第1章 三角形的初步知识单元检测卷(含解析)

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名称 第1章 三角形的初步知识单元检测卷(含解析)
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文件大小 1.1MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2023-07-03 07:35:12

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浙教版2023年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元检测卷
一.选择题(共12小题,满分36分,每小题3分)
1.下列各组给出的两个图形中,全等的是(  )
A. B.
C. D.
2.下列长度的线段能构成三角形的是(  )
A.2,2,4 B.5,6,10 C.3,4,8 D.4,5,10
3.如图,四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是(  )
A.B.C.D.
4.如图,已知AB=AC,添加一个条件,不能使△ABF≌△ACE的是 (  )
A.AE=AF B.∠B=∠C C.∠AEC=∠AFB D.CE=BF
5.能说明命题“若x为无理数,则x2也是无理数”是假命题的反例是(  )
A.x=6 B.x=+1 C.x= D.x=﹣
6.如图,△ABC≌△ADE,∠BAC=40°,∠E=115°,则∠B的度数是(  )
A.40° B.30° C.45° D.25°
7.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=42°,AB的垂直平分线MN交AC于D点,连接BD,则∠DBC的度数是(  )
A.22° B.27° C.32° D.40°
8.如图,用直尺和圆规作∠MAN的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是(  )
A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE
9.如图,在△ABC中,角平分线BD,CE相交于点H.若∠A=70°,则∠BHC的度数是(  )
A.60° B.90° C.110° D.125°
10.如图,CM是△ABC的中线,BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,则AC的长为(  )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
11.如图,四边形ABDC中,对角线AD平分∠BAC,∠ACD=136°,∠BCD=44°,则∠ADB的度数为(  )
A.54° B.50° C.48° D.46°
12.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,在下列结论中:①∠AOB=90°+∠C;②若AB=4,OD=1,则S△ABO=2;③当∠C=60°时,AF+BE=AB;④若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的结论为(  )
A.②③ B.②④ C.②③④ D.①②④
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
13.如图,学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形,这样做的数学原理是利用了三角形的    (选填“稳定性”或“不稳定性”).
14.如图,△ABC≌△DEF.如果AE=10,BD=2,那么△ABC中边AB的长是    .
15.如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,可求∠AED=   .
16.如图,一块三角形玻璃被摔成三块,小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃,借助“全等三角形”的相关知识,只需带一块去即可,则这块玻璃的编号是    .(填序号)
17.若三角形两条边的长分别是10,15,第三条边的长是整数,则第三条边的长的最大值是    .
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,若DE=3,则CD=  .
19.已知△ABC中,∠A=70°,BD是∠ABC的角平分线,CD是∠ACB的外角角平分线,交点为D,则∠D=   .
20.如图所示,AD是三角形△ABC中BC边上的中线,E,F分别是AD,BE的中点,若△BFD的面积是1,则△ABC的面积是    .
三.解答题(共8小题,满分60分)
21.(6分)已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)化简代数式:|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|=   .
(2)若AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分,求腰长AB.
22.(6分)如图,已知BC=EF,AC∥DF,∠A=∠D.求证:△ACB≌△DFE.
23.(6分)已知,如图∠B=90°,△ABC≌△CDE,B、C、D三点共线.试说明:AC⊥CE.
24.(6分)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E.若DE=2cm,∠B=70°,∠FAE=10°,求∠C的度数和CE的长度.
25.(8分)如图,AD是△ABC的高,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=76°,∠C=48°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B﹣∠C=42°,求∠DAE的度数.
26.(8分)如图,已知△ABC中,∠B=40°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E点.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=20,AC=16,DE=6,求S△ABC.
27.(10分)如图1,在△ABC中,点D是AC延长线上一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G,直线DG与直线BC交于点F.
(1)证明:∠A+∠ABC=∠ACF;
(2)在图1中,若∠G=30°,求∠A的度数;
(3)如图2,连接FE,若2∠DFE=∠ABC+2∠G,求证:FE∥AD.
