第1章 三角形的初步知识单元检测卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元检测卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列长度的线段能构成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．5，6，10 C．3，4，8 D．4，5，10
3．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A．B．C．D．
4．如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是 （　　）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
5．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x＝6 B．x＝+1 C．x＝ D．x＝﹣
6．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝40°，∠E＝115°，则∠B的度数是（　　）
A．40° B．30° C．45° D．25°
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是（　　）
A．22° B．27° C．32° D．40°
8．如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE
9．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（　　）
A．60° B．90° C．110° D．125°
10．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
11．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）
A．54° B．50° C．48° D．46°
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的结论为（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的 　 　（选填“稳定性”或“不稳定性”）．
14．如图，△ABC≌△DEF．如果AE＝10，BD＝2，那么△ABC中边AB的长是 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，可求∠AED＝　 　．
16．如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是 　 　．（填序号）
17．若三角形两条边的长分别是10，15，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是 　 　．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则CD＝　　．
19．已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　 　．
20．如图所示，AD是三角形△ABC中BC边上的中线，E，F分别是AD，BE的中点，若△BFD的面积是1，则△ABC的面积是 　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　 　．
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
22．（6分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．
23．（6分）已知，如图∠B＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．
24．（6分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E．若DE＝2cm，∠B＝70°，∠FAE＝10°，求∠C的度数和CE的长度．
25．（8分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．
26．（8分）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．
27．（10分）如图1，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，直线DG与直线BC交于点F．
（1）证明：∠A+∠ABC＝∠ACF；
（2）在图1中，若∠G＝30°，求∠A的度数；
（3）如图2，连接FE，若2∠DFE＝∠ABC+2∠G，求证：FE∥AD．
28．（10分）如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点B的路程是多少？
浙教版2023年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【解答】解：A、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
B、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
C、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
D、本选项中的两个图形，属于全等图形，符合题意；
故选：D．
2．下列长度的线段能构成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．5，6，10 C．3，4，8 D．4，5，10
【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知正确的选项．
【解答】解：A、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、5+6＞10，能组成三角形，故此选项符合题意；
C、3+4＜8，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；
B、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；
C、图形中，线段BE是△ABC的高，符合题意；
D、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；
故选：C．
4．如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是 （　　）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
【分析】利用全等三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、若AE＝AF，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“SAS”可证△ABF≌△ACE，故选项A不符合题意；
B、若∠B＝∠C，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，故选项B不符合题意；
C、若∠AEC＝∠AFB，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“AAS”可证△ABF≌△ACE，故选项C不符合题意；
D、若CE＝BF，且∠A＝∠A，AB＝AC，无法证明△ABF≌△ACE，故选项D符合题意；
故选：D．
5．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x＝6 B．x＝+1 C．x＝ D．x＝﹣
【分析】根据无理数的概念、实数的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：3是无理数，（3）2＝18，18是有理数，
故当x＝3时，能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，
故选：C．
6．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝40°，∠E＝115°，则∠B的度数是（　　）

A．40° B．30° C．45° D．25°
【分析】由全等三角形的性质可得∠C＝∠E＝115°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝115°，
∴∠C＝∠E＝115°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝25°．
故选：D．
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是（　　）

A．22° B．27° C．32° D．40°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD＝∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣42°）＝69°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝42°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．
故选：B．
8．如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE
【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．
【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；
②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；
③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．
根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，
根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（　　）
A．60° B．90° C．110° D．125°
【分析】先利用角平分线的性质说明∠ABD与∠ABC、∠ACE与∠ACB间关系，再利用外角与内角关系、三角形的内角和定理得结论．
【解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABD＝ABC，∠ACE＝ACB．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE
＝∠A+∠ABD+∠ACE
＝∠A+∠ABC+∠ACB
＝∠A+∠ABC+∠ACBA
＝（∠A+∠ABC+∠ACB）+．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，
∴∠BHC＝180°+×70°
＝90°+35°
＝125°．
故选：D．
10．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
11．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）
A．54° B．50° C．48° D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的结论为（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP＝1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP＝OD＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABO＝AB OP＝，故②正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC） a＝ab，故④正确．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的 　稳定性　（选填“稳定性”或“不稳定性”）．
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【解答】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
14．如图，△ABC≌△DEF．如果AE＝10，BD＝2，那么△ABC中边AB的长是 　6　．
【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵AE＝10，BD＝2，
∴AB+DE﹣2＝10，
∴AB＝6，
故答案为：6．
15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，可求∠AED＝　75°　．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝×70°＝25°，
∴∠AED＝180﹣∠B﹣∠BAD﹣∠DAE
＝180°﹣40°﹣40°﹣25°
＝75°，
故答案为：75°．
16．如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是 　③　．（填序号）
【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
【解答】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
17．若三角形两条边的长分别是10，15，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是 　24　．
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行解答即可．
【解答】解：∵15﹣10＜第三边＜15+10，即5＜第三边＜25．
∵第三条边的长是整数，
∴第三条边的长的最大值是24．
故答案为：24．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则CD＝　3　．
【分析】根据角平分线性质定理即可作答．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，DE＝3，
∴CD＝DE＝3．
故答案为：3．
19．已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　35°　．

