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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
补充2二次函数图像与系数的关系
【知识重点】
二次函数图像的特征与符号之间的关系
符号 字母 字母的符号 图像的特征
开口向上
开口向下
(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
图像过原点
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
注意：特殊关系：
①当时，；当时，；当时，；
②当对称轴为直线，则．
【经典例题】
【例1】30．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣．下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
【答案】D
【解析】A、∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故A不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线，
∴a=b，
∴a+b=2a＞0，故B不符合题意；
C、∵当x=1时y=a+b+c=2a+c＜0，故C不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的取值范围是x2＜-2，
∴当x=-2时y＞0，
∴4a-2b+c＞0即4a+c＞2b，故D符合题意；
故答案为：D
31．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论，其中正确结论的是（ ）
A．abc＞0 B．4a+2b+c＝0
C．a+b＞m（am+b） D．（a+c）2＜b2
【答案】D
【解析】A、∵抛物线的开口向下，与y轴交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，故A错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点在-1和0之间，
∴另一个交点在2和3之间，
∴当x=2时y＞0即4a+2b+c＞0，故B错误；
C、∵抛物线的开口向下，
当x=1时y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，故C错误；
∵当x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，当x=1时y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a-b+c）（a+b+c）＜0，
∴ （a+c）2＜b2，故D正确；
故答案为：D
32．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】抛物线与轴有2个交点，
，
，故①正确；
当时，，
，故②错误；
抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
即，
，故④正确.
故答案为：C.
33．已知二次函数与轴的一个交点为，其部分图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由题意得，该函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，所以，，又因为其对称轴为，所以，所以，故说法①正确；
该函数图象与x轴有两个交点，所以当时，有两个不相等的实数根，所以，故说法②错误；
由对称知，当时，函数值大于0，即，故说法③正确；
当时函数值等于0，即，且，即有，代入得，得，故说法④错误；
当时，y的值最大，此时，，而当时，，所以，即，故说法⑤正确.
综上所述，说法①③⑤正确，共计3个.
故答案为：C.
【基础训练】
1．已知抛物线开口向下，且经过第三象限的点，若点与原点在抛物线对称轴的异侧，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】∵抛物线y=ax2+bx开口向下，经过第三象限的点P（-1，m），且点P与原点在抛物线对称轴的异侧，
∴a<0，-<0，
∴b<0.
∵图象过第三象限的点P（-1，m），
∴m=a-b<0，
∴一次函数y=(a-b)x+b的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．y的最小值为5
C．图象与x轴有两个交点
D．当时，y的值随x的值的增大而增大
【答案】D
【解析】A、∵二次函数，∴对称轴为直线，在y轴左侧，故本选项不正确，不符合题意；
B、∵，顶点坐标为，∴y的最小值为1，故本选项不正确，不符合题意；
C、b2-4ac=16-20<0，∴图象与x轴没有交点，故本选项不正确，不符合题意；
D、∵，对称轴为直线，∴当时，y的值随x的值的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
故答案为：D.
3．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ．下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故A错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴，
∴b=a，
∴a+b=2a＞0，故B错误；
C、∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，即2b+c＜0，故C错误；
D、∵（1，y）关于直线 的对称点的坐标为（-2，y），
∴当x=1和x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故D正确.
故答案为：D
4．二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④.其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵图象开口向下，对称轴为直线x==1，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b=-2a>0，c>0，
∴abc<0，故①正确.
∵图象过点（3，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵b=-2a，
∴-b+c=0，
∴-b+c=0，
∴3b=2c，故②正确.
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac>0，故③错误.
∵b=-2a，
∴a+2b+4c=a-4a+4c=4c-3a.
∵a<0，c>0，
∴4c>0，-3a>0，
∴4c-3a>0，
∴a+2b+4c>0，故④正确.
故答案为：C.
5．已知二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．该二次函数的图象经过点
C．
D．关于x的方程无实数根
【答案】B
【解析】A、
∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、
∵抛物线经过点，
点与对称轴的对称点为点，
∴二次函数的图象经过点，故B符合题意；
C、
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴时，，
即，
∵，
∴，故C不符合题意；
D、
∵抛物线开口向下，顶点为，
∴函数有最大值n，
∴抛物线与直线无交点，
∴一元二次方程无实数根，故D不符合题意.
故答案为：B.
