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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
二次函数与几何问题（补充）
【知识重点】
二次函数与几何
(1)将军饮马：利用二次函数对称性作点的对称点，利用两点之间线段最短解决问题．
(2)面积类：分析条件合理切割面积（铅垂高，水平宽），列出面积关系式，
利用二次函数性质求面积最值问题．
(3)三角形：
①等腰三角形:设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；
分类讨论列方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
②直角三角形：设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；
分类讨论根据勾股定理列出方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
(4)平行四边形存在性问题：
①写出四个点的坐标（已知求未知设）；
②取一定点A，按AB、AC、AD分别为一条对角线进行分类讨论；
③根据平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式列式计算，检验结果．
【经典例题】
【例1】已知二次函数经过点，，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为，点C的坐标为为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形﹖若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）.
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：
（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由.
【例4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由
【培优训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM=∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为，新抛物线与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
3．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点D，交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
（3）取（2）中最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标.
5．如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的最大值；
（3）过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
（1）抛物线解析式为 ，直线解析式为 ；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点D在线段上，连接PD、CD，，点F在线段BC上，，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若，，，求点P的横出标．
8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．
10．淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一，如图1，它的外边缘线的一半恰好呈抛物线，如图2是半块烧饼的示意图，以的中点为原点建立平面直角坐标系，的长度为，抛物线最高点距的最大高度为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图3，小明想在这半块烧饼上切出一块矩形，使得矩形的一边与重合，点在抛物线上，求该矩形周长的最大值：
（3）如图4，小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为的矩形，若切出的所有矩形的长与平行，求切出的所有矩形的面积之和．（结果保留根号）
11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．
12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知：如图，二次函数与轴交于点，，点在点左侧，交轴于
点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上有一点，连接，若，求点坐标；
（3）在在第一象限的抛物线上，于点，求的最大值？
【直击中考】
1．如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
二次函数与几何问题（补充）
【知识重点】
二次函数与几何
(1)将军饮马：利用二次函数对称性作点的对称点，利用两点之间线段最短解决问题．
(2)面积类：分析条件合理切割面积（铅垂高，水平宽），列出面积关系式，
利用二次函数性质求面积最值问题．
(3)三角形：
①等腰三角形:设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；
分类讨论列方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
②直角三角形：设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；
分类讨论根据勾股定理列出方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
(4)平行四边形存在性问题：
①写出四个点的坐标（已知求未知设）；
②取一定点A，按AB、AC、AD分别为一条对角线进行分类讨论；
③根据平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式列式计算，检验结果．
【经典例题】
【例1】已知二次函数经过点，，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：二次函数经过点、，
根据题意，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：存在．
对称轴为直线．
①若以为底边，则，
设点坐标为，根据勾股定理可得，，
因此，
即．
又点在抛物线上，
，
即，
解得，，应舍去，
，
，
即点坐标为，．
②若以为一腰，
点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点C关于直线对称，
此时点坐标为．
符合条件的点P坐标为，或．
【例2】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为，点C的坐标为为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形﹖若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，，
∴
解得
∴抛物线的函数关系式为；
（2）解：在抛物线上存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以为一边的四边形是平行四边形；
理由：①如图1，当点E在x轴下方时，则：，
∴点E的纵坐标为，
令，则，
解得，，
∴点E的坐标为；
②如图2，当点E在x轴上方时，
∵平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形，点C到x轴的距离为3，
∴点E到x轴的距离为3，
令，则，
解得，
∴，，
综上可得，在抛物线上存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以为一边的四边形是平行四边形，点E的坐标为或或．
【例3】如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）.
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：
（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设点M的坐标为（，），过点P作轴，交直线于点，
设直线的解析式为，过点B（－3，0），C（0，3）两点，
∴ ，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为（，），
∴，
∴
∵，
∴有最大值，此时，的最大值为；
（3）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的对称轴直线为，
设点M的坐标为（，），点N的坐标为（，），
（Ⅰ）当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为（，）；
（Ⅱ）当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为（，）；
综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为（，）或（，）.
