2023年浙教版数学九年级上册第二章 简单事件的概率 章末检测（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·覃塘模拟）如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光.下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（ ）
A．不闭合开关 B．只闭合1个开关
C．只闭合2个开关 D．闭合3个开关
2．（2023·龙江模拟）甲、乙、丙三人参加班级举行的“我爱家乡”演讲比赛，需要通过抽签方式来决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·武昌模拟）有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·蚌埠模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
7．（2023·合肥模拟）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·澄城模拟）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上
C．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
9．（2022九上·永嘉月考）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
10．（2021九上·凌海期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·嘉祥期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
12．（2020九上·越城月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位．
13．在平面直角坐标系中,作OOAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A( , ),其中点A,O,B不在同一直线上且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2, , 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
14．（2022八下·盐城期末）如图，质地均匀的小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 .
15．（2022八下·大丰期中）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ．
16．（2023·金山模拟）一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为 ．
三、综合题（共8题，共66分）
17．（2021九上·胶州期中）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
18．（2023·昆明模拟） 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
19．（2023·丽江模拟）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由．
20．（2023·相城模拟）为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用汽车接送，：其他方式”．五个选项中进行选择．
（1）学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式的概率为 ．
（2）若两名学生分别从，，，，五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
21．（2022·潍城模拟）某学校为落实立德树人根本任务，使每个学生都能得到全面而个性的发展，特举办了“科学竞赛”活动，甲、乙两个班学生的成绩统计如下：
分数/分 50 60 70 80 90 100
甲班人数/人 2 5 10 18 14 1
乙班人数/人 4 4 16 4 18 4
活动规定：以60分为及格线，并分别设置了一、二、三等奖，100分为一等奖，90分为二等奖，80分为三等奖．小亮分别计算了两个班的平均分和方差，得：，，，．请你根据以上材料回答下列问题．
（1）甲、乙两个班的中位数和众数分别是多少？
（2）你认为甲、乙两个班哪个班的成绩更优秀？为什么？
（3）该校从得100分的两男三女5人中，随机选取2人参加教育局组织的竞赛，请你用列表或画树状图的方法，求出恰好选取一男一女参赛的概率．
22．（2023九上·古蔺期末）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）计算由x、y确定的点在函数的图象上的概率；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足＞6则小明胜，若x、y满足＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则.
23．（2022九下·长安月考）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于-6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
24．（2022八上·河南开学考）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 …
m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）．
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、不闭合开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
B、只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，本选项符合题意；
D、闭合3个开关，小灯泡一定会发光，属于必然事件，本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不闭合开关，小灯泡一定不会发光；只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光；只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光；闭合3个开关，小灯泡一定会发光，然后根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念进行判断.
2．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可得：共有6种等可能的情况，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况有1种，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是，
故答案为：C.
【分析】先画树状图，再求出共有6种等可能的情况，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况有1种，最后求概率即可。
3．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设三把锁分别为A，B，C，相应的钥匙分别为a，b，c，第四把钥匙为d，
画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能情况，一次打开锁的情况数有3种，
所以一次打开锁的概率是.
故答案为：B.
【分析】列举出所有情况，看任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的情况数占总情况数的多少即可.
4．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：树状图如下：
由树状图知：共有6种等可能结果，其中能让灯泡L2发光有s1s3，s3s1共2种，
∴ 能让灯泡L2发光的概率是；
故答案为：D.
【分析】由树状图知：共有6种等可能结果，其中能让灯泡L2发光有s1s3，s3s1共2种，然后利用概率公式计算即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】由题意可知：
共有6种等可能的情况数，其中反应生成的结果数是2，
∴P（ 反应生成 ）=.
故答案为：B.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： A：抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故A错误；
B：掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合这一结果，故B错误；
C：从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为=0.4，符合这一结果，故C正确；
D：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为=0.25，不符合这一结果，故D错误.
故答案为：C.
【分析】首先根据概率公式分别求出各个选项中事件对应的概率，然后进行判断.