28.(10分)如图,已知△ABC中AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点P点Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;②若点P点Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间,点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?此时相遇点距到达点B的路程是多少?
浙教版2023年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元检测卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题,满分36分,每小题3分)
1.下列各组给出的两个图形中,全等的是(  )
A. B.
C. D.
【分析】根据全等图形的概念判断即可.
【解答】解:A、本选项中的两个图形,不属于全等图形,不符合题意;
B、本选项中的两个图形,不属于全等图形,不符合题意;
C、本选项中的两个图形,不属于全等图形,不符合题意;
D、本选项中的两个图形,属于全等图形,符合题意;
故选:D.
2.下列长度的线段能构成三角形的是(  )
A.2,2,4 B.5,6,10 C.3,4,8 D.4,5,10
【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”可知正确的选项.
【解答】解:A、2+2=4,不能组成三角形,故此选项不符合题意;
B、5+6>10,能组成三角形,故此选项符合题意;
C、3+4<8,不能组成三角形,故此选项不符合题意;
D、4+5<10,不能组成三角形,故此选项不符合题意.
故选:B.
3.如图,四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是(  )
A. B.
C. D.
【分析】根据三角形的高的概念判断即可.
【解答】解:A、图形中,线段BE不是△ABC的高,不符合题意;
B、图形中,线段BE不是△ABC的高,不符合题意;
C、图形中,线段BE是△ABC的高,符合题意;
D、图形中,线段BE不是△ABC的高,不符合题意;
故选:C.
4.如图,已知AB=AC,添加一个条件,不能使△ABF≌△ACE的是 (  )
A.AE=AF B.∠B=∠C C.∠AEC=∠AFB D.CE=BF
【分析】利用全等三角形的判定依次判断可求解.
【解答】解:A、若AE=AF,且∠A=∠A,AB=AC,由“SAS”可证△ABF≌△ACE,故选项A不符合题意;
B、若∠B=∠C,且∠A=∠A,AB=AC,由“ASA”可证△ABF≌△ACE,故选项B不符合题意;
C、若∠AEC=∠AFB,且∠A=∠A,AB=AC,由“AAS”可证△ABF≌△ACE,故选项C不符合题意;
D、若CE=BF,且∠A=∠A,AB=AC,无法证明△ABF≌△ACE,故选项D符合题意;
故选:D.
5.能说明命题“若x为无理数,则x2也是无理数”是假命题的反例是(  )
A.x=6 B.x=+1 C.x= D.x=﹣
【分析】根据无理数的概念、实数的乘方法则计算,判断即可.
【解答】解:3是无理数,(3)2=18,18是有理数,
故当x=3时,能说明命题“若x为无理数,则x2也是无理数”是假命题,
故选:C.
6.如图,△ABC≌△ADE,∠BAC=40°,∠E=115°,则∠B的度数是(  )

A.40° B.30° C.45° D.25°
【分析】由全等三角形的性质可得∠C=∠E=115°,再利用三角形的内角和定理即可求解.
【解答】解:∵△ABC≌△ADE,∠E=115°,
∴∠C=∠E=115°,
∵∠BAC=40°,
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠BAC=25°.
故选:D.
7.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=42°,AB的垂直平分线MN交AC于D点,连接BD,则∠DBC的度数是(  )

A.22° B.27° C.32° D.40°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A,然后求解即可.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=42°,
∴∠ABC=(180°﹣∠A)=(180°﹣42°)=69°,
∵MN垂直平分线AB,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=42°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=69°﹣42°=27°.
故选:B.
8.如图,用直尺和圆规作∠MAN的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是(  )
A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE
【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN,则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断.
【解答】解:角平分线的作法如下:①以点A为圆心,AD长为半径作弧,分别交AM、AN于点D、E;
②分别以点D、E为圆心,DF长为半径作弧,两弧在∠MAN内相交于点F;
③作射线AF,AF即为∠MAN的平分线.
根据角平分线的作法可知,AD=AE,DF=EF,
根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE,
故选:B.
