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3.3 垂径定理（2）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图，已知⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上一动点，连结OP，则线段OP的最小长度是 ．21世纪教育网版权所有
2、如题1图中，AB为⊙O的弦，P在AB上，已知AB=10，OP=5，PA=4，求⊙O的半径.
3、如图，把一个矩形纸片ABCD放在一个圆上（如图），如果AE=BF，求证：DH=CG..
4、 如图，在中，弦EF∥CD，直径AB分别交CD、EF于点M、N，且A是的中点. 求证：M是弦CD的中点. 21cnjy.com
5、如图，在一直径为8m的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB、CD，已知C是的中点，浮桥CD的长为m，设AB、CD交于点P.试求∠APC的度数.
6、如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横 ( http: / / www.21cnjy.com )放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm. 你能算出油的深度吗（指油的最深处，即油面到水平地面的距离）？2·1·c·n·j·y
第二部分
1.如图1，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图2，AB是⊙O的直径，CD为弦，，若CD=4，则CM= .
3.如图3，AB是⊙O的弦，AC=BC=，，则⊙O的半径长为 .
4. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC的长为 【来源：21·世纪·教育·网】
A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
5. “两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为10米，净高为7米，则此隧道单心圆的半径是（ ）
A. 5 B. C. D. 7
6. 如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 (写出一个即可)，就可得到D是 的中点．21教育网
7. 如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是的中点，OE 交弦AC于点D．若AC = 8cm，DE = 2cm，则OD的长为 .
8.如图，在半径为5的⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为M，若OM=4，则CD= ．21·世纪*教育网
9. 如图，⊙O的直径AB平分弦CD，CD =10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半径．
10. 如图，⊙O中，弦AB∥CD. 求证：.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )【解】连结OC，作OF⊥CD于F.
∵C是的中点，∴OC⊥AB，即∠CEP=90°.∵OF⊥CD，∴CF=CD=m.
又OC=4m，∴OF==2m=OC. ∴∠C=30°，即∠APC=90°-∠C=60°.
6、如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放 ( http: / / www.21cnjy.com )在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm. 你能算出油的深度吗（指油的最深处，即油面到水平地面的距离）？www-2-1-cnjy-com
【解】根据题意应有两种情况：
(1) 如图1，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5-3=2dm；
(2) 如图2，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5+3=8dm.
图1 图2www.21-cn-jy.com
第二部分
1.如图1，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
2. 如图2，AB是⊙O的直径，CD为弦，，若CD=4，则CM= .
答案：2
3.如图3，AB是⊙O的弦，AC=BC=，，则⊙O的半径长为 .
答案：cm
4. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC的长为 2-1-c-n-j-y
A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
答案：D
5. “两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为10米，净高为7米，则此隧道单心圆的半径是（ ）
A. 5 B. C. D. 7
答案：B
6. 如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 (写出一个即可)，就可得到D是 的中点．21·cn·jy·com
答案：CD⊥AB或AM=BM
7. 如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是的中点，OE 交弦AC于点D．若AC = 8cm，DE = 2cm，则OD的长为 .
答案：3cm
8.如图，在半径为5的⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为M，若OM=4，则CD= ．
答案：6
9. 如图，⊙O的直径AB平分弦CD，CD =10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半径．
解：连结OC. 设⊙O的半径为R.
∵AP：PB=1∶5，AP+PB=2R，∴OP=R.
∵直径AB平分弦CD，∴CP=CD=5cm，OP⊥CD.
∴OC2=OP2+CP2，即R2=+52，解得R=cm.
10. 如图，⊙O中，弦AB∥CD. 求证：.
证明：作直径EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB.
∴，.
∵，∴.
O
B
P
A
Ａ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｄ
图1 图2 图3
第8题
第6题
第5题
第7题
Ａ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｄ
图1 图2 图3
第8题
第6题
第5题
第7题
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新浙教版数学九年级（上）
3.3 垂径定理（2）
在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.
●O
●M
你能说说这样找的理由？
巧手来做一做
②CD⊥AB,
垂径定理的推论
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
（2）你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
（1）右图是轴对称图形吗 如果是,
其对称轴是什么
小明发现:
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这弦,并且平 分弦所对的两条弧.
●O
C
D
●
M
A
B
┗
弦
（不是直径）
并且平分弦所对的两条弧
平分
的直径
垂直于弦，
!
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
③AM=BM,
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
你可以写出相应的命题吗
相信自己是最棒的!
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理及逆定理
●O
A
B
C
D
M└
条件 结论 定理及逆定理
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
老师提示:
注意闪烁的三角形的特点.
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？
赵州石拱桥
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 .
●O
C
D
A
B
M└
C
A、AC=AD B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM
⌒
⌒
⌒
⌒
8
13
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
4.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，∠OAB的余弦值= 。
O
A
B
P
0.6
24mm
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
√
√
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
挑战自我
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （ ）
（7）平分弦的直线，必定过圆心 （ ）
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦 （ ）
A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
A
B
C
O
(4)
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
D
O
(6)
E
2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
挑战自我试一试
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
