FC=NF=MH=AH，
∴HD=MF，
∴AD=HF，
∵EH=5，EF=12，
∴HF= =13，
∴AD=BC=13，
∵S△HEF= HE·EF= EM·HF，
∴EM= = = ，
∴AE=EB= ，
∴AB= ，
∴S矩形ABCD=AB·BC= ×13=120.
故答案为：120.
【分析】（1）由翻折性质易得△AEH≌△MEH，△EBF≌△EMF，利用全等三角形性质及互补关系可得∠HEM+∠MEF，即∠HEF=90°，同理可得：∠EHG=90°，∠HGF=90°，即可证明四边形EFGH为矩形；
（2）先由（1）已证明四边形EFGH为矩形，得EH=GF，∠HEF=90°，进而得∠AEH=∠BFE，同理可得：∠BFE=∠FGC，可证明Rt△HAE≌Rt△FCG，利用全等三角形性质及折叠性质可得AD=HF，再由勾股定理求得HF的长度，进而求得BC的长，再由S△HEF的面积求得EM的长，利用折叠性质求得AB的长，最后根据矩形的面积计算公式求解即可.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD.
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF=CF.
（2）解：由（1）知四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D.
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°
∴BC=AD=4，
∴ ，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先由平行四边形性质得AB∥CD，AB=CD，再利用CE=DC，进而得AB=EC，即可证明四边形ABEC是平行四边形，再由平行四边形性质即可得出结论；
（2）由（1）中已证得四边形ABEC是平行四边形，平行四边形ABCD及∠AFC=2∠D，通过角和边的代换，可推出FA=FE=FB=FC，即AE=BC，可证得四边形ABEC是矩形，再由矩形性质得∠BAC=90°，BC=AD=4，利用勾股定理求得AC得长，再根据面积计算公式即可求得平行四边形ABCD得面积.
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