(共33张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
3.5 圆周角（1）
顶点在圆心的角叫圆心角．
·
O
B
A
回顾旧知
A
B
C
A
B
C
A
B
C
如果角的顶点不在圆心上，是什么角？
概念归纳
圆周角定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
圆周角
·
E
D
B
A
C
O
抢答
圆中有多少个圆周角？
顶点A：
∠BAC、 ∠BAE、 ∠CAE
顶点B：
∠ABD、 ∠ABE、 ∠DBE
顶点C：
∠ACD
顶点D：
顶点E：
∠BDC
∠AEB
比一比：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
请画出BC所对的圆心角以及圆周角
画一画
O
C
B
BC所对的圆心角有几个？
BC所对的圆周角有几个？
思考：
●O
A
B
C
D
E
●O
B
C
以不变应万变
（弧不变）
如图：找出图中的所有圆周角.
A
B
C
D
图中的圆周角有:
∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
A
B
C
O
思考： ∠A与同弧所对的圆心角 ∠ BOC 的度数有何关系？
猜想：∠A＝ ∠BOC
即：∠BOC＝2∠A
命题：一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
∵∠AOB是△BCO的外角，
∴∠AOB=∠B+∠C.
∵OC=OB，
∴∠B=∠C.
∴∠AOB=2∠C
即∠C = ∠AOB.
A
B
C
O
过点C作直径CD.由1可得:
圆周角和圆心角的关系
A
B
C
能否转化为第1种情况
A
B
C
O
D
O
∠ACD = ∠AOD,∠BCD = ∠BOD
即∠ACB = ∠AOB.
∴ ∠ACD +∠BCD = (∠AOD+∠BOD)
圆周角和圆心角的关系
A
B
O
C
能否也转化为第1种情况
A
B
C
O
D
过点C作直径BD.由1可得:
∠ACD = ∠AOD,∠BCD = ∠BOD,
∴ ∠BCD - ∠ACD = (∠BOD- ∠AOD)
即∠ACB= ∠AOB
●O
B
A
C
●O
B
A
C
●O
B
A
C
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
∵∠BAC和∠BOC都对BC
∴∠BAC= ∠BOC
⌒
想一想；
弧BC所对的圆心角∠BOC与它所对圆周角∠A在位置上可能有几种关系？
根据一个圆的圆心O与圆周角∠BOC位置可归为哪几类图形？
A
B
C
O
A
B
C
C
O
O
A
B
温馨提示：归类
.
.
.
D
D
角边上 角内 角外
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
1、100 的弧所对的圆心角等于_____，所对的圆周角等于_____。
2如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
3、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
4、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）80 的弧所对的圆周角是40
A
O
C
B
B
A
O
C
100
50
64
100
D
B
A
O
.
70°
x
5.求圆中角X的度数
A
O
.
X
120°
D
B
∠C =∠D=∠E
问题1、如图1,在⊙O中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
图1
●O
C
A
B
D
E
同弧所对的圆周角相等！
问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
图2
∠BAC=90
问题3：如图3，圆周角∠BAC=90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图3
半圆或直径所对的圆周角是直角,
90°的圆周角的所对的弦是直径。
推论：
A
B
O
C
⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
·
A
B
C
D
O
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD．
10
6
）
）
8
A
B
C
D
∴ ∠ ADC=∠BAD
∴AB∥CD．
自我挑战
1． 已知：AC = BD，
⌒
⌒
求证：AB∥CD．
证明：连接AD．
∵AC = BD，
⌒
⌒
2． 已知：⊙O中弦AB的等于半径，
求：弦AB所对的圆心角和圆周角的度数．
O
A
B
答：圆心角为60度．
圆周角为 30 度，
或 150 度．
C
D
3． AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
答：BD=CD
证明：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
5． 在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_______．
4． 在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______．
20°
25°
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是_____ ;
(2)OC与BD的位置关系是_____ ;
(3)若OC = 2cm,则BD = __ cm。
OC垂直平分AD
平 行
4
C
D
O1
A
B
O
思考题：如图，在⊙O中，DE=2BC， ∠ EOD=64°，求∠ A的度数。
︵
︵
A
B
C
D
E
O
小结:
本节课你学到了什么
1、圆周角的概念
2、圆周角的定理。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的两个推论：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。
4、圆内接四边形对角互补。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.5 圆周角（1）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，弦DE⊥AB于C，弦EF交线段CB于G，求证：BD平分∠FDG.21·世纪*教育网
2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，
求证：∠BAE=∠DAC.
3、3333333333333333353333333333...33333333338111333333333333333333993、3、3333333 (02湖州市)如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，求⊙O的直径.
4、已知：如图，∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC是等边三角形.
5、如图，在△ABC中，AD，BE，CF是三条高，交点为H，延长AH交外接圆于点M，求证：DH =DM.21世纪教育网版权所有
第二部分
1. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论一定成立的是……（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，四边形内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有………………………………………………………………………………（ ）
A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
3. 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题的个数为………………………（ ）21cnjy.com
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF= ．
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠C=∠D=∠E，则∠A+∠B= 度.21·cn·jy·com
6. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是135° ，那么圆的直径是 .
7.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD 度．
8. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .
9. 如图， A，B，C，D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．www.21-cn-jy.com
10. 如图，已知：BC为半圆O的直径，，AC与BF交于点M.
(1) 若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）
(2) 过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM.
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )5、如图，在△ABC中，AD，BE，CF是三条高，交点为H，延长AH交外接圆于点M，求证：DH =DM.【来源：21·世纪·教育·网】
【证明】连结BM.
∵AD，BE是高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∠HBD+∠BCE=90°，
∴∠BHD=∠BCE. 又∵∠BCE=∠BMD，∴∠BHD=∠BMD.
又∠BDH=∠BDM=90°，BD=BD，∴△BDH≌△BDM，∴DH=DM.
第二部分
1. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论一定成立的是……（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
2.如图，四边形内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有………………………………………………………………………………（ ）
A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
答案：B
3. 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题的个数为………………………（ ）21教育网
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
答案：B
4.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF= ．
答案：40°
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠C=∠D=∠E，则∠A+∠B= 度.
答案：135
6. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是135° ，那么圆的直径是 .
答案：cm
7.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD 度．
答案：60
8. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .
答案：30°或150°
9. 如图， A，B，C，D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．2·1·c·n·j·y
解：∵∠ABC=∠CAD，∴，AC=CD.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°. 又AD=6cm，∴AC=CD=cm.
10. 如图，已知：BC为半圆O的直径，，AC与BF交于点M.
(1) 若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）
(2) 过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM.
解：(1) 连结CF. ∵ ，∴∠ACB=∠BCF.
∵BC是直径，∴∠BFC=90°，∴∠BCF=90°-∠FBC=90°-α.
∴∠ACB=(90°-α).
(2) ∵BC是直径，∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC，∴∠BAD=∠ACB.
∵，∴∠ACB=∠ABF，∴∠ABF=∠BAD，∴∠EAM=∠EMA.
∴BE=AE=EM.
A
D
B
O
C
A
D
B
O
C
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网
