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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第1章有理数（解析版）
1.3 绝对值
【知识重点】
一、绝对值：
(1)定义：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
(2)表示：一个数a的绝对值用“”表示，如数a的绝对值表示为.
(3)几何意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.即：当a是正数时，=a；当是负数时，=a；当a=0时，=0.
二、绝对值的性质：
(1)除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等；
(2)对任何有理数a，都有≥0；
(3)若=0，则a=0，反之亦然；
(4)若=b，则a=±b；
(5)对任何有理数a，都有=.
【经典例题】
【例1】的绝对值是（ ）
A． B． C．2022 D．
【答案】C
【解析】的绝对值是2022.
故答案为：C.
【例2】下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】、、、，
绝对值最大的数是．
故答案为：B．
【例3】若的绝对值为6，则 .
【答案】
【解析】∵的绝对值为6，
∴.
故答案为：±6.
【例4】有理数，，在数轴上的位置如图所示，式子化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察数轴可得：，，
，，
，
故答案为：C.
【例5】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）用“”或“”填空： 0， 0， 0.
（2）化简：.
【答案】（1）＜；＜；＞
（2）解：由（1）可知，
原式
【解析】（1）由题意，得：，，，
，，；
故答案为：；；；
【基础训练】
1．下列四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．-3 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】四个数中绝对值最小的数是0．
故答案为：B．
2．的倒数是（ ）
A． B． C．-2022 D．2022
【答案】D
【解析】∵，
∴的倒数是2022，
故答案为：D．
3．对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A.，当时，，故此选项不符合题意；
B.在中，无论a取何值，为非正数，非正数加一个负数仍为负数，故此选项符合题意；
C.在中，当时，，故此选项不符合题意；
D.在中，当时，，不是负数，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
4．若一个数的绝对值是，则这个数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】∵正数和负数的绝对值都为正数，
∴绝对值是的数是或．
故答案为：C．
5．已知，则x+y= ．
【答案】-4
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：-4．
6．化简：﹣|﹣3|＝ ．
【答案】﹣3
【解析】 ﹣|﹣3| =-[-（-3）]=-3.
故答案为：-3.
7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a+b+m﹣2022cd的值．
【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
∴当m＝2时，
a+b+m﹣2022cd
＝0+2﹣2022×1
＝2﹣2022
＝﹣2020；
当m＝﹣2时，
a+b+m﹣2022cd
＝0﹣2﹣2022×1
＝﹣2﹣2022
＝﹣2024．
8．已知．
（1）当异号时，求的值；
（2）当同号时，求的值．
【答案】（1）解：∵ ．
∴ ，
∵ 异号，
∴ 或 ，
∴ ，
或 ，
∴
（2）解：∵ ．
∴ ，
∵ 同号，
∴ 或 ，
∴ ，
或 ，
∴ ．
【培优训练】
9．下列各组数中，互为相反数的是
A．和 B．和
C．和 D．和3
【答案】A
【解析】|-|=，故|-|与-互为相反数.
故答案为：A.
10．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、由数轴可知：-2＜a＜-1＜3＜b＜4，
故A不符合题意；
B、∵＞0，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＜b，|a|＜|b|
∴a＞-b，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
11．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由数轴可知：，
=
=
=
故答案为：D.
12．已知，都是有理数，如果，那么对于下列两种说法：可能是负数；一定不是负数，其中判断正确的是( )
A．都错 B．都对 C．错对 D．对错
【答案】B
【解析】∵|a+b|＝b-a，
（1）当a+b＝b-a时，2a＝0，
∴a＝0，
把a＝0代入|a+b|＝b-a，
∴|b|＝b，即b≥0，
∴②b一定不是负数，正确；
（2）当-a-b＝b-a时，2b＝0，
∴b＝0，
把b＝0代入|a+b|＝b-a，
∴|a|＝-a，即a≤0，
∴a有可能是负数，①正确，
∴①②都正对.