9．【答案】D
【知识点】游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，
∴要使对甲、乙双方公平，
∴绿球和黑球的数量相等，
∴黑球的个数为2x个，
∴x+2x+2x+10，
解之：x=2.
故答案为：D
【分析】利用已知条件，可知此事件是抽取放回，要使对甲、乙双方公平，则绿球和黑球的数量相等，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
10．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为 15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有： ＝0.4，
解得x＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出长方形面积为 15m2，再求出 ＝0.4，最后计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数满足的条件求出a的范围，然后由一元二次方程有解，确定a、b的范围，再根据概率公式求解即可.
12．【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 解：∵每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
∴ 要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要4位.
故答案为：4.
【分析】结合题意先求得当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率；当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率，再由题意即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
14．【答案】3
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：根据题意，向上一面的数字可能为3，2，1共3种不同的结果，
向上数字为3的可能性：=；
向上数字为2的可能性：=；
向上数字为1的可能性：；
∵>>，
∴向上数字为3出现的可能性最大.
答：向上一面的数字有3种不同的结果，向上数字为3出现的可能性最大.
故答案为：3.
【分析】分别求出向上数字为3、2、1的可能性，再比较即得结论.
15．【答案】②①③
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：①指针落在灰色区域内的可能性是；
②指针落在灰色区域内的可能性是；
③指针落在灰色区域内的可能性是．
∵，
∴按事件发生的可能性从大到小排列为②①③.
故答案为：②①③.
【分析】根据灰色部分所占的份数除以总份数求出各个图形中指针落在灰色区域内的可能性，然后进行比较即可.
16．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】设红球、黄球和黑球的总个数为a，
∵红球、黄球、黑球的个数之比为，
∴红球的个数为：，
黄球的个数为：
黑球的个数为：，
∴摸到红球的概率为：P（摸到红球）=，
故答案为： .
【分析】利用概率公式求解即可。
17．【答案】解：列表如下所示，
摸球 转盘
2 4 6
1 1+2=3 1+4=5 1+6=7
3 3+2=5 3+4=7 3+6=9
5 5+2=7 5+4=9 5+6=11
由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，
P（小明赢）＝ ，P（小刚赢）＝ ，
∴游戏是公平的．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】列表得出所有等可能出现的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，再根据概率公式求解即可。
18．【答案】解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先列表，进而得到共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，进而根据等可能事件的概率即可求解。
19．【答案】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
2 3 4
1
2
3
4
由表可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同．
（2）解：∵方程的两个根分别为2或3，
∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4种，都不是方程的解有，两种，
∴P小明胜，P小刚胜，
∴小明获胜的概率大．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）列表即可得到共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同；
（2）根据（1）中的结果结合等可能事件的概率即可求解。
20．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表知，一共有25种等可能的结果，其中一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的有2种，
∴两名学生一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵共有5种上学方式，选择C只有1种，
∴选择C：乘坐公共交通方式的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算；
（2）列出表格，找出总情况数以及一人选择A、一人选择C的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）解：甲班总人数为：2+5+10+18+14+1=50（人），
∴甲班成绩按从小到大排列后，第25，第26名的成绩为80，80，
∴甲班的中位数为=80（分），
甲班成绩为80分的人数最多，有18人，所以甲班的众数为80分；
乙班总人数为：4+4+16+4+18+14+1=50（人），
∴乙班成绩按从小到大排列后，第25，第26名的成绩为80，80，
∴乙班的中位数为=80（分），
乙班成绩为90分的人数最多，有18人，所以乙班的众数为90分；
答：甲班：中位数为80分，众数为80分；乙班：中位数为80分，众数为90分；
（2）解：可以回答：
如果看科学知识的普及与掌握的情况，那么甲班成绩更优秀，理由：①平均分相同的情况下，甲班方差小，比乙班更均衡；②甲班及格率高于乙班；③甲班获奖总数多于乙班；（答出1条或多条正确的理由均可）
也可以回答：
如果是为了选拔特优生，那么乙班成绩更优秀，理由①乙班一等奖比甲班多；②乙班众数90分，为二等奖；甲班众数80分，为三等奖，乙班好于甲班；③乙班一、二等奖均比甲班多．
（3）解：男生用a，b，女生用1，2，3表示，列表如下：
a b 1 2 3
a ab a1 a2 a3
b ba b1 b2 b3
1 1a 1b 12 13
2 2a 2b 21 23
3 3a 3b 31 32
共有20种可能，恰好一男一女的情况有12种，
所以恰好选取一男一女参赛的概率为：．
答：恰好选取一男一女参赛的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法求解即可；
（2）根据中位数和众数分析求解即可；
（3）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．【答案】（1）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中在函数y= x+5的图象上的有4种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
∴点(x，y)在函数y= x+5的图象上的概率为：
（2）解：这个游戏不公平.
