第1章 二次函数单元检测卷（含解析）
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浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
3．将抛物线y＝x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2+2x﹣4 B．y＝x2﹣x﹣1 C．y＝x2+4x﹣1 D．y＝x2﹣2x+1
4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．关于二次函数y＝x2﹣4x+5，下列结论中正确的是（ ）
A．图象的对称轴过点（2，0） B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴有两个公共点 D．函数的最小值为5
6．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
7．若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
8．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
9．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ ．
12．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”）
13．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 ．
14．已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 ．
15．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
16．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 ；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹；
（4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 ．
19．（8分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），B两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标．
（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≤0）的表达式．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
22．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；
B、y＝x3+2中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化为y＝﹣4x+4是一次函数，不符合题意；
D、y＝x（4﹣x）可化为y＝4x﹣x2，是二次函数，符合题意．
故选：D．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
3．将抛物线y＝x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2+2x﹣4 B．y＝x2﹣x﹣1 C．y＝x2+4x﹣1 D．y＝x2﹣2x+1
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣9）．
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣5），
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线表达式是y＝（x+1）2﹣5，即y＝x2+2x﹣4．
故选：A．
4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断．
【解答】解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，
∴A符合条件，
故选：A．
5．关于二次函数y＝x2﹣4x+5，下列结论中正确的是（ ）
A．图象的对称轴过点（2，0）
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴有两个公共点
D．函数的最小值为5
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1．
A、对称轴是直线x＝2，则图象的对称轴过点（2，0），故本选项符合题意；
B、a＝1＞0，抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝2，则当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2+1的最小值是y＝1，开口向上，则抛物线与x轴没有交点，故本选项不符合题意；
D、y＝（x﹣2）2+1的最小值是y＝1，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
7．若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
【分析】由y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2＝a（x+a）（x﹣1），可知抛物线经过定点（1，0），再将（1，0）代入y＝ax+b，可得a+b＝0，从而可求代数式的值．
【解答】解：y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2＝a（x+a）（x﹣1），
∴抛物线必经过定点（1，0），
∵一次函数y＝ax+b也经过点（1，0），
∴a+b＝0，
∴a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3＝﹣3，
故选C．
8．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
∴，
∴m＝1，
故答案为：1．
12．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 上升 ．（填“上升”或“下降”）
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，
故答案为：上升．
13．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【分析】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可．
【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得：3＝4a﹣1，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
14．已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 y1＞y2 ．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵3＞2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
16．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．
【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
综上所述：m的值为1或﹣．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答即可；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式： y＝（x﹣1）2﹣4 ，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 y1＞y2 ；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹；
（4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 y≥﹣4 ．
【分析】（1）将y＝x2﹣2x﹣3配成顶点式得y＝（x﹣1）2﹣4，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可；
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，由图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，所以当x1＜x2＜1时，则y1＞y2；
（3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2，整理得x2﹣2x﹣1＝0，可知该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出这两个交点即可；
（4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以y≥﹣4．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝﹣3，
∴该抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣4，
画出该函数的图象如图所示．
（2）由（1）得，抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜1，
∴y1＞y2，
故答案为：y1＞y2．
（3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
如图，点M、N的横坐标即为m、n的值．
（4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，
∴y的取值范围是y≥﹣4，
故答案为：y≥﹣4．
19．（8分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1），令y＝0解得x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，
设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；
（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，
解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），B两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标．
（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≤0）的表达式．
【分析】（1）根据抛物线的对称方程确定抛物线的对称轴，然后解方程ax2﹣3ax﹣4a＝0得到B点坐标；
（2）先利用配方法得到y＝a（x﹣）2﹣a，则M（，﹣a），再表示出C点坐标为（0，﹣4a），则利用待定系数法可求出直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，接着可表示出D（，﹣a），所以﹣a﹣（﹣a）＝，然后解方程求出a即可得到抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝；
当y＝0时，ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B点坐标为（4，0）；
（2）∵y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（x﹣）2﹣a，
∴M（，﹣a），
当x＝0时，y＝ax2﹣3ax﹣4a＝﹣4a，
∴C（0，﹣4a），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），C（0，﹣4a）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，
当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，
∴D（，﹣a），
∵MD＝，
∴﹣a﹣（﹣a）＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴为直线x＝，
∴满足条件的值为：t≤．
解法二：∵y1＜y2，
∴+bx1+c＜+bx2+c，
∴a（﹣）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤
∴满足条件的值为：t≤．