【分析】由角平分线的定义可得∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，再由三角形的外角性质可得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，从而可求解．
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，
∴∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC＝70°+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，
∴∠D＝∠DCE﹣∠CBD
＝∠ACE﹣∠CBD
＝（70°+∠ABC）﹣∠CBD
＝35°+∠ABC﹣∠CBD
＝35°．
故答案为：35°．
20．如图所示，AD是三角形△ABC中BC边上的中线，E，F分别是AD，BE的中点，若△BFD的面积是1，则△ABC的面积是 　8　．
【分析】由于F是BE的中点，BF＝EF，那么△EFD和△BFD可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出△EFD和△BFD的面积相等，进而得出△BDE的面积等于△BFD的面积的2倍；同理，由于E是AD的中点，得出△ADB的面积等于△BDE面积的2倍；由于AD是BC边上的中线，得出△ABC的面积等于△ABD面积的2倍，代入求解即可．
【解答】解：∵F是BE的中点，
∴BF＝EF，
∴S△EFD＝S△BFD，
又∵S△BDE＝S△EFD+S△BFD，
∴S△BDE＝2S△BFD＝2×1＝2．
同理，S△ABC＝2S△ABD＝2×2S△BDE＝4×2＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　2a　．
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得a+b＞c，a+c＞b，从而可得a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得；
（2）先根据三角形中线的定义可得，再分①和②两种情况，分别求出a，c的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c+（﹣b+a+c）
＝a+b﹣c﹣b+a+c
＝2a．
故答案为：2a；
（2）设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
①当3x＝15，且x+y＝6，
解得，x＝5，y＝1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y＝15且3x＝6时，
解得，x＝2，y＝13，此时腰为4，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13，故这种情况不存在．
∴△ABC的腰长AB为10．
22．（6分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ACB与△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（AAS）．
23．（6分）已知，如图∠B＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．
【分析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA＝∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD＝90°，进而得到∠BCA+∠ECD＝90°，再根据角之间的关系可得∠ACE＝90°．
【解答】证明：∵∠B＝90°，△ABC≌△CDE，
∴∠D＝90°，
∴∠BCA＝∠CED，
∵△DCE是直角三角形，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠BCA+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥CE．
24．（6分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E．若DE＝2cm，∠B＝70°，∠FAE＝10°，求∠C的度数和CE的长度．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可得出∠C的度数，再由直角三角形的性质即可得出CE的长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∠B＝70°，∠FAE＝10°，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+10°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+10°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+10°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°，
∵DE⊥AC，DE＝2cm，
∴CE＝2DE＝4cm．
25．（8分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和三角形高的定义先求出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的定义求出∠BAE，最后利用角的和差关系求出∠DAE；
（2）利用三角形的内角和定理和三角形高的定义用含∠C的式子先表示出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的定义用含∠C的式子表示出∠BAE，最后利用角的和差关系求出∠DAE．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝76°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣48°＝56°，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝28°﹣14°＝14°；
（2）∵∠B﹣∠C＝42°，
∴∠B＝∠C+42°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣（∠C+42°）﹣∠C＝138°﹣2∠C，
∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣（∠C+42°）＝48°﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝69°﹣∠C﹣（48°﹣∠C）＝21°．
26．（8分）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DAE的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余，即可求解；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，得出DF＝DE＝6，最后个根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD即可求解．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°．
（2）过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝6，
∴．
27．（10分）如图1，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，直线DG与直线BC交于点F．
（1）证明：∠A+∠ABC＝∠ACF；
（2）在图1中，若∠G＝30°，求∠A的度数；
（3）如图2，连接FE，若2∠DFE＝∠ABC+2∠G，求证：FE∥AD．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及平角的定义，即可得到∠A＝∠ACF﹣∠ABC；
（2）由DE∥BC结合外角的性质可得出∠ADE＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质可得出∠GDE＝（∠A+∠ABC），由此可得出∠GFS＝（∠A+∠ABC）＝∠GBF+∠G，从而得出∠G＝∠A，根据∠A的度数即可得出结论；
（3）由（2）可得知：∠CDF＝∠GDE＝（∠A+∠ABC），∠G＝∠A，再结合已知∠DFE＝∠ABC+∠G，即可得出∠DFE＝∠CDF，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”即可证出FE∥AD．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC，
又∵∠ACB＝180°﹣∠ACF，
∴180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣∠ACF，
∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACF＝∠A+∠ABC，∠GFS＝∠GDE．
∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，
∴∠GDE＝∠ACF＝（∠A+∠ABC），∠GBF＝∠ABC，
∴∠GFS＝（∠A+∠ABC）＝∠GBF+∠G，
∴∠G＝∠A，
∵∠G＝30°，
∴∠A＝60°；
（3）证明：如图2，由（2）知：∠CDF＝∠GDE＝（∠A+∠ABC），∠G＝∠A，
∵∠DFE＝∠ABC+∠G＝∠ABC+∠A＝（∠A+∠ABC）＝∠CDF，
∴FE∥AD．
28．（10分）如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点B的路程是多少？
【分析】（1）①先求得BP＝CQ＝3，PC＝BD＝6，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5，根据全等得出CQ＝BD＝6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：
∵t＝1（秒），
∴BP＝CQ＝3（厘米），
∵AB＝12，D为AB中点，
∴BD＝6（厘米），
又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米），
∴PC＝BD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②∵VP≠VQ，
∴BP≠CQ，
又∵∠B＝∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ＝BD＝6．
∴点P的运动时间t＝＝＝1.5（秒），
此时VQ＝＝＝4（厘米/秒）．
∴当点Q的运动速度为4厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x+2×12，
解得x＝24（秒），
此时P运动了24×3＝72（厘米），
又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇，此时相遇点距到达点B的路程是6厘米．