理由：∵x、y满足xy>6有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)共4种情况，x、y满足xy<6有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)共6种情况.
∴P(小明胜)=，P(小红胜)=，
∴这个游戏不公平.
公平的游戏规则为：若x、y满足则小明胜，若x、y满足xy<6则小红胜.
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）画出树状图，找出总情况数以及在函数y= x+5的图象上的点的情况数，然后根据概率公式进行计算；
（2）找出xy>6、xy<6的情况数，利用概率公式分别求出小明、小红胜的概率，然后进行比较即可判断.
23．【答案】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
则P(奇数)=，
∴P(B点移动到4)=；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；概率公式
【解析】【分析】（1）分析B点移动到4的可能性，得出正方体骰子出现数的概率，即可解决问题；
（2）当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，当A点落到原点时，可得b=-6+a-2(12-a)=3a-30=0，求出a值，即可求解；
（3）刚开始AB的距离等于15， 根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即得结论.
24．【答案】（1）0.7
（2）0.4
（3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4，
解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）
解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4；
【分析】（1）根据提供的m和n的值，分别计算出m：n的值，即可确定比值逐渐接近的值；
（2）经过大量的实验时，利用频率估计概率即可得解；
（3）求出圆的面积：总面积=0.4，即可求解.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册第二章 简单事件的概率 章末检测（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·覃塘模拟）如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光.下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（ ）
A．不闭合开关 B．只闭合1个开关
C．只闭合2个开关 D．闭合3个开关
【答案】C
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、不闭合开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
B、只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，本选项符合题意；
D、闭合3个开关，小灯泡一定会发光，属于必然事件，本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不闭合开关，小灯泡一定不会发光；只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光；只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光；闭合3个开关，小灯泡一定会发光，然后根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念进行判断.
2．（2023·龙江模拟）甲、乙、丙三人参加班级举行的“我爱家乡”演讲比赛，需要通过抽签方式来决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可得：共有6种等可能的情况，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况有1种，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是，
故答案为：C.
【分析】先画树状图，再求出共有6种等可能的情况，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况有1种，最后求概率即可。
3．（2023·武昌模拟）有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设三把锁分别为A，B，C，相应的钥匙分别为a，b，c，第四把钥匙为d，
画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能情况，一次打开锁的情况数有3种，
所以一次打开锁的概率是.
故答案为：B.
【分析】列举出所有情况，看任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的情况数占总情况数的多少即可.
4．（2023·蚌埠模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：树状图如下：
由树状图知：共有6种等可能结果，其中能让灯泡L2发光有s1s3，s3s1共2种，
∴ 能让灯泡L2发光的概率是；
故答案为：D.
【分析】由树状图知：共有6种等可能结果，其中能让灯泡L2发光有s1s3，s3s1共2种，然后利用概率公式计算即可.
5．（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
6．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
7．（2023·合肥模拟）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】由题意可知：
共有6种等可能的情况数，其中反应生成的结果数是2，
∴P（ 反应生成 ）=.
故答案为：B.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．（2023·澄城模拟）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上
C．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： A：抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故A错误；
B：掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合这一结果，故B错误；
C：从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为=0.4，符合这一结果，故C正确；
D：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为=0.25，不符合这一结果，故D错误.
故答案为：C.