22．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
3．将抛物线y＝x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2+2x﹣4 B．y＝x2﹣x﹣1 C．y＝x2+4x﹣1 D．y＝x2﹣2x+1
4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．关于二次函数y＝x2﹣4x+5，下列结论中正确的是（ ）
A．图象的对称轴过点（2，0） B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴有两个公共点 D．函数的最小值为5
6．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
7．若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
8．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
9．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ ．
12．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”）
13．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 ．
14．已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 ．
15．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
16．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 ；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹；
（4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 ．
19．（8分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），B两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标．
（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≤0）的表达式．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
22．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；
B、y＝x3+2中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化为y＝﹣4x+4是一次函数，不符合题意；
D、y＝x（4﹣x）可化为y＝4x﹣x2，是二次函数，符合题意．
故选：D．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
3．将抛物线y＝x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2+2x﹣4 B．y＝x2﹣x﹣1 C．y＝x2+4x﹣1 D．y＝x2﹣2x+1
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣9）．
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣5），
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线表达式是y＝（x+1）2﹣5，即y＝x2+2x﹣4．
故选：A．
4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断．
【解答】解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，
∴A符合条件，
故选：A．
5．关于二次函数y＝x2﹣4x+5，下列结论中正确的是（ ）
A．图象的对称轴过点（2，0）
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．图象与x轴有两个公共点
D．函数的最小值为5
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1．
A、对称轴是直线x＝2，则图象的对称轴过点（2，0），故本选项符合题意；
B、a＝1＞0，抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝2，则当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2+1的最小值是y＝1，开口向上，则抛物线与x轴没有交点，故本选项不符合题意；
D、y＝（x﹣2）2+1的最小值是y＝1，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
7．若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
【分析】由y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2＝a（x+a）（x﹣1），可知抛物线经过定点（1，0），再将（1，0）代入y＝ax+b，可得a+b＝0，从而可求代数式的值．
【解答】解：y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2＝a（x+a）（x﹣1），
∴抛物线必经过定点（1，0），
∵一次函数y＝ax+b也经过点（1，0），
∴a+b＝0，
∴a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3＝﹣3，
故选C．
8．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
∴，
∴m＝1，
故答案为：1．
12．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 上升 ．（填“上升”或“下降”）
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，
故答案为：上升．
13．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【分析】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可．
【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得：3＝4a﹣1，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
14．已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 y1＞y2 ．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵3＞2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
16．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．
【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
综上所述：m的值为1或﹣．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答即可；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式： y＝（x﹣1）2﹣4 ，并在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 y1＞y2 ；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹；
（4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 y≥﹣4 ．
【分析】（1）将y＝x2﹣2x﹣3配成顶点式得y＝（x﹣1）2﹣4，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可；
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，由图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，所以当x1＜x2＜1时，则y1＞y2；
（3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2，整理得x2﹣2x﹣1＝0，可知该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出这两个交点即可；
（4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以y≥﹣4．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝﹣3，
∴该抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣4，
画出该函数的图象如图所示．
（2）由（1）得，抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜1，
∴y1＞y2，
故答案为：y1＞y2．
（3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
如图，点M、N的横坐标即为m、n的值．
（4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，
∴y的取值范围是y≥﹣4，
故答案为：y≥﹣4．
19．（8分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1），令y＝0解得x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，
设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；
（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，
解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），B两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标．
（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≤0）的表达式．
【分析】（1）根据抛物线的对称方程确定抛物线的对称轴，然后解方程ax2﹣3ax﹣4a＝0得到B点坐标；
（2）先利用配方法得到y＝a（x﹣）2﹣a，则M（，﹣a），再表示出C点坐标为（0，﹣4a），则利用待定系数法可求出直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，接着可表示出D（，﹣a），所以﹣a﹣（﹣a）＝，然后解方程求出a即可得到抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝；
当y＝0时，ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B点坐标为（4，0）；
（2）∵y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（x﹣）2﹣a，
∴M（，﹣a），
当x＝0时，y＝ax2﹣3ax﹣4a＝﹣4a，
∴C（0，﹣4a），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），C（0，﹣4a）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，
当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，
∴D（，﹣a），
∵MD＝，
∴﹣a﹣（﹣a）＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴为直线x＝，
∴满足条件的值为：t≤．
解法二：∵y1＜y2，
∴+bx1+c＜+bx2+c，
∴a（﹣）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤
∴满足条件的值为：t≤．
22．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
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