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3.4 圆心角（2）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图，△ABC是等边三角形. 以BC为直径画⊙O，交AB，AC于点D，E. 求证：BD=CE.
【分析】BD，CE是⊙O的两条弦，根据圆心角定理的逆定理，可以考虑证明两弦的心距相等，或两弦所对的弧相等，或所对的圆心角相等.21教育网
【证明】证明1：作OF⊥AB于F，OG⊥AC于G，
则∠BFO=∠CGO=90°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°.
又∵OB=OC，∴△BOF≌△COG，∴OF=OG，∴BD=CE.
证明2：连结OD，OE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°. 又OB=OD，∴△BOD是等边三角形.
∴∠BOD=60°. 同理∠COE=60°. ∴∠BOD=∠COE，∴BD=CE.
2、如图，已知△ABC内接于⊙O，点A、B、C把⊙O三等分.
(1) 求证：△ABC是等边三角形；(2) 求∠AOB的度数.
【分析】△ABC的三边恰好是⊙O的三条弦 ( http: / / www.21cnjy.com )，要证明它们彼此相等，只要证明它们所对的弧相等，这由已知可得. ∠AOB是一个圆心角，它的度数和它所对的弧有关，所以只要求出弧的度数即可.21·cn·jy·com
【证明】(1) ∵，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形.
(2) ∵，且°，∴°，即∠AOB=120°.
3、如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B， A，PC交⊙O于点D，C两点，∠1=∠2. 求证： PB=PD. 2·1·c·n·j·y
【分析】由题设O为∠APC的角平分线上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，联想到O到PA，PC的距离相等，即作OG⊥PA于G，OH⊥PC于H，则OG=OH，而OG，OH恰为弦AB和CD的弦心距，故AB=CD，BG=DH，而易证△POG≌△POH，得PG=PH，于是可得PB=PD. 【来源：21·世纪·教育·网】
【证明】作OG⊥PA于G，OH⊥PC于H，则BG=AB，DH=CD.
∵∠1=∠2，∴OG=OH，∴AB=CD，即BG=DH.
∵∠PGO=∠PHO=90°，PO=PO，∴△POG≌△POH，∴PG=PH，∴PB=PD.
4、如图，P为⊙O外一点，∠APC的两边分别交⊙O于A，B和C，D. 如果PA=PC，求证：AB=CD.www-2-1-cnjy-com
【证明】连结OP，OA，OC，作OE⊥PA于E，PF⊥PC于F.
∵PA=PC，OA=OC，PO=PO，∴△POA≌△POC.
∴∠APO=∠CPO，∴OE=OF，∴AB=CD.
第二部分
1. 下列命题中，真命题是………………………………………………………………（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等
C．度数相等弧是等弧 D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
答案：D
2. 已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，若OE=3，则OF= .21cnjy.com
答案：3
3. 有一个齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等. 则相邻两齿间的圆心角= 度.
答案：18
4. 如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A. B. C. D. EF＝GH
答案：C
5. 如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD.若∠AOB=∠COD，那么AB= ，OE= ，= .www.21-cn-jy.com
答案：CD OF
6. 如图，⊙O中，弦AB⊥弦AC，D，E分别是AB，AC的中点，若AB=AC，则四边形OEDA是 形.21·世纪*教育网
答案：正方
7．(02广西)如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么 (只需写出一个正确的结论)．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：AB=CD或等
8. ⊙O中，半径OC⊥直径AB，连接AC，BC，则ΔABC是 三角形.
答案：等腰直角
9. 如图，⊙O中，点C是的中点，当∠AOB等于多少度时，四边形OACB是菱形 说明理由.
解：当∠AOB=120°时，四边形OACB是菱形.
∵C是的中点，∠AOB=120°，∴∠AOB=∠BOC=60°.
∵OA=OC=OB，∴△AOC与△BOC都是等边三角形.
∴OA=OB=AC=BC，即四边形OACB是菱形.
10. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，点M是的中点，求证：MB=MD.
证明：∵AB=CD，∴.
又∵，∴，∴BM=MD.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )∵∠PGO=∠PHO=90°，PO=PO，∴△POG≌△POH，∴PG=PH，∴PB=PD.