9.如图,在△ABC中,角平分线BD,CE相交于点H.若∠A=70°,则∠BHC的度数是(  )
A.60° B.90° C.110° D.125°
【分析】先利用角平分线的性质说明∠ABD与∠ABC、∠ACE与∠ACB间关系,再利用外角与内角关系、三角形的内角和定理得结论.
【解答】解:∵BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,
∴∠ABD=ABC,∠ACE=ACB.
∵∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠BHC=∠BDC+∠ACE
=∠A+∠ABD+∠ACE
=∠A+∠ABC+∠ACB
=∠A+∠ABC+∠ACBA
=(∠A+∠ABC+∠ACB)+.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=70°,
∴∠BHC=180°+×70°
=90°+35°
=125°.
故选:D.
10.如图,CM是△ABC的中线,BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,则AC的长为(  )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可.
【解答】解:∵CM为△ABC的AB边上的中线,
∴AM=BM,
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,
∴(BC+BM+CM)﹣(AC+AM+CM)=3cm,
∴BC﹣AC=3cm,
∵BC=8cm,
∴AC=5cm,
故选:C.
11.如图,四边形ABDC中,对角线AD平分∠BAC,∠ACD=136°,∠BCD=44°,则∠ADB的度数为(  )
A.54° B.50° C.48° D.46°
【分析】过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,依据角平分线的性质,即可得到DE=DG,再根据三角形外角性质,以及角平分线的定义,即可得到∠ADB=∠DBE﹣∠BAD=(∠CBE﹣∠BAC)=∠ACB.
【解答】解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DF=DE,
又∵∠ACD=136°,∠BCD=44°,
∴∠ACB=92°,∠DCF=44°,
∴CD平分∠BCF,
又∵DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,
∴DF=DG,
∴DE=DG,
∴BD平分∠CBE,
∴∠DBE=∠CBE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC,
∴∠ADB=∠DBE﹣∠BAD=(∠CBE﹣∠BAC)=∠ACB=×92°=46°,
故选:D.
12.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,在下列结论中:①∠AOB=90°+∠C;②若AB=4,OD=1,则S△ABO=2;③当∠C=60°时,AF+BE=AB;④若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的结论为(  )
A.②③ B.②④ C.②③④ D.①②④
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系,进而判定①;过O点作OP⊥AB于P,由角平分线的性质可求解OP=1,再根据三角形的面积公式计算可判定②;在AB上取一点H,使BH=BE,证得△HBO≌△EBO,得到∠BOH=∠BOE=60°,再证得△HAO≌△FAO,得到AF=AH,进而判定③正确;作ON⊥AC于N,OM⊥AB于M,根据三角形的面积可证得④正确.
【解答】解:∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
∴∠OBA=∠CBA,∠OAB=∠CAB,
∴∠AOB=180°﹣∠OBA﹣∠OAB=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=180°﹣(180°﹣∠C)=90°+∠C,故①错误;
过O点作OP⊥AB于P,
∵BF平分∠ABC,OD⊥BC,
∴OP=OD=1,
∵AB=4,
∴S△ABO=AB OP=,故②正确;
∵∠C=60°,
∴∠BAC+∠ABC=120°,
∵AE,BF分别是∠BAC与ABC的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠AOF=60°,
∴∠BOE=60°,
如图,在AB上取一点H,使BH=BE,
∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠HBO=∠EBO,
在△HBO和△EBO中,

∴△HBO≌△EBO(SAS),
∴∠BOH=∠BOE=60°,
∴∠AOH=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠AOH=∠AOF,
在△HAO和△FAO中,

∴△HAO≌△FAO(ASA),
∴AF=AH,
∴AB=BH+AH=BE+AF,故③正确;
作ON⊥AC于N,OM⊥AB于M,
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
∴点O在∠C的平分线上,
∴ON=OM=OD=a,
∵AB+AC+BC=2b,
∴S△ABC=×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD=(AB+AC+BC) a=ab,故④正确.