【分析】首先根据概率公式分别求出各个选项中事件对应的概率，然后进行判断.
9．（2022九上·永嘉月考）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，
∴要使对甲、乙双方公平，
∴绿球和黑球的数量相等，
∴黑球的个数为2x个，
∴x+2x+2x+10，
解之：x=2.
故答案为：D
【分析】利用已知条件，可知此事件是抽取放回，要使对甲、乙双方公平，则绿球和黑球的数量相等，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
10．（2021九上·凌海期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为 15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有： ＝0.4，
解得x＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出长方形面积为 15m2，再求出 ＝0.4，最后计算求解即可。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·嘉祥期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数满足的条件求出a的范围，然后由一元二次方程有解，确定a、b的范围，再根据概率公式求解即可.
12．（2020九上·越城月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位．
【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 解：∵每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
∴ 要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要4位.
故答案为：4.
【分析】结合题意先求得当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率；当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率，再由题意即可得出答案.
13．在平面直角坐标系中,作OOAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A( , ),其中点A,O,B不在同一直线上且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2, , 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
14．（2022八下·盐城期末）如图，质地均匀的小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 .
【答案】3
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：根据题意，向上一面的数字可能为3，2，1共3种不同的结果，
向上数字为3的可能性：=；
向上数字为2的可能性：=；
向上数字为1的可能性：；
∵>>，
∴向上数字为3出现的可能性最大.
答：向上一面的数字有3种不同的结果，向上数字为3出现的可能性最大.
故答案为：3.
【分析】分别求出向上数字为3、2、1的可能性，再比较即得结论.
15．（2022八下·大丰期中）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ．
【答案】②①③
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：①指针落在灰色区域内的可能性是；
②指针落在灰色区域内的可能性是；
③指针落在灰色区域内的可能性是．
∵，
∴按事件发生的可能性从大到小排列为②①③.
故答案为：②①③.
【分析】根据灰色部分所占的份数除以总份数求出各个图形中指针落在灰色区域内的可能性，然后进行比较即可.
16．（2023·金山模拟）一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】设红球、黄球和黑球的总个数为a，
∵红球、黄球、黑球的个数之比为，
∴红球的个数为：，
黄球的个数为：
黑球的个数为：，
∴摸到红球的概率为：P（摸到红球）=，
故答案为： .
【分析】利用概率公式求解即可。
三、综合题（共8题，共66分）
17．（2021九上·胶州期中）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】解：列表如下所示，
摸球 转盘
2 4 6
1 1+2=3 1+4=5 1+6=7
3 3+2=5 3+4=7 3+6=9
5 5+2=7 5+4=9 5+6=11
由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，
P（小明赢）＝ ，P（小刚赢）＝ ，
∴游戏是公平的．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】列表得出所有等可能出现的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，再根据概率公式求解即可。
18．（2023·昆明模拟） 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先列表，进而得到共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，进而根据等可能事件的概率即可求解。
19．（2023·丽江模拟）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由．
【答案】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：
2 3 4
1
2
3
4
由表可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同．
（2）解：∵方程的两个根分别为2或3，
∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4种，都不是方程的解有，两种，
∴P小明胜，P小刚胜，
∴小明获胜的概率大．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）列表即可得到共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同；
（2）根据（1）中的结果结合等可能事件的概率即可求解。
20．（2023·相城模拟）为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用汽车接送，：其他方式”．五个选项中进行选择．
（1）学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式的概率为 ．