4、如图，P为⊙O外一点，∠APC的两边分别交⊙O于A，B和C，D. 如果PA=PC，求证：AB=CD.21世纪教育网版权所有
【证明】连结OP，OA，OC，作OE⊥PA于E，PF⊥PC于F.
∵PA=PC，OA=OC，PO=PO，∴△POA≌△POC.
∴∠APO=∠CPO，∴OE=OF，∴AB=CD.
第二部分
1. 下列命题中，真命题是………………………………………………………………（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等
C．度数相等弧是等弧 D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
答案：D
2. 已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，若OE=3，则OF= . 21*cnjy*com
答案：3
3. 有一个齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等. 则相邻两齿间的圆心角= 度.
答案：18
4. 如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A. B. C. D. EF＝GH
答案：C
5. 如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD.若∠AOB=∠COD，那么AB= ，OE= ，= .【版权所有：21教育】
答案：CD OF
6. 如图，⊙O中，弦AB⊥弦AC，D，E分别是AB，AC的中点，若AB=AC，则四边形OEDA是 形.21教育名师原创作品
答案：正方
7．(02广西)如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么 (只需写出一个正确的结论)．21*cnjy*com
答案：AB=CD或等
8. ⊙O中，半径OC⊥直径AB，连接AC，BC，则ΔABC是 三角形.
答案：等腰直角
9. 如图，⊙O中，点C是的中点，当∠AOB等于多少度时，四边形OACB是菱形 说明理由.
解：当∠AOB=120°时，四边形OACB是菱形.
∵C是的中点，∠AOB=120°，∴∠AOB=∠BOC=60°.
∵OA=OC=OB，∴△AOC与△BOC都是等边三角形.
∴OA=OB=AC=BC，即四边形OACB是菱形.
10. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，点M是的中点，求证：MB=MD.
证明：∵AB=CD，∴.
又∵，∴，∴BM=MD.
第7题
第7题
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新浙教版数学九年级（上）
3.4 圆心角（2）
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
请说出定理的逆命题
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。
抢答题
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这
节课所学的定理及推论填空：
A
B
C
F
D
E
O
（2）如果OE=OF，那么 ， ， ；
⌒
⌒
（3）如果AB=CD，那么 ， ， ；
（4）如果AB=CD，那么 ， ， 。
(1)如果∠AOB=∠COD，那么 ， ， ;
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
O
A
B
下面的说法正确吗 为什么
如图,因为
，
根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
⌒
⌒
一般地，圆有下面的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
B
E
D
A
F
C
O
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
⑴∠AOB=∠COD
⑵AB=CD
⑶OE=OF
⑷AB=CD
3、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
Ｄ
Ｐ
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？
当r = 时求圆的半径
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200
∴∠BOD=1800-∠AOB=600
同理：∠COD=600
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r
∴BP=
∴BC=2BP=
答：等边三角形ABC的边长为
1、 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
证明: 作 , 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON
AB=CD
.
M
N
要证AB=CD ，只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
变式练习：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
(2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
（3）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（4）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
A
O
D
C
B
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
1、三个元素：
圆心角、弦、弧
2、三个相等关系：
O
α
A
B
A1
B1
α
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等
(3) 弦相等
知一得二
证明： ∵AB=AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
1、如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
⌒
⌒
⌒
⌒
O
B
C
A
在同圆中，相等的弧所对的弦相等
( )
( )
在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等
2（漳州中考）下列命题是真命题的是（ ）
（A）相等的圆心角所对的弧相等
（B）长度相等的两条弧是等弧
（C）等弦所对的圆心角相等
（D）等弧所对的弦相等
D
3、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
O
A
B
E
D
C
证明： ∵ BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
4.如图,已知⊙O中,弦AB=CD
求证：AD=BC
证明：∵AB=CD
=
︵
AB
︵
CD
∴
︵
AD
＝
即：
︵
BC
∴
︵
AB
︵
BD
－
＝
︵
CD
︵
BD
－
∴AD=BC
( )
在同圆中，相等的弦所对的弧相等
( )
在同圆中，相等的弧所对的弦相等
变式训练：若AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
这节课我们主要学习了哪些内容
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