故选:C.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
13.如图,学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形,这样做的数学原理是利用了三角形的  稳定性 (选填“稳定性”或“不稳定性”).
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状,利用三角形不变形即三角形的稳定性,从而可得答案.
【解答】解:学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形,这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性,
故答案为:稳定性.
14.如图,△ABC≌△DEF.如果AE=10,BD=2,那么△ABC中边AB的长是  6 .
【分析】根据全等三角形的性质得到AB=DE,结合图形计算,得到答案.
【解答】解:∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,
∵AE=10,BD=2,
∴AB+DE﹣2=10,
∴AB=6,
故答案为:6.
15.如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,可求∠AED= 75° .
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°,结合三角形内角和定理求出∠CAD,根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数.
【解答】解:∵DF垂直平分线段AB,
∴DA=DB,
∴∠BAD=∠B=40°,
∵∠B=40°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣50°=90°,
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣40°=50°,
∵AE平分∠CAD,
∴∠DAE=∠CAD=×70°=25°,
∴∠AED=180﹣∠B﹣∠BAD﹣∠DAE
=180°﹣40°﹣40°﹣25°
=75°,
故答案为:75°.
16.如图,一块三角形玻璃被摔成三块,小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃,借助“全等三角形”的相关知识,只需带一块去即可,则这块玻璃的编号是  ③ .(填序号)
【分析】显然第③中有完整的三个条件,用ASA易证现要的三角形与原三角形全等.
【解答】解:因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边,利用ASA易证三角形全等,故应带第③块.
故答案为:③.
17.若三角形两条边的长分别是10,15,第三条边的长是整数,则第三条边的长的最大值是  24 .
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”进行解答即可.
【解答】解:∵15﹣10<第三边<15+10,即5<第三边<25.
∵第三条边的长是整数,
∴第三条边的长的最大值是24.
故答案为:24.
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,若DE=3,则CD= 3 .
【分析】根据角平分线性质定理即可作答.
【解答】解:∵∠C=90°,
∴CD⊥AC,
∵DE⊥AB,AD平分∠CAB,DE=3,
∴CD=DE=3.
故答案为:3.
19.已知△ABC中,∠A=70°,BD是∠ABC的角平分线,CD是∠ACB的外角角平分线,交点为D,则∠D= 35° .

【分析】由角平分线的定义可得∠CBD=∠ABC,∠DCE=∠ACE,再由三角形的外角性质可得∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠CBD+∠D,从而可求解.
【解答】解:∵BD是∠ABC的角平分线,CD是∠ACB的外角角平分线,
∴∠CBD=∠ABC,∠DCE=∠ACE,
∵∠ACE是△ABC的外角,∠DCE是△BCD的外角,
∴∠ACE=∠A+∠ABC=70°+∠ABC,∠DCE=∠CBD+∠D,
∴∠D=∠DCE﹣∠CBD
=∠ACE﹣∠CBD
=(70°+∠ABC)﹣∠CBD
=35°+∠ABC﹣∠CBD
=35°.
故答案为:35°.
20.如图所示,AD是三角形△ABC中BC边上的中线,E,F分别是AD,BE的中点,若△BFD的面积是1,则△ABC的面积是  8 .
【分析】由于F是BE的中点,BF=EF,那么△EFD和△BFD可看作等底同高的两个三角形,根据三角形的面积公式,得出△EFD和△BFD的面积相等,进而得出△BDE的面积等于△BFD的面积的2倍;同理,由于E是AD的中点,得出△ADB的面积等于△BDE面积的2倍;由于AD是BC边上的中线,得出△ABC的面积等于△ABD面积的2倍,代入求解即可.
【解答】解:∵F是BE的中点,
∴BF=EF,
∴S△EFD=S△BFD,
又∵S△BDE=S△EFD+S△BFD,
∴S△BDE=2S△BFD=2×1=2.
同理,S△ABC=2S△ABD=2×2S△BDE=4×2=8.
故答案为:8.
三.解答题(共8小题,满分60分)
21.(6分)已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)化简代数式:|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|= 2a .
