2023年浙教版数学九年级上册2.3用频率估计概率 同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·双流期末）从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（ ）
A．0.53 B．0.87 C．1.03 D．1.05
2．（2022九上·长兴月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.85 C．0.82 D．0.84
3．（2023九上·厦门期末）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值
A． B． C． D．
4．（2023九上·嵊州期末）在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出约为（ ）
A．7 B．3 C．10 D．6
5．（2023九上·宁波期末）利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抽中的扑克牌编号是3的概率
B．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率
C．抽中的扑克牌编号大于3的概率
D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率
6．（2023九上·西安期末）某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
7．（2023九上·鄞州期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动.顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子.若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.2
8．（2023九上·成都期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
9．（2022九上·成都月考）一个袋子中装有12个球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．其活动小组想估计袋子中红球的个数，分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为3000次．请你估计袋中红球接近（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
10．（2023九上·通川期末）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·江北期末）淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注：）
展现量 50 100 1000 5000 10000 50000 100000
点击量 4 7 78 385 760 3800 7600
点击率
根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为 .
12．（2023九上·余姚期末）“头盔是生命之盔”，质检部门]对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数约有 个．
13．（2023九上·西安期末）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机换出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为 .（填整十数）
14．（2023九上·礼泉期末）在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，它们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.2，据此估计袋中黄球的个数约为 个.
15．（2023九上·沭阳期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里黄球的个数最有可能是 .
16．（2023九上·韩城期末）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 .
三、解答题（共4题，共24分）
17．（2023九上·武功期末）在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．
18．（2023九上·榆林期末）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，请你估计n的值．
19．（2021九上·富县期末） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？
20．某人承包了一池塘养鱼，他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼，把每条鱼都作上标记，放回鱼塘；过了2天，他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤，平均每条鱼估计2.3斤，你能帮助他估计一下今年的收入情况吗
四、综合题（共4题，共42分）
21．（2022九上·南海月考）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
22．（2022九上·温州期中）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 5000
优等品的频数m 9 96 951 1900 2856 4750
优等品的频率 0.9 0.96 a 0.95 0.952 b
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是 .（精确到0.01）
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
23．（2022九上·嘉兴期中）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．
（1）他们在一次实验中共掷骰子60次，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为
▲ ；
②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？
（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．
24．（2023九上·温州期末）某水果公司以9元千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为 千克；
（2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由．
（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动，
∴落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，
∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.53.
故答案为：A.
【分析】根据频率估计概率的知识可得：落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是0.82.
故答案为：C
【分析】利用表中数据，随着实验次数的增加，可知这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率逐渐趋于稳定，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.92附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.92；
故答案为：A.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：.
故可以推算出约为10.
故答案为：C.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得摸到红球的概率为。04，然后根据概率公式进行计算.
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、抽中的扑克牌编号是3的概率为，不符合试验的结果；
B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率，基本符合试验的结果；
C、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果；
D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率，不符合试验的结果.
故答案为：B.
【分析】计算出各个选项中事件的概率，将各个概率与统计图进行对比即可.
6．【答案】A
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意；
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；
C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
D.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据概率公式分别求出A、B、C、D中事件的概率，据此判断.
7．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是.
故答案为：A.
【分析】样本估计总体，频率估计概率，转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，频率为600÷2000＝0.3，因此估计总体的概率为0.3，即转动转盘一次，获得一袋橘子的概率为0.3．
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据题意得
，
解之：x=4.
故答案为：C
【分析】设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据摸出红球的频率稳定在左右，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
9．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得
.
故答案为：D
【分析】利用已知分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，可知一共做了4000次试验，再根据一个袋子中装有12个球，可求出摸出红球的概率，再利用摸出红球的概率乘以摸到红球的次数，列式计算可求解.
10．【答案】B
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设不规则图案的面积为xcm2，
∵长方形面积为20cm2，
∴小球落在不规则图案的概率为：，
由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴=0.35，
解得：x＝7，
∴不规则图案的面积大约为7cm2，
故答案为：B．
【分析】设不规则图案的面积为xcm2，易得小球落在不规则图案的概率为，由当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，根据折线图用频率估算概率，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，从而得到=0.35，解之即可解决问题.
11．【答案】7.6%
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%.
根据频率的稳定性可知，当该商品展现量为30000时，点击率约为7.6%.
故答案为：7.6%.
