第1章 二次函数单元常考题测验（含解析）

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浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元常考题测验
一、选择题（共30分）
1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C．和 D．和
5．已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．在同一坐标系中，直线和抛物线（a是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点在第三象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．与y轴的交点为
9．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是（ ）
A．米 B．10米 C．米 D．米
10．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．则下列四个结论：①；②若与是抛物线上的两个点，则；③；④当时，函数的值为．其中，正确结论的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共18分）
11．若是二次函数，则m的值为_____．
12．如果抛物线y=(a﹣1)x2的开口向下，那么a的取值范围是________．
13．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 _____．
14．一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．
15．已知如图，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线相交于、两点，求当时的x的取值范围是______．

16．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若，则b的取值范围是 ____________________．
三、解答题（共52分）
17．（6分）已知一个二次函数的图象经过点．
(1)求b的值；
(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
18．（8分）已知二次函数．

(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点在该函数图象上
①当时，则x的取值范围为___________；
②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
19．（8分）如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．
20．（8分）为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m．

(1)若矩形地的面积为，求的长；
(2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少
21．（10分）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，连接，点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)在直线上找一点，使的和最小，并求出点的坐标；
(3)将线段沿轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出的取值范围．
22．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若，
①求m的值；
②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标．
参考答案
1．D
【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a，b，c为常数)，即可一一判定．
【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数；
B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C.，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D.，是二次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键．
2．B
【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．
【详解】解：二次函数的二次项系数是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
3．A
【分析】根据抛物线的顶点式写出顶点坐标即可
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标，
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的顶点式和顶点坐标，熟练掌握抛物线顶点式是解题的关键．
4．C
【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，熟练掌握抛物线与x轴交点的纵坐标为0是解题的关键．
5．D
【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限．
【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
，，
，
在第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．
6．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
7．D
【分析】根据函数图象和解析式中的参数分析函数图象性质，分析函数图象是否可能存在．
【详解】A、由直线图象性质可得，抛物线的图象性质可得，则，故矛盾，故本选项不符合题意；
B、由直线的图象性质可得，抛物线的图象性质可得，则，则，此时对称轴在y轴的左侧，故矛盾，故本选项不符合题意；
C、由直线的图象性质可得和抛物线的图象性质可得，故矛盾，故本选项不符合题意；
D、由直线的图象性质可得，抛物线的图象性质可得和对称轴在y轴的左侧，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查的知识点：一次函数增减性质、二次函数开口方向和对称轴在y轴的左侧还是右侧、函数中参数的作用；根据图象变化确定函数中的参数正负性是解答此题的关键．
8．B
【分析】根据抛物线的对称轴，性质，顶点坐标，与y轴交点坐标的确定计算选择即可．
【详解】解：A、由，得到抛物线顶点坐标为，故对称轴为直线，故该项错误，不符合题意；
B、由，得到抛物线顶点坐标为，故顶点在第三象限，故该项正确，符合题意；
C、由，得到抛物线顶点坐标为，故当时，y随x的增大而减小，故该项错误，不符合题意；
D、由，故与y轴的交点为，故该项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，顶点坐标，与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
9．A
【分析】已知抛物线上距水面高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长．
【详解】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即，
解得，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：米．
故选：A
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题．
10．D
【分析】利用图象的信息与已知条件求得、的符号，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：抛物线的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，
，．
，①正确；
抛物线的对称轴为直线，
点，关于直线对称的对称点为，，
，
当时，随的增大而减小．
，
②正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
直线与抛物线都经过点，．
抛物线一定经过点，，
，
直线与抛物线都经过点，．
，
，
，即，③正确
当时，
，
，
，
，④正确；
综上，结论正确的有：①②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件求得、的符号，、的关系式，、的关系式是解题的关键．
11．
【分析】根据二次函数的定义，令x的指数为2，系数不为0即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴
∴且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如，a、b、c都是常数的函数叫做二次函数．
12．a<1
【分析】利用二次函数的图像及性质，列不等式求解即可．
【详解】∵抛物线y=(a﹣1)x2的开口向下，∴a-1＜0，解得：a＜1．
故答案为a<1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．”是解题的关键．
13．
【分析】把代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：把代入函数解析式，得
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．
14．
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，
∴与之间的函数关系式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．
15．或
【分析】根据图象结合A，B两点的坐标求解即可．
【详解】解：由图象可得，
∵、
∴当或时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
16．＜
【分析】设的两个根为、，则，再结合根的判别式列出不等式即可得解．
【详解】解：根据题意设的两个根为、，
则，．
，
．
①当时，，
．
又的判别式，
．
．
②当时，，
．
．
综上，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及根的判别式、不等关系间的推导，需要熟练掌握知识间的联系．
17．(1)
(2)
【分析】（1）把代入二次函数解析式即可求出b的值；
（2）根据轴对称的性质可得抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴把点代入得，
解得：；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为，
∵抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴所得抛物线解析式为，即．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)①，②
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
x …… 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
二次函数如图所示：