(2)若AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分,求腰长AB.
【分析】(1)先根据三角形的三边关系定理可得a+b>c,a+c>b,从而可得a+b﹣c>0,b﹣a﹣c<0,再化简绝对值,然后计算整式的加减法即可得;
(2)先根据三角形中线的定义可得,再分①和②两种情况,分别求出a,c的值,从而可得三角形的三边长,然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案.
【解答】解:(1)由题意得:a+b>c,a+c>b,
∴a+b﹣c>0,b﹣a﹣c<0,
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|
=a+b﹣c+(﹣b+a+c)
=a+b﹣c﹣b+a+c
=2a.
故答案为:2a;
(2)设AB=AC=2x,BC=y,则AD=CD=x,
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分,
①当3x=15,且x+y=6,
解得,x=5,y=1,
∴三边长分别为10,10,1;
②当x+y=15且3x=6时,
解得,x=2,y=13,此时腰为4,
根据三角形三边关系,任意两边之和大于第三边,而4+4=8<13,故这种情况不存在.
∴△ABC的腰长AB为10.
22.(6分)如图,已知BC=EF,AC∥DF,∠A=∠D.求证:△ACB≌△DFE.
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB=∠F,再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE.
【解答】证明:∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠F,
在△ACB与△DFE中,

∴△ACB≌△DFE(AAS).
23.(6分)已知,如图∠B=90°,△ABC≌△CDE,B、C、D三点共线.试说明:AC⊥CE.
【分析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA=∠CED,再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD=90°,进而得到∠BCA+∠ECD=90°,再根据角之间的关系可得∠ACE=90°.
【解答】证明:∵∠B=90°,△ABC≌△CDE,
∴∠D=90°,
∴∠BCA=∠CED,
∵△DCE是直角三角形,
∴∠CED+∠ECD=90°,
∴∠BCA+∠ECD=90°,
∴∠ACE=180°﹣90°=90°,
∴AC⊥CE.
24.(6分)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E.若DE=2cm,∠B=70°,∠FAE=10°,求∠C的度数和CE的长度.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC,得到∠EAC=∠C,根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可得出∠C的度数,再由直角三角形的性质即可得出CE的长.
【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,∠B=70°,∠FAE=10°,
∴EA=EC,
∴∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠EAC+10°,
∵AF平分∠BAC,
∴∠FAB=∠EAC+10°,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴70°+2(∠C+10°)+∠C=180°,
解得,∠C=30°,
∵DE⊥AC,DE=2cm,
∴CE=2DE=4cm.
25.(8分)如图,AD是△ABC的高,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=76°,∠C=48°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B﹣∠C=42°,求∠DAE的度数.
【分析】(1)利用三角形的内角和定理和三角形高的定义先求出∠BAC、∠BAD,再利用角平分线的定义求出∠BAE,最后利用角的和差关系求出∠DAE;
(2)利用三角形的内角和定理和三角形高的定义用含∠C的式子先表示出∠BAC、∠BAD,再利用角平分线的定义用含∠C的式子表示出∠BAE,最后利用角的和差关系求出∠DAE.
【解答】解:(1)∵AD是△ABC的高,∠B=76°,∠C=48°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣76°﹣48°=56°,∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣76°=14°,
∵AE平分∠BAC,
∴,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=28°﹣14°=14°;
(2)∵∠B﹣∠C=42°,
∴∠B=∠C+42°,
∵AD是△ABC的高,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣(∠C+42°)﹣∠C=138°﹣2∠C,
∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣(∠C+42°)=48°﹣∠C,
∵AE平分∠BAC,
∴,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=69°﹣∠C﹣(48°﹣∠C)=21°.
26.(8分)如图,已知△ABC中,∠B=40°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E点.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=20,AC=16,DE=6,求S△ABC.
【分析】(1)先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数,再根据角平分线的定义,得出∠DAE的度数,最后根据直角三角形两个锐角互余,即可求解;
(2)过点D作DF⊥AC于点F,根据AD是△ABC的角平分线,DF⊥AC,DE⊥AB,得出DF=DE=6,最后个根据S△ABC=S△ACD+S△ABD即可求解.