【分析】根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%，据此解答.
12．【答案】9600
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：通过观察发现头盔合格数稳定的频率大约是0.96，估计该工厂生产5000个头盔，合格的头盔数有10000×0.96＝9600（个）．
故答案为：9600．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，通过观察发现头盔合格的稳定频率大约是0.96，用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可．
13．【答案】40
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，
所以袋中红色球的个数为120×0.33≈40（个）.
故答案为40.
【分析】根据折线统计图以及频率估计概率的知识可得摸出球为红色的概率为0.33，乘以球的总数可得红色球的个数.
14．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设估计袋中黄球的个数约为x个，根据题意得
解之：x=20.
故答案为：20
【分析】设估计袋中黄球的个数约为x个，根据经过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.2，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
15．【答案】12个
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，袋子里黄球的个数约为（个）.
故答案为：12个.
【分析】根据频率估计概率的知识可得摸到红球的概率为0.4，则摸到黄球的概率为1-0.4，乘以球的总数可得黄球的个数.
16．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得：摸到红球的概率为0.25，然后根据概率公式进行计算.
17．【答案】解：∵摸到黑色棋子的频率稳定在25%，
∴摸到黑色棋子的概率为25%，
∴ 盒子中黑色棋子的个数为：60×25%=15（个），
答：估计盒子中黑色棋子有15个.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得 摸到黑色棋子的概率是25％，进而利用盒子中棋子的总个数乘以摸到黑色棋子的概率即可得出答案.
18．【答案】解：由题意，得 ，
解得， ，
经检验得： 是原方程的解，且符合题意，
∴估计n的值为10．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】利用红球的个数÷n=摸到红球的频率，列出关于n的方程，解方程求出n的值.
19．【答案】解：由题意，得 ，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
答：x的值大约是16.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】直接根据，列出方程即可.
20．【答案】解：设池塘中共有鱼x条，则 = ，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】由已知打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的，可得出带标记的鱼的概率，再设池塘中共有鱼x条，根据带标记的鱼的概率，列出关于x的方程求解，然后求出池塘中鱼的总质量，用总质量×单价，可解答。
21．【答案】（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个
（2）解：画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球）=．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为
【知识点】频数与频率；列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）根据题意，得
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得 ，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
【分析】（1）利用频率估算概率的计算方法求出概率，再设有x个红球，根据题意列出方程，最后求出x的值即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．【答案】（1）0.951；0.95
（2）0.95
（3）解：根据题意得： （只）
答：这批公仔中优等品大约是9500只
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）a=951÷1000=0.951；
b=4750÷5000=0.95；
故答案为：0.951，0.95
（2）∵随着实验次数的增加，优等品的频率逐渐趋于稳定，频率稳定在0.95
∴从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95
【分析】（1） 根据优等品的频率，代入计算求出a、b值即可.
（2）根据频率估计概率进行解答即可.
（3）利用（2）中概率值乘以1000，列式计算，可求出结果.
23．【答案】（1）解：① ；
②说法是错误的．在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．
（2）解：列表如下，
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种，所以P（点数之和为7）＝ ＝ ．
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）①20÷60＝ ；
故答案为：；
【分析】（1）①用朝上的点数是5的频数除以投掷的总次数即可得出答案；②此说法错误， 只有大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，此题实验的次数较少，故不能说明问题；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出表格， 由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种， 从而根据概率公式即可算出答案.
24．【答案】（1）9000
（2）解：设特级柑橘的售价为 元 千克，日销售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函数，设 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
当 时， ，
特级柑橘的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克；
（3）解：∵12天内售完这批特级柑橘，
，
解得 ，
设该公司每日销售该特级柑橘的利润为 元，
根据题意得： ，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为 元 ，
答：该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润是6750元
【知识点】一次函数的实际应用；利用频率估计概率；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知，完好的柑橘的总重量为 （千克），
故答案为：9000；
【分析】（1）由统计图可得柑橘损坏率在0.1左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，进而根据柑橘损坏率可得答案；
（2）由待定系数法得到日销售量y与销售单价x的函数关系式，再令单价为16.5即可求得答案；
（3）由12天内售完这批特级柑橘，可得特级柑橘的售价x≤19，设该公司每日销售该特级柑橘的利润为W元，根据每天的销售数量乘以当天每千克柑橘的利润=总利润建立出函数关系式，进而根据二次函数性质即可求出答案．
1 / 12023年浙教版数学九年级上册2.3用频率估计概率 同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·双流期末）从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（ ）
A．0.53 B．0.87 C．1.03 D．1.05
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动，
∴落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，
∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.53.