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，⑤．其中，正确结论的有（ ）．
A．①②③ B．②③⑤ C．①②④ D．①②③⑤
【答案】C
【解析】∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac>0，故①正确；
∵图象开口向上，对称轴为直线x==1，与y轴的交点在负半轴，
∴a>0，b=-2a<0，c<0，
∴abc>0，故②正确；
当x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，故③错误；
∵对称轴为直线x=1，一个交点在-2与-1之间，
∴另一个交点在3与4之间，
∴当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，故④正确；
∵对称轴为直线x==1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故⑤错误.
故答案为：C.
7．如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】由题意知，当时，；
当时，，即，，
∴，即，
∴A错误，故不符合要求；B正确，故符合要求；
当时，，即，，
∴，即，，
∴C、D错误，故不符合要求；
故答案为：B.
8．如图，已知抛物线为常数，且经过点和下列四个结论：
；
；
；
无论，，取何值，抛物线一定经过定点．
其中正确的结论是 填序号．
【答案】①②④
【解析】①∵抛物线的对称轴为直线x=，即对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=，∴，
∴-2b=2a，
∴a+b=0，故②正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0) 经过点(2，0)，
∴4a+2b+C=0，
∵ c>0，
∴4a+2b+3c>0，故③错误；
④由对称得：抛物线与x轴另一交点为(-1，0)，
∵
∴c=-2a，
∴，
∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过，故④正确.
故答案为：①②④.
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象经过点A(-1，-2)，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是 .
【答案】-2
【解析】∵二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)图象经过点A(-1，-2)，对称轴为直线x=1，
∴点A关于对称轴直线x=1对称点的坐标为（3，-2），
∴当x=3时，y=-2，即9a+3b+c =-2.
故答案为：-2.
10．在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）.若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为 .
【答案】
【解析】，
即其顶点坐标为：，
将代入中，
有：，
整理，得：，
故答案为：.
【培优训练】
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣b＝0；③若点B（﹣3，y1）.C（0，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＝0；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由图象可知：开口向下，故a＜0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②正确；
当x＜﹣2时，
此时y随x的增大而增大，
∵点B（﹣3，y1）与对称轴的距离比C（0，y2）与对称轴的距离小，
∴y1＞y2，故③错误；
∵图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，
∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：（1，0）
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正确，
故答案为：C.
12．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①对称轴在轴右侧，
.
、异号，
，故①正确；
②对称轴，
；
故②正确；
③，
，
当时，，
，
故③错误；
④根据图示知，当时，有最大值；
又当时，，
当时，有，
当时，，
，
，
（为实数）.
故④正确.
⑤观察图象可得：当时，也可能等于0或小于0.
故⑤错误.
综上，正确的序号由：①②④.
故答案为：C.
13．已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(-1，-1)，(0，1)，当x=-2时，与其相对应的函数值y>1．有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c-3= 0有两个不相等的实数根；
③a+b+c>7；
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①、根据题意，绘制出抛物线的大致图象如图，由图象可知：a＞0，c＞0，由对称轴公式以及图象可知，b＞0，∴abc＞0，故①正确；
②∵由图象知，y=ax2+bx+c与直线y=3有两个不同的交点
∴关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵x=-2时，y＞1，c=1
∴4a-2b+1＞1，
∵y=ax2+bx+c经过点（-1，-1）
∴a-b+1=-1
∴b=a+2
∴4a-2（a+2）+1＞1
∴a＞2
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3＞7，故③正确。
故答案为：D
14．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵图象开口向下，对称轴为直线x==1，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b=-2a>0，c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵图象过点（3，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0，故②正确；
∵图象过点（3，0），（-1，0），
∴=-3，
∴c=-3a.
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=a+b+c=a-2a-3a=-4a，故③错误；
∵y=ax2+bx+c的图象与y=-1有两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c+1=0有两个实数根，故④正确；
∵抛物线过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵b=-2a，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0.
∵a<0，
∴4a+c=a<0，故⑤正确.
故答案为：C.
15．如图，抛物线，与轴正半轴交于两点， 与轴负半轴交于点．
①；
②；
③若点的坐标为，且，则；
④若抛物线的对称轴是直线，为任意实数；
则．
上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】∵函数图象开口向下，
∴a<0，
∵函数对称轴在y轴左侧，
∴，
∴b>0，
∵函数图象与y轴相交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
∴结论①正确；
∵该函数图象与x轴有2个交点，
∴b2-4ac>0，
∴结论②不正确；
∵B(4，0)，
∴OB = 4，
∵AB≥3，
∴OA≤1，
∴当x=1时，y≥0，
∴把x=1代入y=ax2+bx +c得：a+b+c≥0，
∴16a+16b+16c≥0，
把点(4，0)代入y=ax2+bx+c得：16a+4b+c =0，
∴12b+15c≥0，
∴4b+3c≥-2c，
∵c<0，
∴4b+3c≥-2c>0，
∴结论③正确；
把x =3代入y=ax2+bx +c得：y=9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴是直线x=3，函数图象开口向下，
∴该函数的顶点坐标为(3，9a+3b+c)，
∴该函数最大值为9a+3b+c，
∴当x =m时，y =am2+bm +c，
∴am2+bm+c≤9a+3b+c，
∴am2-9a≤3b-bm，
即a (m -3) (m+3) ≤b(3-m)，
∴结论④正确；
综上所述：正确的结论是①③④，
故答案为：①③④.
