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3.4 圆心角（1）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图，请用直尺和圆规在中作出，使的度数为45°.
2、 如图，请用直尺和圆规在中作出一个圆内接正方形.
3、如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB. 求证：.
.
4、如图，在⊙O中，弦AB=CD. 求证：AC=BD.
5、如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，求的度数.www.21-cn-jy.com
6、 如图，是以O为圆心的一条弧，OA⊥OB，C是OB的中点，CD∥OA，交于D. 求的度数.2·1·c·n·j·y
第二部分
1. 下列命题中，不正确的是……………………………………………………………（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．圆是中心对称图形 D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
2. 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，∠BAC＝20°，则∠BOC等于……………（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
答案：C
3. 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB的长为，则圆心角∠AOB=……………（ ）
A. 60° B. 90° C.120° D.150°
4. 如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，若∠AOD=140°，则的度数为………（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D.50°
5. 如图，AB与CD是⊙O的两条直径，请写出图中一对相等的弧 .
6. 若把圆10等分，则每份弧所对的圆心角的度数为 .
7. 若⊙O的弦AB的长为8cm，O到AB的距离为4cm，则弦AB所对的圆心角为 .
8. 圆的一条弦把圆分成 5∶1 两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是 .
9. 已知等腰△ABC内接于⊙O，且顶角∠A=70°，求的度数.
10.如图，O为等腰△ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC, BC于点E，求证：.21世纪教育网版权所有
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )5、如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，求的度数.21教育网
【分析】要证明弧之间的数量关系，可以转化为求它们所对的加以角的角度之间的关系.
【解】连结BD. 在Rt△ABC中，∠AOB=90°，∠C=31°，∴∠A=90°-∠C=59°.
又BA=BD，∴∠BDA=∠A=59°，∴∠ABD=180°-∠BDA-∠A=62°，
∴∠DBC=90°-∠ABD=28°，即∠COD=28°.
6、 如图，是以O为圆心的一条弧，OA⊥OB，C是OB的中点，CD∥OA，交于D. 求的度数.21cnjy.com
【解】连结OD. ∵OA⊥OB，CD∥OA，∴CD⊥OB.
又∵OC=OB=OD，∴∠DOA=30°，30°.
第二部分
1. 下列命题中，不正确的是……………………………………………………………（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．圆是中心对称图形 D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
答案：D
2. 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，∠BAC＝20°，则∠BOC等于……………（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
答案：C
3. 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB的长为，则圆心角∠AOB=……………（ ）
A. 60° B. 90° C.120° D.150°
答案：B
4. 如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，若∠AOD=140°，则的度数为………（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D.50°
答案：C
5. 如图，AB与CD是⊙O的两条直径，请写出图中一对相等的弧 .
答案：或
6. 若把圆10等分，则每份弧所对的圆心角的度数为 .
答案：36°
7. 若⊙O的弦AB的长为8cm，O到AB的距离为4cm，则弦AB所对的圆心角为 .
答案：90°
8. 圆的一条弦把圆分成 5∶1 两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是 .
答案：2cm
9. 已知等腰△ABC内接于⊙O，且顶角∠A=70°，求的度数.
解：连结OA，OB，OC.
∵OA=OB=OC，AB=AC，∴△OAB≌△OAC.
∴∠OAB=∠OAC=35°，∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=35°.
∴∠AOB=∠AOC=110°，∠BOC=140°.
∴110°，140°.
10.如图，O为等腰△ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC, BC于点E，求证：.21·cn·jy·com
证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B.
∵OA=OD=OE=OB，∴∠ODE=∠A=∠B=∠OEB.
∴∠AOD=∠BOE，∴.
第3题图
第4题
第5题
第2题
第3题图
第4题
第5题
第2题
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新浙教版数学九年级（上）
3.4 圆心角（1）
茶杯的盖子做成圆
形有什么好处呢？
☆复习引入
绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”。圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
·
探索发现：
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 ，
O
这个角的大小与什么量有关？
你能获得怎样的图形？
圆心角 所对的弧为 AB，
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,
O
A
B
M
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 ,
所对的弦为AB；
图1
则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
请你找出图中的圆心角：
∠AOB
A
B
C
D
o
如果：∠AOB=∠COD
如图，在⊙O中，圆心角∠AOB和圆心角∠COD相等。能否根据圆的旋转不变性来探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间都有什么关系？
O
A
B
C
D
在⊙O中，
若圆心角∠AOB=∠COD，则
AB=CD，
AB=CD。
圆心角定理
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【注意】：
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成立。
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相等即可。
圆心角定理
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
OE﹦OF
☆定理应用
证明：
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形
又∠ACB=60°，
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
1 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
60°
⌒ ⌒
∵
2、如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
解：
∵
在同圆中，把圆周角等分成360份，则每一份的圆心角的度数是 。因为相等的圆心角所对的弧 ，所以每一份的圆心角所对的弧也 。
1
相等
相等
【概括】
60°的弧
60°
我们把1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧.
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
弧的度数的定义
如图：已知在⊙O中，∠AOB=45°, ∠OBC=35°
则AB的度数为 .
BC的度数为 .
⌒
⌒
45
35
2、如图:⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点E，
∠COD＝1000，求BC,AD的度数
B
解:∵OC=OD,OE⊥CD
∴∠1= ∠2
A
C
D
O
E
1
2
∵∠COD=1000
∴∠1=∠2=500
∴BC=500 BD=500
⌒
⌒
⌒
∴AD=ADB-BD
=1800-500
=1300
⌒
⌒
下列命题中正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧的度数相等
D.度数相等的两条弧相等
C
AB
O
A
B
M
圆心角∠AOB
图1
弦AB的弦心距OM。
弦AB
圆心角，对应着那些线
O
A
B
C
D
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
AB=BC=CD=DA.
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ AB=BC=CD=DA
⌒
⌒
⌒
⌒
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
知识延伸
如图：点C为圆心，∠ACB=90°, ∠B=25°
求AD的度数
⌒
25
65
已知：AB=AC, ∠BAC=50°
求AB,BC,CA的度数
⌒
⌒
⌒
已知：AB为⊙O直径，AC∥OD
求证：CD=BD
⌒
⌒