故答案为：A.
【分析】根据频率估计概率的知识可得：落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，据此判断.
2．（2022九上·长兴月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.85 C．0.82 D．0.84
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是0.82.
故答案为：C
【分析】利用表中数据，随着实验次数的增加，可知这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率逐渐趋于稳定，可得答案.
3．（2023九上·厦门期末）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.92附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.92；
故答案为：A.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此即可得出答案.
4．（2023九上·嵊州期末）在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出约为（ ）
A．7 B．3 C．10 D．6
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：.
故可以推算出约为10.
故答案为：C.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得摸到红球的概率为。04，然后根据概率公式进行计算.
5．（2023九上·宁波期末）利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抽中的扑克牌编号是3的概率
B．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率
C．抽中的扑克牌编号大于3的概率
D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、抽中的扑克牌编号是3的概率为，不符合试验的结果；
B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率，基本符合试验的结果；
C、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果；
D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率，不符合试验的结果.
故答案为：B.
【分析】计算出各个选项中事件的概率，将各个概率与统计图进行对比即可.
6．（2023九上·西安期末）某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
【答案】A
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意；
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；
C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
D.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据概率公式分别求出A、B、C、D中事件的概率，据此判断.
7．（2023九上·鄞州期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动.顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子.若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.2
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是.
故答案为：A.
【分析】样本估计总体，频率估计概率，转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，频率为600÷2000＝0.3，因此估计总体的概率为0.3，即转动转盘一次，获得一袋橘子的概率为0.3．
8．（2023九上·成都期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据题意得
，
解之：x=4.
故答案为：C
【分析】设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据摸出红球的频率稳定在左右，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
9．（2022九上·成都月考）一个袋子中装有12个球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．其活动小组想估计袋子中红球的个数，分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为3000次．请你估计袋中红球接近（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得
.
故答案为：D
【分析】利用已知分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，可知一共做了4000次试验，再根据一个袋子中装有12个球，可求出摸出红球的概率，再利用摸出红球的概率乘以摸到红球的次数，列式计算可求解.
10．（2023九上·通川期末）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2
【答案】B
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设不规则图案的面积为xcm2，
∵长方形面积为20cm2，
∴小球落在不规则图案的概率为：，
由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴=0.35，
解得：x＝7，
∴不规则图案的面积大约为7cm2，
故答案为：B．
【分析】设不规则图案的面积为xcm2，易得小球落在不规则图案的概率为，由当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，根据折线图用频率估算概率，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，从而得到=0.35，解之即可解决问题.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·江北期末）淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注：）
展现量 50 100 1000 5000 10000 50000 100000
点击量 4 7 78 385 760 3800 7600
点击率
根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为 .
【答案】7.6%
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%.
根据频率的稳定性可知，当该商品展现量为30000时，点击率约为7.6%.
故答案为：7.6%.
【分析】根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%，据此解答.
12．（2023九上·余姚期末）“头盔是生命之盔”，质检部门]对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数约有 个．
【答案】9600
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：通过观察发现头盔合格数稳定的频率大约是0.96，估计该工厂生产5000个头盔，合格的头盔数有10000×0.96＝9600（个）．
故答案为：9600．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，通过观察发现头盔合格的稳定频率大约是0.96，用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可．
13．（2023九上·西安期末）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机换出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为 .（填整十数）
【答案】40
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，
所以袋中红色球的个数为120×0.33≈40（个）.
故答案为40.
【分析】根据折线统计图以及频率估计概率的知识可得摸出球为红色的概率为0.33，乘以球的总数可得红色球的个数.
14．（2023九上·礼泉期末）在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，它们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.2，据此估计袋中黄球的个数约为 个.
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设估计袋中黄球的个数约为x个，根据题意得
解之：x=20.
故答案为：20
【分析】设估计袋中黄球的个数约为x个，根据经过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.2，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
15．（2023九上·沭阳期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里黄球的个数最有可能是 .
【答案】12个
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，袋子里黄球的个数约为（个）.
故答案为：12个.
【分析】根据频率估计概率的知识可得摸到红球的概率为0.4，则摸到黄球的概率为1-0.4，乘以球的总数可得黄球的个数.