故答案为：B．
13．如图，数轴上A，B，C三个点所对应的数分别是a，b，c，点O为原点，且有，下列说法正确的是（ ）
①c为整数；②；③为非负数；④为负数；⑤为整数．
A．①② B．②③ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】C
【解析】由数轴可知，，①不符合题意；
∵，∴，，②，③符合题意；
由数轴可知，，∴，∴，④不符合题意；
∵，∴，∵，∴，⑤符合题意；
故答案为：C．
14．若且，则的值（ ）
A．1 B．小于0 C．-1 D．大于0
【答案】A
【解析】∵且，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：A．
15．已知ab0，则++的值是（ ）
A．3 B．－3 C．3或－1 D．3或－3
【答案】C
【解析】∵ab＞0，
∴a、b同号，
①a、b同为正数时，
原式=1+1+1=3；
②a、b同为负数时，
原式=-1+（-1）+1=-1，
故答案为：C.
16．实数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，
∵时，
时，，
∴，
∴.
故答案为：.
17．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是 （填序号即可）.
①；②；③；④
【答案】①③④
【解析】根据数轴上的点所表示的数的特点得a＜0＜b＜c，，
∴abc＜0，a+c＞0，a-b=0，c-b＞0，a-c＜0，；故①③正确，②错误，
∴，，∴ ，故④正确.
故答案为：①③④.
18．整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|=2023，其中|a|>1且abc>1，则a+b+c的最小值是 ．
【答案】-14
【解析】∵ 整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|=2023，其中|a|>1，
∴或，
∵ abc>1 ，
∴a、b、c要么都是正整数，要么是一个正整数与两个负整数，
∴当a=2，b=2，c=3时，a+b+c=7；
当a=-2，b=-2，c=3时，a+b+c=-1；
当a=-2，b=2，c=-3时，a+b+c=-3；
当a=2，b=-2，c=-3时，a+b+c=-3；
当a=2，b=1，c=13时，a+b+c=16；
当a=2，b=-1，c=-13时，a+b+c=-12；
当a=-2，b=-1，c=13时，a+b+c=10；
当a=-2，b=1，c=-13时，a+b+c=-14；
综上最小值应该为-14.
故答案为：-14.
19．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 .
【答案】-1-c
【解析】由数轴可知，
故答案为：-1-c.
20．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，则2（a+b）﹣3cd+x＝ ．
【答案】0或﹣6
【解析】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，
∴a+b=0，cd=1，x=±3，
当x=3时，2（a+b）﹣3cd+x＝-3+3=0；
当x=-3时，2（a+b）﹣3cd+x＝-3-3=-6；
∴2（a+b）﹣3cd+x的值为0或-6.
故答案为：0或-6
21．已知有理数、互为相反数，、互为倒数，，则的值为 ．
【答案】-9或-1
【解析】∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∵|m|=4，
∴m=±4，
当m=4时，原式=2（a+b）-5cd-m=-5-4=-9；
当m=-4时，原式=-5+4=-1；
∴其值为-9或-1.
故答案为：-9或-1
22．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
【答案】或7
【解析】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且的最小值是6，
①当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
②当时，则时，原式有最小值，
此时，
此时方程无解；
③当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
综上，m的值为或7，
故答案为：-1或7.
23．有理数、、在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【答案】2a-2c
【解析】由数轴可知
c＜0＜a＜b，-a＜0，
∴-a+c＜0，b-a＞0，c-b＜0，
∴原式=-（-a+c）-（b-a）-（c-b）=a-c-b+a-c+b=2a-2c.
故答案为：2a-2c
24．如图，数轴上有a，b，c三点，化简：.
【答案】解：根据题意，得，
∴，，，
∴原式
.
25．已知a，b互为相反数（a，b均不为0），m，n互为倒数，k是到原点距离为2的数，且.求代数式的值.
【答案】解：∵a，b互为相反数（a，b均不为0），m，n互为倒数，k是到原点距离为2的数，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴原式
.
26．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足.
（1）求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离.
（2）若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？
（3）若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以点A与点B之间的距离为.
（2）解：因为A、B两点之间的距离为12个单位长度，
所以秒，
答：点P运动6秒后到达B点.
（3）解：由题意，有两种情况：
P、Q相遇前：（秒），
P、Q相遇后：（秒），
所以运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度.