【例4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：，即，，
在中，根据勾股定理得：，即，
由，，设抛物线解析式为，
把代入得：，
则抛物线解析式为；
（2）解：是直角三角形，
，，，
，
，
是直角三角形；
（3）解：存在．
如图所示，分两种情况考虑：
抛物线解析式为，
其对称轴．
当时，△为直角三角形，
直线的ｋ为，
直线ｋ为，
直线解析式为，即，
与抛物线对称轴方程联立得，
解得：，
此时，；
当时，为直角三角形，
同理得到直线的ｋ为，
直线方程为，
与抛物线对称轴方程联立得：，
解得：，
此时，．
综上所示，，或，．
当点P为直角顶点时，设，，
，，
，
，即，解得，
，，，．
综上所述，，，，，，，，．
【培优训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM=∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为，新抛物线与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把y=0代入得，
，
解得，，
∴A、B两点坐标分别为（-4，0），（1，0），AB=5，
把x=0代入得，y=2，
∴C点坐标为（0，2），OC=2，
；
（2）解：过P点作x轴平行线，交CM于点H，过点G作GD⊥PH，垂足为D，设PG与AC、x轴交点分别为N、F，
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴OC=2，OA=4，OB=1，
∴，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC=∠BCO=∠OCM，
在△COB与△COM中，
∵∠BCO=∠MCO，OC=OC，∠COB=∠COM，
∴△COB≌△COM（ASA），
∴OM=OB=1，
∴点M（-1，0），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
将点M（-1，0），C（0，2）分别代入得
，
解得，
∴CM解析式为：y=2x+2；
∵DG∥OC，
∴∠DGH=∠OCM，
∵∠ANF=∠FEG=90°，∠NFA=∠EFG，
∴∠NAF=∠FGE，
∵∠OCM=∠OAC
∴∠DGH =∠FGE，
∵∠GDP=∠GDH=90°，GD=GD，
∴△GDP≌△GDH（ASA），
∴PD=DH，
设P（m，），则H（，），
DP=，
tan∠OCB= tan∠PGD=，可得PG=DP，
当DP最大时，PG就最大，
∴当m=，DP最大，最大值为，
故当P点坐标为（，）时，PG最大，最大值为；
（3）Q点坐标为（，）或（，）或（，）；
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，实际上就是向右平移2个单位，向上平移1个单位，
∴ 平移后的抛物线的解析式为，对称轴为直线，
∵两抛物线相交于点E，
∴，
解得x=1，代入得y=3，
∴E（1，3），
设，则AE2=（-1+4）2+32=18，AF2=，EF2=，
当AE=AF时，，此方程无实数根；
当AE=EF时，，解得：，，
则F1，对应的Q1，
F2，对应的Q2；
当AE=EF时，，
解得：n=，
F3，对应的Q3；
综上所述，Q点的坐标为（，）或（，）或（，）.
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图，设交于H，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，取得最大值，此时
（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：①当为对角线时，则，
解得：，此时，
∴点N的坐标为；
②当为对角线时，则，即，此时，
∴点N的坐标为；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或或．
3．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点D，交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
（3）取（2）中最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入得：
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意可得，则，
由题意可得直线过点、，则
设函数解析式为：，
依题意得：
解得：
的函数关系式为，
令，则，
∴当时，的最大值为4．
∴；
（3）解：存在．点的坐标为或或．
解：设，又、、，
当、为平行四边形的对角线时，与的中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当、为平行四边形的对角线时，与的中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当、为平行四边形的对角线时，与的中点重合，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点的坐标为或或．
4．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴抛物线的表达式为：，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴
（3）解：①过点N作于点G，
∵过点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
∴，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴、，
∴，
，
∴；
②∵，
∴点Q在的垂直平分线上，
又∵，，
∴，
∴，
∴当点B、Q、M共线时，的周长最小，
此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，
∵；，
∴，
把代入得：，
∴.