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＞0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的两根分别为﹣3，5．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线x=1，
∴
∴b=-2a>0，
∵图象与轴的交点在y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①说法正确；
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0， 故②正确；
由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+C=8a+c<0，故③错误；
由题意可知x=-3是ax2+bx+c=n的一个根，∵对称轴直线是x=1，∴ax2+bx+c=n的另一个根为x=5，故④正确，综上正确的有①②④.
故答案为：B.
17．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤关于x的一元二次方程的两根分别是-1和3，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵二次函数的图象交y轴于原点上方，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数的图象的对称轴是直线，
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的两根分别是-1和3，故④正确.
其中正确的结论有②③⑤，共3个，故B正确.
故答案为：B.
18．已知二次函数的图象如图所示，下列结论①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①④ D．②③④
【答案】A
【解析】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，即，
∴，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴，
∴，故①正确；
由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在的右侧，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线与x轴右侧的交点在的左侧，
∴时，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵时，是函数的最大值，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①③④，故A正确.
故答案为：A.
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），
∴对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
∵点A（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∴8a+c＝8a-3c＝5a
∴8a+c＜0，故②符合题意，
∵顶点坐标（1，n）
∴抛物线x2+bx+c＝n有唯一的解，当y＝n﹣1时，与抛物线有两个交点，故③符合题意，
∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
∴|x2﹣1|＞|x1﹣1|
∵抛物线开口向下，抛物线关于x＝1对称，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，故④符合题意，
∴结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：D．
20．已知抛物线（a，b，c是常数），，下列四个结论：
①若，则抛物线经过点；
②若且，当时，y随着x的增大而增大；
③无论m取任何数值，一元二次方程一定有两个实数根；
④若抛物线过点，且，点，，，在抛物线上，当，则.其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①③④
【解析】当时，，
∵，
∴，
即若，则抛物线经过点，故①正确；
当时，，
∵，
∴抛物线过点，
∵，
∴点均位于对称轴的同侧时，y随着x的增大而减小，故②错误；
对于方程，且，
∴，
∴，
∴无论m取任何数值，一元二次方程一定有两个实数根，故③正确；
∵抛物线过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点，关于对称的对称点为，，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴，
∵，
∴异号，
∴异号，
∴，故④正确；
故答案为：①③④.
21．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线.下列四个结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数很，则.其中正确的是 （填写序号）.
【答案】②③④
【解析】由图像可知，图像开口向下，，对称轴为，
∴，
∴，且，则故②正确，
∵图像与y轴的交点为正半轴，
∴，则，故①错误，
由图像可知当x=1时，函数取最大值，
将，代入中得：，
由图像可知函数与x轴交点为，对称轴为将，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为： ，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确.
故答案为：②③④.
22．已知二次函数的图象如图所示，有5个结论：①；②；③； ④； ⑤，其中正确的有是 ．
【答案】②④⑤
【解析】【解答】∵抛物线的开口向下，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，
∴结论①不符合题意；
∵当时，，即，
∴结论②符合题意；
∵当和时，函数值相等，均小于0，
∴，
∴结论③不符合题意；
∵，
∴，
∵由时，得，即，
∴结论④符合题意；
∴由图象知当时函数取得最大值，
∴，即，
∴结论⑤符合题意．
故填：②④⑤．
23．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有： .（填序号）
①该二次函数的图象一定过定点；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；
③当且时，y的最小值为；
④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：.
【答案】②③④
【解析】①y=（m-2）x2+2mx+m-3=m（x+1）2-2x2-3，
当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①错误；
②若该函数图象开口向下，则m-2＜0，且△＞0，
△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞，且m＜2，
故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x=0处取得，
故y的最小值为：（m-2）×0+2m×0+m-3=m-3，故③正确；
④当m＞2，x=-4时，y=9m-35，x=-3时，y=4m-21，x=0时，y=m-3，当x=-1时，y=-5，
当-4＜x1＜-3时，则（9m-35）（4m-21）＜0，
解得：；
同理-1＜x2＜0时，m＞3，
故m的取值范围为：，故④正确；
故答案为：②③④.