27．对于式子在下列范围内讨论它的结果．
（1）当时；
（2）当时；
（3）当时．
【答案】（1）解：当x＜1时，x 1＜0，x 5＜0，
∴|x 1|＋|x 5|
＝1 x＋5 x
＝6 2x
（2）解：当1≤x≤5时，，，
∴|x 1|＋|x 5|
＝x 1＋5 x
＝4
（3）解：当x＞5时，x 1＞0，x 5＞0，
∴|x 1|＋|x 5|
＝x 1＋x 5
＝2x 6
28．已知有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示.
解答下列各题：
（1）判断下列各式的符号： ； ；填“”、“”或“”
（2）化简：.
【答案】（1）＜；＜
（2）解：由图可知，，，，，
原式
.
【解析】（1）由图可知，，，
故；；
故答案为：，；
【直击中考】
29．实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【答案】A
【解析】因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故答案为：A．
30．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】由数轴上点的位置可得，，
∴，
故答案为：C．
31．数轴上的点A、B分别表示 、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或“B”）.
【答案】B
【解析】∵数轴上的点A、B分别表示 、2，
∴ ，且3＞2，
∴点B离原点的距离较近，
故答案是：B.
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1.3 绝对值
【知识重点】
一、绝对值：
(1)定义：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
(2)表示：一个数a的绝对值用“”表示，如数a的绝对值表示为.
(3)几何意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.即：当a是正数时，=a；当是负数时，=a；当a=0时，=0.
二、绝对值的性质：
(1)除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等；
(2)对任何有理数a，都有≥0；
(3)若=0，则a=0，反之亦然；
(4)若=b，则a=±b；
(5)对任何有理数a，都有=.
【经典例题】
【例1】的绝对值是（ ）
A． B． C．2022 D．
【例2】下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】若的绝对值为6，则 .
【例4】有理数，，在数轴上的位置如图所示，式子化简为（ ）
A． B． C． D．
【例5】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）用“”或“”填空： 0， 0， 0.
（2）化简：.
【基础训练】
1．下列四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．-3 B．0 C．1 D．2
2．的倒数是（ ）
A． B． C．-2022 D．2022
3．对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
4．若一个数的绝对值是，则这个数是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知，则x+y= ．
6．化简：﹣|﹣3|＝ ．
7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a+b+m﹣2022cd的值．
8．已知．
（1）当异号时，求的值；
（2）当同号时，求的值．
【培优训练】
9．下列各组数中，互为相反数的是
A．和 B．和
C．和 D．和3
10．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，都是有理数，如果，那么对于下列两种说法：可能是负数；一定不是负数，其中判断正确的是( )
A．都错 B．都对 C．错对 D．对错
13．如图，数轴上A，B，C三个点所对应的数分别是a，b，c，点O为原点，且有，下列说法正确的是（ ）
①c为整数；②；③为非负数；④为负数；⑤为整数．
A．①② B．②③ C．②③⑤ D．③④⑤
14．若且，则的值（ ）
A．1 B．小于0 C．-1 D．大于0
15．已知ab0，则++的值是（ ）
A．3 B．－3 C．3或－1 D．3或－3
16．实数a，b满足，则的最小值为 .
17．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是 （填序号即可）.
①；②；③；④
18．整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|=2023，其中|a|>1且abc>1，则a+b+c的最小值是 ．
19．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 .
20．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，则2（a+b）﹣3cd+x＝ ．
21．已知有理数、互为相反数，、互为倒数，，则的值为 ．
22．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
23．有理数、、在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
24．如图，数轴上有a，b，c三点，化简：.
25．已知a，b互为相反数（a，b均不为0），m，n互为倒数，k是到原点距离为2的数，且.求代数式的值.
26．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足.
（1）求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离.
（2）若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？
（3）若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？
27．对于式子在下列范围内讨论它的结果．
（1）当时；
（2）当时；
（3）当时．
28．已知有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示.
解答下列各题：
（1）判断下列各式的符号： ； ；填“”、“”或“”
（2）化简：.
【直击中考】
29．实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
30．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
31．数轴上的点A、B分别表示 、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或“B”）.
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