5．如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的最大值；
（3）过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标是，则点E的坐标是，
∴，
∴当时，的最大值是2；
（3）解：过点B的直线交y轴于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，
∴轴 ，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴点H的坐标是．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
（1）抛物线解析式为 ，直线解析式为 ；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；y=-x+3
（2）解：设，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值；
即关于的函数解析式为，的最大值为；
（3）解：故点的坐标为：或．
【解析】（1）解：直线经过点，
时，，
，
设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于，
，
解得：，
抛物线解析式为；
设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
；
故答案为：，；
解：(3)设点，
则，，，
当是斜边时，
则，
解得：；
当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：或．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点D在线段上，连接PD、CD，，点F在线段BC上，，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若，，，求点P的横出标．
【答案】（1）解：直线交x轴和y轴于点B和点C
令时，，即，
令时，，即，
∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：
，
解得：，
∴解析式为；
（2）解：过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作于R
∵P在抛物线上，P横坐标为t
∴，
∵M在直线BC上，∴，
∴，
，
即；
（3）解：由（1）得，，∴
又交x轴于点G，∴
即
又设，
又（已知）
（平角定义）
，
又
，
，
过点D作于R，如图所示
在中，，
，
，
∵，，，
∴，
，，，
又，
作轴于M，于N，于T，如图所示
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形
∴，
设，则，如图所示：
∴，
在中，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴不符合题意，应舍去；
当时，，
∴，
又点，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为：
，
∴或（舍），
∴P的横坐标是
8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）解：如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN AG+PN BM
=PN （AG+BM）
=PN OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴当t=3时，P(3， )，△PAB的面积有最大值；
（3）解：△PDE为等腰直角三角形，
则PE=PD，
点P（m，-m2+2m+6），
函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，
则PE=|2m-4|，
即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，
解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）
故点P的坐标为：（4，6）或（5-，3-5）．
9．如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点，点，
∴，
过点C作轴于点D，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点C在第一象限，
∴点C坐标为，
∵二次函数的图象经过点B，C，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
设点P坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴点P坐标为．
10．淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一，如图1，它的外边缘线的一半恰好呈抛物线，如图2是半块烧饼的示意图，以的中点为原点建立平面直角坐标系，的长度为，抛物线最高点距的最大高度为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图3，小明想在这半块烧饼上切出一块矩形，使得矩形的一边与重合，点在抛物线上，求该矩形周长的最大值：
（3）如图4，小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为的矩形，若切出的所有矩形的长与平行，求切出的所有矩形的面积之和．（结果保留根号）
【答案】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标分别为．
设该抛物线的解析式为，把点代入，得，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：由题意知，，设点的坐标为，则，
∴矩形的周长，
∵，
∴当时，矩形周长的最大值为．
（3）解：当时，，解得，
∴最下层矩形的长为．
当时，，解得，
∴中层矩形长为，
当时，，解得，
∴上层矩形长为．
∴切出的所有矩形的面积之和为．
11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．
【答案】（1）解：点C的坐标为（3，0）．
∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．
将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．
（2）解：可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．
直线BC的解析式为y=﹣2x+6.
如图，取OA的中点E，
作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．
则∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由，可得E点的坐标为（4，0）．
NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．
∴点P的坐标为，
∵x=时，，
∴点P不在直线BC上．
∴直线BC上不存在符合条件的点P．
（3）解：|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．
【解析】（3）解：|QA﹣QO|的取值范围是0≤|QA﹣QO|≤4．
当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），
此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，
当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，
直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，
联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，
∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．
12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）解：如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为-2，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
13．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点和代入解析式，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由题意可得P点坐标为，
令得，
∴点C坐标为，
设直线的解析式为，将B、C坐标代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，的值最大， ，
此时点的坐标为：；
（3）解：①由题意可得，如图1，
∵，轴，
∴点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同，
∴点H的坐标为，点N的坐标为，
∵，
∴，
即，
解得，（不符合题意舍去）
∴点P的坐标为；
②当时，如图2所示，
∵，
∴点Q、P的纵坐标相同，
∴此时Q点坐标为，
即；
当时，如图3所示，
设，
根据勾股定理得，
解得 ，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
14．已知：如图，二次函数与轴交于点，，点在点左侧，交轴于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上有一点，连接，若，求点坐标；
（3）在在第一象限的抛物线上，于点，求的最大值？
【答案】（1）解：令，由得，
解得，，
∴，，则，
∴，
当时，，又，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，，
过D作轴于E，则，，
∵，∴，
∴，
∴，解得或（舍去），
∴D的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴要使最大，只需求得的面积最大值即可．
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过P作轴于N，交于H，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
由得，
故的最大值为．
【直击中考】
1．如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
（3）存在，或或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的对角线，
，
∴，
∵，即，
解得：，
∴，
∴；
综上可得：或或或，．
2．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
3．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3
（2）解：△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形
（3）解：存在，N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3 ，CM= ，
∴S△BCM= BC×CM= ×3 × =3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN= ×AB×n= ×4×n=2n=3，
∴n= ，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+2m﹣3= ，
∴m1=﹣1+ ，m2=﹣1﹣ ，
∴N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得 （舍）， ，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）或N（﹣2，﹣3）
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