【解答】解:(1)∵∠B=40°,∠C=76°,
∴∠BAC=180°﹣40°﹣76°=64°,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴,
∵DE⊥AB,
∴∠EDA=90°﹣∠DAE=58°.
(2)过点D作DF⊥AC于点F,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AC,DE⊥AB,
∴DF=DE=6,
∴.
27.(10分)如图1,在△ABC中,点D是AC延长线上一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G,直线DG与直线BC交于点F.
(1)证明:∠A+∠ABC=∠ACF;
(2)在图1中,若∠G=30°,求∠A的度数;
(3)如图2,连接FE,若2∠DFE=∠ABC+2∠G,求证:FE∥AD.
【分析】(1)利用三角形内角和定理以及平角的定义,即可得到∠A=∠ACF﹣∠ABC;
(2)由DE∥BC结合外角的性质可得出∠ADE=∠A+∠ABC,再根据角平分线的性质可得出∠GDE=(∠A+∠ABC),由此可得出∠GFS=(∠A+∠ABC)=∠GBF+∠G,从而得出∠G=∠A,根据∠A的度数即可得出结论;
(3)由(2)可得知:∠CDF=∠GDE=(∠A+∠ABC),∠G=∠A,再结合已知∠DFE=∠ABC+∠G,即可得出∠DFE=∠CDF,根据平行线的判定定理“内错角相等,两直线平行”即可证出FE∥AD.
【解答】(1)证明:∵△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC,
又∵∠ACB=180°﹣∠ACF,
∴180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣∠ACF,
∴∠A=∠ACF﹣∠ABC;
(2)解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC,∠GFS=∠GDE.
∵DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,
∴∠GDE=∠ACF=(∠A+∠ABC),∠GBF=∠ABC,
∴∠GFS=(∠A+∠ABC)=∠GBF+∠G,
∴∠G=∠A,
∵∠G=30°,
∴∠A=60°;
(3)证明:如图2,由(2)知:∠CDF=∠GDE=(∠A+∠ABC),∠G=∠A,
∵∠DFE=∠ABC+∠G=∠ABC+∠A=(∠A+∠ABC)=∠CDF,
∴FE∥AD.
28.(10分)如图,已知△ABC中AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点P点Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;②若点P点Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间,点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?此时相遇点距到达点B的路程是多少?
【分析】(1)①先求得BP=CQ=3,PC=BD=6,然后根据等边对等角求得∠B=∠C,最后根据SAS即可证明;
②因为VP≠VQ,所以BP≠CQ,又∠B=∠C,要使△BPD与△CQP全等,只能BP=CP=4.5,根据全等得出CQ=BD=6,然后根据运动速度求得运动时间,根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度;
(2)因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,据此列出方程,解这个方程即可求得.
【解答】解:(1)①△BPD与△CQP全等,理由如下:
∵t=1(秒),
∴BP=CQ=3(厘米),
∵AB=12,D为AB中点,
∴BD=6(厘米),
又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6(厘米),
∴PC=BD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD与△CQP中,

∴△BPD≌△CQP(SAS);
②∵VP≠VQ,
∴BP≠CQ,
又∵∠B=∠C,
要使△BPD≌△CPQ,只能BP=CP=4.5,
∵△BPD≌△CPQ,
∴CQ=BD=6.
∴点P的运动时间t===1.5(秒),
此时VQ===4(厘米/秒).
∴当点Q的运动速度为4厘米/秒时,能够使△BPD与△CQP全等.
(2)因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,
设经过x秒后P与Q第一次相遇,依题意得4x=3x+2×12,
解得x=24(秒),
此时P运动了24×3=72(厘米),
又∵△ABC的周长为33厘米,72=33×2+6,
∴点P、Q在BC边上相遇,即经过了24秒,点P与点Q第一次在BC边上相遇,此时相遇点距到达点B的路程是6厘米.