（2）若两名学生分别从，，，，五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表知，一共有25种等可能的结果，其中一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的有2种，
∴两名学生一人选择“ ：步行”，另一人选择“ ：乘坐公共交通”的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵共有5种上学方式，选择C只有1种，
∴选择C：乘坐公共交通方式的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算；
（2）列出表格，找出总情况数以及一人选择A、一人选择C的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．（2022·潍城模拟）某学校为落实立德树人根本任务，使每个学生都能得到全面而个性的发展，特举办了“科学竞赛”活动，甲、乙两个班学生的成绩统计如下：
分数/分 50 60 70 80 90 100
甲班人数/人 2 5 10 18 14 1
乙班人数/人 4 4 16 4 18 4
活动规定：以60分为及格线，并分别设置了一、二、三等奖，100分为一等奖，90分为二等奖，80分为三等奖．小亮分别计算了两个班的平均分和方差，得：，，，．请你根据以上材料回答下列问题．
（1）甲、乙两个班的中位数和众数分别是多少？
（2）你认为甲、乙两个班哪个班的成绩更优秀？为什么？
（3）该校从得100分的两男三女5人中，随机选取2人参加教育局组织的竞赛，请你用列表或画树状图的方法，求出恰好选取一男一女参赛的概率．
【答案】（1）解：甲班总人数为：2+5+10+18+14+1=50（人），
∴甲班成绩按从小到大排列后，第25，第26名的成绩为80，80，
∴甲班的中位数为=80（分），
甲班成绩为80分的人数最多，有18人，所以甲班的众数为80分；
乙班总人数为：4+4+16+4+18+14+1=50（人），
∴乙班成绩按从小到大排列后，第25，第26名的成绩为80，80，
∴乙班的中位数为=80（分），
乙班成绩为90分的人数最多，有18人，所以乙班的众数为90分；
答：甲班：中位数为80分，众数为80分；乙班：中位数为80分，众数为90分；
（2）解：可以回答：
如果看科学知识的普及与掌握的情况，那么甲班成绩更优秀，理由：①平均分相同的情况下，甲班方差小，比乙班更均衡；②甲班及格率高于乙班；③甲班获奖总数多于乙班；（答出1条或多条正确的理由均可）
也可以回答：
如果是为了选拔特优生，那么乙班成绩更优秀，理由①乙班一等奖比甲班多；②乙班众数90分，为二等奖；甲班众数80分，为三等奖，乙班好于甲班；③乙班一、二等奖均比甲班多．
（3）解：男生用a，b，女生用1，2，3表示，列表如下：
a b 1 2 3
a ab a1 a2 a3
b ba b1 b2 b3
1 1a 1b 12 13
2 2a 2b 21 23
3 3a 3b 31 32
共有20种可能，恰好一男一女的情况有12种，
所以恰好选取一男一女参赛的概率为：．
答：恰好选取一男一女参赛的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法求解即可；
（2）根据中位数和众数分析求解即可；
（3）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．（2023九上·古蔺期末）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）计算由x、y确定的点在函数的图象上的概率；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足＞6则小明胜，若x、y满足＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则.
【答案】（1）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中在函数y= x+5的图象上的有4种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
∴点(x，y)在函数y= x+5的图象上的概率为：
（2）解：这个游戏不公平.
理由：∵x、y满足xy>6有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)共4种情况，x、y满足xy<6有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)共6种情况.
∴P(小明胜)=，P(小红胜)=，
∴这个游戏不公平.
公平的游戏规则为：若x、y满足则小明胜，若x、y满足xy<6则小红胜.
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）画出树状图，找出总情况数以及在函数y= x+5的图象上的点的情况数，然后根据概率公式进行计算；
（2）找出xy>6、xy<6的情况数，利用概率公式分别求出小明、小红胜的概率，然后进行比较即可判断.
23．（2022九下·长安月考）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于-6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
【答案】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
则P(奇数)=，
∴P(B点移动到4)=；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；概率公式
【解析】【分析】（1）分析B点移动到4的可能性，得出正方体骰子出现数的概率，即可解决问题；
（2）当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，当A点落到原点时，可得b=-6+a-2(12-a)=3a-30=0，求出a值，即可求解；
（3）刚开始AB的距离等于15， 根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即得结论.
24．（2022八上·河南开学考）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 …
m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）．
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留）
【答案】（1）0.7
（2）0.4
（3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4，
解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）
解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4；
【分析】（1）根据提供的m和n的值，分别计算出m：n的值，即可确定比值逐渐接近的值；
（2）经过大量的实验时，利用频率估计概率即可得解；
（3）求出圆的面积：总面积=0.4，即可求解.
1 / 1
