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3.3 垂径定理（1）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、已知如图．用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
2、如图，点P在⊙O内，过P点作一条弦AB，使弦AB是所有经过P点的弦中最短的弦，并作出弦AB所对的优弧的中点.21教育网
3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点. 求证：AC=BD.
4、 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长. www.21-cn-jy.com
5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1) 请写出三个不同类型的正确结论；
(2) 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.
第二部分
1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（ ）
A．一条 B 两条 C．一条 D．无数条
2. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ）
A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
3. 如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是…………………………………………………………………（ ）
A. CE＝DE B.
C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD
4.如图，的直径为26cm，弦长为24cm，则点到的距离为 ．
5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于………………（ ）
A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm
6. 已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若 ，则CE=DE. (只需填写一个你认为适当的条件)21·cn·jy·com
8. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.
9. 在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为cm，计算：
(l) 点到AB的距离；(2) ∠AOB的度数．
10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )(2) 延PO交⊙O于C.
AB就是所求的弦，点C就是弦AB所对的优弧的中点.
3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点. 求证：AC=BD.
【分析】怎样证AC=BD？由于△OCD是等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形，作OE⊥CD于E后，由等腰三角形“三线合一”得CE=DE，又根据垂径定理得E为弦AB的中点，两者相关减即可.2·1·c·n·j·y
【解】作OE⊥CD于E. 则由垂径定理，得AE=BE.
∵△OCD为等腰三角形，∴CE=DE. ∴AC=BD.
4、 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长. 【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】这是应用垂径定理进行计算的一个基础题. 先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB=2AM.21世纪教育网版权所有
【解】连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM.
∵CD=15 cm，∴OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，∴OM=4.5cm.
在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM=cm，即AB=12cm.
5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1) 请写出三个不同类型的正确结论；
(2) 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.
【解】(1) 如BE=CE，，∠BED=90°，△BOD是等腰三角形等等.
(2) ∵OD⊥BC，BC=8，∴BE=4.
在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，
∴r2=42+(r-2)2，解得r=5.
第二部分
1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（ ）
A．一条 B 两条 C．一条 D．无数条
答案：D
2. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ）
A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
答案：B
3. 如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， ( http: / / www.21cnjy.com )垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是…………………………………………………………………（ ）
A. CE＝DE B.
C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD
答案：D
4.如图，的直径为26cm，弦长为24cm，则点到的距离为 ．
答案：5cm
5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于…………………………（ ）
A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm
答案：C
6. 已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .
答案：60°
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若 ，则CE=DE. (只需填写一个你认为适当的条件)21cnjy.com
答案：AB⊥CD
8. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.
答案：8
9. 在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为cm，计算：
(l) 点到AB的距离；(2) ∠AOB的度数．
解：(1) 作OC⊥AB于C，连结OA.
∵AB=cm，∴AC=cm，∴OC=cm.
(2) ∵OC⊥AB，AC=OC，∴∠AOC=45°，即∠AOB=90°.
10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.
图3
P
A
B
O
E
图3
P
A
B
O
E
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新浙教版数学九年级（上）
3.3 垂径定理（1）
点与圆的位置关系
点在圆外
这个点到圆心的距离大于半径
点在圆上
点在圆内
这个点到圆心的距离等于半径
这个点到圆心的距离小于半径
复习旧知、掌握新知
圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
请观察下列三个银行标志有何共同点
复习旧知、掌握新知
(1)圆是轴对称图形吗？
(2)如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
如图，AB是⊙O的一条弦.
（2）你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）图是轴对称图形吗 如果是,
其对称轴是什么
●O
A
B
C
D
M└
⌒
⌒
小明发现图中有: AM=BM,
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
你同意小明的发现吗？你是怎样知道？
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
●O
A
B
C
D
M└
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,是计算线段长度的重要根据.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
③AM=BM,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
．
A
B
C
O
D
E
辨一辨
如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．BD=BC
⌒
⌒
C
如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论：
⌒
⌒
②AG=BG
① DG⊥AB
其中正确的是________（只需填写序号）
① ② ③
③ BD = AD
⌒
⌒
辨一辨
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点。
⌒
E
1.连结AB;
⌒
2.作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
作法:
∴点E就是所求AB的中点.
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.
⌒
⌒
画一画、比一比
●O
●M
1、如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且使AM=BM.
你能画过点M最长的弦呢
你还能画过点M最短的弦呢
例2、如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
D
C
10
8
8
解:作OC⊥AB于C,由定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
由勾股定理得:
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距
如上图中的OC的长就是弦AB的弦心距
答:截面圆心O到水面的距离为6。
例3、已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
证明:作OM⊥AB，垂足为M ,则CM=DM ∵OA=OB OM⊥AB ∴AM=BM
∴AM-CM=BM-DM
即AC=BD
．
O
A
B
C
M
D
1、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm， 求弦AB的长。
2、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：
⑴点O与AB的距离； ⑵∠AOB的度数。
3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm
A
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3．
A
B
O
M
A
5、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
2或14
6、如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
．
A
C
O
M
N
B
7、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
E
.
A
C
D
B
O
8、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。
求证：
AC=BD
⌒
⌒
