(共26张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
3.5 圆周角（2）
1、圆周角的定义：
2、圆周角定理：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。
旧知回放:
A
B
C
O
A
B
C
O
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
图1
问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
图2
问题3、如图3，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
∠B = ∠D= ∠E
∠BAC =90
●O
B
A
C
D
E
●O
B
C
A
图3
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
●O
B
C
B
A
C
D
E
D
E
A
如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系 为什么
⌒
图2
由此你能得出什么结论
●O
B
C
D
E
A
图1
如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系 为什么
⌒
⌒
如图,圆中∠C=∠G,那么 和 的大小有什么关系 为什么
EF
⌒
⌒
AB
由此你又能得出什么结论
用于找相等的弧
圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等的角
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
C
O
A
图(1)
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图(2)
由此你能得出什么结论
F
E
用于判断某条弦是否是直径
用于构造角
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于找相等的角
用于找相等的弧
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
一起来比一比
1.判断题：
（1）等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的圆周角所对的弧也相等.（ ）
（3）90°的角所对的弦是直径. （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
X
X
X
O
A
B
C
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120 的弧所对的圆周角是60
一起来比一比
A
O
C
B
B
A
O
C
100
50
36 或144
64
100
D
6、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒
BD=DE
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC， 即∠BAD=∠CAD，
⌒ ⌒
∴ BD= DE
（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）.
A
B
C
D
E
Ｏ.
1． 点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
由同弧来找相等的圆周角．
练习：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等）
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
证明：∵∠ABC和∠APC
都是 所对的圆周角。
AC
⌒
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 所对的圆周角，
BC
⌒
3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
圆周角定理的推论：
推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:
A
B
E
O
D
C
EC=2EA.
⌒ ⌒
2.已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
AC
A
B
D
G
F
C
E
O
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论
引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
2、本节课我们学习了哪些方法？登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.5 圆周角（2）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，弦DE⊥AB于C，弦EF交线段CB于G，求证：BD平分∠FDG.21·cn·jy·com
2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，
求证：∠BAE=∠DAC.
3、3、 (02湖州市)如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，求⊙O的直径.
4、已知：如图，∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC是等边三角形.
5、如图，在△ABC中，AD，BE，CF是三条高，交点为H，延长AH交外接圆于点M，求证：DH =DM.2·1·c·n·j·y
第二部分
1. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论一定成立的是……（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，四边形内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有………………………………………………………………………………（ ）
A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
3. 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题的个数为………………………（ ）www.21-cn-jy.com
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF= ．
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠C=∠D=∠E，则∠A+∠B= 度.【来源：21·世纪·教育·网】
6. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是135° ，那么圆的直径是 .
7.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD 度．
8. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .
9. 如图， A，B，C，D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．21·世纪*教育网
10. 如图，已知：BC为半圆O的直径，，AC与BF交于点M.
(1) 若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）
(2) 过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )
4、已知：如图，∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC是等边三角形.
【证明】∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形.
【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上一点，且C是的中点，BF交CG于点E. 求证：CE=BE.21cnjy.com
【分析】线段CE和BE有公共端点E，连结BC，只要证明∠BCE=∠CBE，要证这两个圆周角相等，可转化为证它们所对的弧.www-2-1-cnjy-com
【证明】连结BC. ∵直径AB⊥CG，∴.
又 C是的中点，∴，∴.
∴∠BCG=∠CBF，∴CE=BE.
5、如图，在△ABC中，AD，BE，CF是三条高，交点为H，延长AH交外接圆于点M，求证：DH =DM.2-1-c-n-j-y
【证明】连结BM.
∵AD，BE是高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∠HBD+∠BCE=90°，
∴∠BHD=∠BCE. 又∵∠BCE=∠BMD，∴∠BHD=∠BMD.
又∠BDH=∠BDM=90°，BD=BD，∴△BDH≌△BDM，∴DH=DM.
第二部分
1. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论一定成立的是……（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
2.如图，四边形内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有………………………………………………………………………………（ ）
A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
答案：B
3. 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题的个数为………………………（ ）21世纪教育网版权所有
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
答案：B
4.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF= ．
答案：40°
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠C=∠D=∠E，则∠A+∠B= 度.
答案：135
6. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是135° ，那么圆的直径是 .
答案：cm
7.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD 度．
答案：60
8. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .
答案：30°或150°
9. 如图， A，B，C，D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．21教育网
解：∵∠ABC=∠CAD，∴，AC=CD.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°. 又AD=6cm，∴AC=CD=cm.
10. 如图，已知：BC为半圆O的直径，，AC与BF交于点M.
(1) 若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）
(2) 过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM.
解：(1) 连结CF. ∵ ，∴∠ACB=∠BCF.
∵BC是直径，∴∠BFC=90°，∴∠BCF=90°-∠FBC=90°-α.
∴∠ACB=(90°-α).
(2) ∵BC是直径，∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC，∴∠BAD=∠ACB.
∵，∴∠ACB=∠ABF，∴∠ABF=∠BAD，∴∠EAM=∠EMA.
∴BE=AE=EM.
A
D
B
O
C
A
D
B
O
C
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 7 页） 版权所有@21世纪教育网