【直击中考】
24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
【答案】D
【解析】A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线的对称轴x=﹣ =1＞0，则b＜0．
抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误；
B、∵x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b=0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．
故D选项正确；
故选D．
25．已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（为实数）
【答案】C
【解析】
A、∵图像开口向上，
∴a＞0，
∴对称轴，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴，A不符合题意；
B、∵对称轴为x=1，
∴x=4与x=-2处的函数值相等，
当x=-2时，，B不符合题意；
C、∵对称轴，
∴，x=3与x=-1处的函数值相等，
当x=-1时，，
∵，
∴，C符合题意；
D、由图像可得x=1时，函数取最小值，
对于任意的未知值m，总存在，
∴，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
26．如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
①∵图像开口向上，
∴a＞0，
∴对称轴，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴，故①正确；
②∵对称轴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为x=1，
∴x=0与x=2处的函数值相等，
当x=2时，，故③错误；
④由图像可得x=1时，函数取最小值，
对于任意的未知值m，总存在，
∴，故④错误；
⑤当x=-1时，，
∵，
∴，故⑤正确；
∴共有3个正确的，
故答案为：B
27．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
28．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0
【答案】C
【解析】由对称轴，得b=﹣2a．
（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a
∵a＜0
当m＜1时，（m﹣3）a＞0，
故选：C．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
补充2二次函数图像与系数的关系
【知识重点】
二次函数图像的特征与符号之间的关系
符号 字母 字母的符号 图像的特征
开口向上
开口向下
(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
图像过原点
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
注意：特殊关系：
①当时，；当时，；当时，；
②当对称轴为直线，则．
【经典例题】
【例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣．下列结论中，正确的是（ ）
abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
（例1图） （例2图） （例3图） （例4图）
【例2】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论，其中正确结论的是（ ）
A．abc＞0 B．4a+2b+c＝0
C．a+b＞m（am+b） D．（a+c）2＜b2
【例3】如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知二次函数与轴的一个交点为，其部分图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【基础训练】
1．已知抛物线开口向下，且经过第三象限的点，若点与原点在抛物线对称轴的异侧，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴右侧
B．y的最小值为5
C．图象与x轴有两个交点
D．当时，y的值随x的值的增大而增大
3．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ．下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
（第3图） （第4图） （第5图） （第6图）
4．二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④.其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
已知二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A． B．该二次函数的图象经过点
C． D．关于x的方程无实数根
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，⑤．其中，正确结论的有（ ）．
A．①②③ B．②③⑤ C．①②④ D．①②③⑤
7．如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（第7图） （第8图）
8．如图，已知抛物线为常数，且经过点和下列四个结论：；；；无论，，取何值，抛物线一定经过定点．
其中正确的结论是 填序号．
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象经过点A(-1，-2)，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是 .
10．在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）.若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为 .
【培优训练】
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣b＝0；③若点B（﹣3，y1）.C（0，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＝0；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第11图） （第12图） （第14图） （第15图）
12．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(-1，-1)，(0，1)，当x=-2时，与其相对应的函数值y>1．有下列结论：
①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c-3= 0有两个不相等的实数根；③a+b+c>7；
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，抛物线，与轴正半轴交于两点， 与轴负半轴交于点．
①；②；
③若点的坐标为，且，则；
④若抛物线的对称轴是直线，为任意实数；则．
上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＞0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的两根分别为﹣3，5．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（第16图） （第17图） （第18图） （第19图）
17．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤关于x的一元二次方程的两根分别是-1和3，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
18．已知二次函数的图象如图所示，下列结论①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①④ D．②③④
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．已知抛物线（a，b，c是常数），，下列四个结论：
①若，则抛物线经过点；
②若且，当时，y随着x的增大而增大；
③无论m取任何数值，一元二次方程一定有两个实数根；
④若抛物线过点，且，点，，，在抛物线上，当，则.其中正确的是 （填写序号）.
21．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线.下列四个结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数很，则.其中正确的是 （填写序号）.
（第21图） （第22图）
22．已知二次函数的图象如图所示，有5个结论：①；②；③； ④； ⑤，其中正确的有是 ．
23．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有： .（填序号）
①该二次函数的图象一定过定点；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；
③当且时，y的最小值为；
④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：.
【直击中考】
24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
（第24图） （第25图） （第26图） （第27图）
25．已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（为实数）
26．如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
27．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
28．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0
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