（2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为，
故答案为：；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线，
∵y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质．
19．(1)
(2)P点的坐标为
【分析】（1）根据题意设，则，代入抛物线的解析式即可求得，得到；
（2）根据待定系数法求得直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可设，则，
∵点A在抛物线上，
∴，
∴或（舍去），
∴；
（2）解：设直线的解析式，
∵，，
∴，解得，
∴直线为，
由解得或，
∴P点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．
20．(1)
(2)时，最大面积是
【分析】（1）根据等量关系式：，列出方程进行求解，并检验根是否符合实际意义，即可求解；
（2）设，面积为，则有（），列出函数解析式，根据的取值范围求出最值即可．
【详解】（1）解：设，则有（），由题意得
，
整理得：，
解得：，，
，
解得：，
（不合题意，舍去），
，
答：的长为．
（2）解：设，面积为，则有（），由题意得
由（1）同理可求，
，
当时，
，
故当时，矩形地的面积最大，最大面积是．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据等量关系式列出方程及函数解析式，并进行正确求解是解题的关键．
21．(1)抛物线的表达式为，抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）根据对称轴得出，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标；
（2）连接，交直线于点，点即为所求，连接，利用两点之间线段最短得出的和最小，由待定系数法确定直线的表达式为，即可确定点P的坐标；
（3）根据题意得：点的运动轨迹为射线，点A的运动轨迹为射线，若线段与抛物线有唯一交点，则线段在线段间平移（含线段），由抛物线的对称性得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得．
∴．
把点代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为．
把代入，得，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）如图1，连接，交直线于点，点即为所求．
连接，由抛物线的对称性可知点A与点关于直线对称，
则点的坐标为．
此时，即的和最小．
，令，则．
∴点的坐标为．
设直线的表达式为，
把点，代入可得解得
∴直线的表达式为．
当时，．
∴点的坐标为．

（3）．
如图2，根据题意得：点的运动轨迹为射线，点A的运动轨迹为射线，
若线段与抛物线有唯一交点，则线段在线段间平移（含线段），
由抛物线的对称性得，，
∴当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为．

【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，线段最短问题及交点问题，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
22．(1)
(2)①；②或或．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）①根据题意得到，，，然后表示出，，，根据利用勾股定理列方程求解即可；
②过点P作轴于H，交于点Q，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：∵点，在抛物线图象上，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：,
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）①解：当时，即
∴设
∵
∴
∴
∴，
当时，
∴
∴
∴，，
∵
∴，
∴
∴整理得，
将代入得，
可得，，
∴将代入，得
∴解得或0（舍去）
∴；
②∵
∴，，抛物线解析式为，
∴设直线的解析式为，代入B、C坐标得，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于点H，交于点Q，如图，

设，则，
∴，
∴
；
∵，
∴抛物线开口向下，
∴
∵S为正偶数
∴或4，
∴当时，即，解得
∴或；
当时，即，解得
∴
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键．