1.1 认识三角形同步作业练习（含解析）

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浙教版2023年八年级上册1.1认识三角形 同步作业练习
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部
C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点
2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知则的形状是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状
5．下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，以为边的三角形共有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，，，分别是的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，是中线，，．若的周长为10，则的周长为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
10．如图，，平分，则（ ）

A． B． C． D．
11．定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
12．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是根据三角形具有_________．
14．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是_________（填写所有符合题意的序号）．
15．若等腰三角形的两边的长分别是、，则它的周长为___________．
16．已知a，b，c是三边的长，化简_____．
17．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多__________．

18．如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______ ．

19．已知，如图，的的平分线和外角的平分线交于点，，，则_______°．
20．中，是边上的高，，，则________度．
三、解答题
21．在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状．
22．如图，已知点为的边延长线上一点，于点，交于点，，，求的度数．

23．如图，，分别是的高，，，，求的长．

24．如图，设为内一点，且，求证：．

25．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

(1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；
(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．
26．通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．
例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：
已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角．
求证：．
证明：延长BC，过点C作．
∴，．
∵，
∴．
(1)小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）
(2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．
27．综合与探究：

(1)如图1，，分别是的两个内角，的平分线，说明的理由．
【深入探究】
(2)①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 　 　；
②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，，，，分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是 　 　．
参考答案
1．B
【分析】根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点进行判断即可．
【详解】解：A．直角三角形的高有三条，故选项错误，不符合题意；
B．锐角三角形的三条高交于三角形内部，故选项正确，符合题意；
C．直角三角形的高交于直角顶点，故选项错误，不符合题意；
D．钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点，熟练掌握三角形高的特点是解题的关键．
2．A
【分析】由三角形的稳定性即可得出答案．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，加上窗钩构成了，而三角形具有稳定性是解题的关键．
3．D
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【详解】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
4．B
【分析】根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，进行判断即可．
【详解】解：∵
∴，
又，
∴，即，
故该三角形是直角三角形．
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的分类，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出最大角的度数．
5．D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【详解】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
6．C
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以为边的三角形共有3个，它们是．
故选：C
【点睛】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“以为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．
7．B
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，，分别是的中线，角平分线，高，
A、 ，故该选项正确，不符合题意；
B、 不一定相等，故该选项不正确，符合题意；
C、 ，故该选项正确，不符合题意；
D、，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键．
8．D
【分析】根据中线的定义可得，结合的周长可得，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵是中线，
∴，
∵的周长为10，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一个顶点到对边中点的连线是中线．
9．B
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，

为中点，
.
同理可得，，.
的面积为20，
.
，
.
故选B．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
10．B
【分析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
11．C
【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
12．B
【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，根据折叠的性质，得到，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键．
13．稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：利用三角结构，为了更加稳固，
是因为三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
14．②③/③②
【分析】利用三角形的三边关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①，不能构成三角形；
②，可以构成三角形；
③，可以构成三角形；
④，不能构成三角形；
综上，能作为三角形的三边长的是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边，三条线段能构成三角形，是解题的关键．
15．17或19
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，分别进行求解即可．
【详解】解：①当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三边关系，则三角形的周长；
②当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三关系，则三角形的周长；
故答案为：17或19．
【点睛】本题注意考查对等腰三角形的性质及三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况：分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形．
16．/
【分析】根据三角形的三边关系判断出，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，
∴，
∴原式
．
故答案为．
【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
17．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
的周长的周长
，
的周长比的周长多，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
18．/110度
【分析】由三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求．
【详解】，
，
和分别平分和，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和为．
19．74
【分析】利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，再根据角平分线的定义求得，据此求解即可.
【详解】解：∵是的平分线，且，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：74．
【点睛】本题考查角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．
20．或10
【分析】分两种情况讨论：①点D在内部；②点D在外部，利用三角形内角和定理分别求解，即可得到答案．
【详解】解：①如图，当点D在内部时，
是边上的高，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点D在外部时，
，，
，
，
，
综上可知，的度数为或
故答案为：度或10．
【点睛】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想，熟练掌握三角形内角和等于是解题关键．
21．周长为，是等腰三角形，
【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断三角形的形状．
【详解】解：，
，
长是偶数，
，
，
是等腰三角形，
周长为：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键．
22．
【分析】先根据垂直的定义得到，再由三角形外角的性质得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
23．．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】解：，分别是的高，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高．
24．见解析
【分析】延长交于点D，根据三角形三边关系得出，，整理得出，根据，得出．
【详解】证明：延长交于点D，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
25．(1)4
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出即可解决问题；
（2）根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出；
【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为24，
，
为边上的中线，
是的中点，
．
（2）解：为边的高，
，．
．
为的角平分线，
，
．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．
26．(1)两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义
(2)见解析
【分析】（1）过点C作，利用平行线的性质，可得出，，结合平角等于，即可证出；
（2）过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出．
【详解】（1）证明：延长BC，过点C作．
∴(两直线平行，内错角相等)，
(两直线平行，同位角相等)．
∵(平角的定义)，
∴；
（2）证明：如图所示，
过点A作直线，
∴，∠4=∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵(平角的定义)，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
(3)．
【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）①利用三角形内角和定理可得，，利用角平分线的定义可得，，从而得到，化简即可求解；
②利用三角形的外角性质可得，，从而得到，化简即可求解；
（3）由（1）知：，即可求出，利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质可得，利用三角形内角和定理可得，再由（2）②可知，求解即可．
【详解】（1）解： 、分别是、的平分线，
，，
，
，，
，
；
（2）解：①与之间的等量关系是：，理由如下：
、分别是的两个外角、的平分线，
，，
，，，，
，，
，
，
，
；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
、分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
，
，
．
（3）解：由（1）知：，
，
，
，
，
、分别平分、，
，
．
由（2）②知：，
，
【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．