16．（2023九上·韩城期末）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 .
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得：摸到红球的概率为0.25，然后根据概率公式进行计算.
三、解答题（共4题，共24分）
17．（2023九上·武功期末）在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．
【答案】解：∵摸到黑色棋子的频率稳定在25%，
∴摸到黑色棋子的概率为25%，
∴ 盒子中黑色棋子的个数为：60×25%=15（个），
答：估计盒子中黑色棋子有15个.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得 摸到黑色棋子的概率是25％，进而利用盒子中棋子的总个数乘以摸到黑色棋子的概率即可得出答案.
18．（2023九上·榆林期末）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，请你估计n的值．
【答案】解：由题意，得 ，
解得， ，
经检验得： 是原方程的解，且符合题意，
∴估计n的值为10．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】利用红球的个数÷n=摸到红球的频率，列出关于n的方程，解方程求出n的值.
19．（2021九上·富县期末） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？
【答案】解：由题意，得 ，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
答：x的值大约是16.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】直接根据，列出方程即可.
20．某人承包了一池塘养鱼，他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼，把每条鱼都作上标记，放回鱼塘；过了2天，他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤，平均每条鱼估计2.3斤，你能帮助他估计一下今年的收入情况吗
【答案】解：设池塘中共有鱼x条，则 = ，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】由已知打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的，可得出带标记的鱼的概率，再设池塘中共有鱼x条，根据带标记的鱼的概率，列出关于x的方程求解，然后求出池塘中鱼的总质量，用总质量×单价，可解答。
四、综合题（共4题，共42分）
21．（2022九上·南海月考）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个
（2）解：画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球）=．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为
【知识点】频数与频率；列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）根据题意，得
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得 ，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
【分析】（1）利用频率估算概率的计算方法求出概率，再设有x个红球，根据题意列出方程，最后求出x的值即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．（2022九上·温州期中）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 5000
优等品的频数m 9 96 951 1900 2856 4750
优等品的频率 0.9 0.96 a 0.95 0.952 b
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是 .（精确到0.01）
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
【答案】（1）0.951；0.95
（2）0.95
（3）解：根据题意得： （只）
答：这批公仔中优等品大约是9500只
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）a=951÷1000=0.951；
b=4750÷5000=0.95；
故答案为：0.951，0.95
（2）∵随着实验次数的增加，优等品的频率逐渐趋于稳定，频率稳定在0.95
∴从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95
【分析】（1） 根据优等品的频率，代入计算求出a、b值即可.
（2）根据频率估计概率进行解答即可.
（3）利用（2）中概率值乘以1000，列式计算，可求出结果.
23．（2022九上·嘉兴期中）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．
（1）他们在一次实验中共掷骰子60次，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为
▲ ；
②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？
（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．
【答案】（1）解：① ；
②说法是错误的．在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．
（2）解：列表如下，
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种，所以P（点数之和为7）＝ ＝ ．
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）①20÷60＝ ；
故答案为：；
【分析】（1）①用朝上的点数是5的频数除以投掷的总次数即可得出答案；②此说法错误， 只有大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，此题实验的次数较少，故不能说明问题；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出表格， 由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种， 从而根据概率公式即可算出答案.
24．（2023九上·温州期末）某水果公司以9元千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为 千克；
（2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由．
（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】（1）9000
（2）解：设特级柑橘的售价为 元 千克，日销售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函数，设 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
当 时， ，
特级柑橘的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克；
（3）解：∵12天内售完这批特级柑橘，
，
解得 ，
设该公司每日销售该特级柑橘的利润为 元，
根据题意得： ，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为 元 ，
答：该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润是6750元
【知识点】一次函数的实际应用；利用频率估计概率；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知，完好的柑橘的总重量为 （千克），
故答案为：9000；
【分析】（1）由统计图可得柑橘损坏率在0.1左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，进而根据柑橘损坏率可得答案；
（2）由待定系数法得到日销售量y与销售单价x的函数关系式，再令单价为16.5即可求得答案；
（3）由12天内售完这批特级柑橘，可得特级柑橘的售价x≤19，设该公司每日销售该特级柑橘的利润为W元，根据每天的销售数量乘以当天每千克柑橘的利润=总利润建立出函数关系式，进而根据二次函数性质即可求出答案．
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