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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.4圆心角（2）
【知识重点】
圆心角定理
逆命题 1: 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
逆命题 2: 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。
逆命题 3: 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
一般地，圆有下面的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
【经典例题】
【例1】下列说法中，正确的有（ ）．
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】如图，中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于点D.当是等腰三角形时，的度数为 .
【例3】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且.若，则 度.
【例4】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
① ，
② ，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝ AB，
所有正确结论的序号是 ．
【例5】如图，ΔABC分别交0O于点A，B，D，E，且CA＝CB． 求证：AD＝BE.
【基础训练】
1．如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
3．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 .
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
5．如图，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B= °.
6．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC.若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ .
7．如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
8．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
9．如图，为的直径，半径，判断 与是否相等，并说明理由.
10．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证： .
【培优训练】
11．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
13．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
15．已知如图，是等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，，D为弧上任一点，连接，则= ．
16．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，，则的直径长为 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 .
18．如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
19．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是的中点，点E，F分别为半径OC，OB上的动点.若OB＝2，则△DEF周长的最小值为 .
20．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 ．
21．如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠A0B，∠C0D．已知CD=6，∠A0B +∠C0D=180°，则弦AB的弦心距等于 ．
22．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
23．如图，在⊙ 中， ， ，ＯC分别交AC，BD于E、F，求证：
24．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
【直击中考】
25．如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
26．如图，在
中，
为直径，
，点D为弦
的中点，点E为
上任意一点，则
的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
28．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证PA＝PC.
29．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.4圆心角（2）
【知识重点】
圆心角定理
逆命题 1: 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
逆命题 2: 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。
逆命题 3: 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
一般地，圆有下面的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
【经典例题】
【例1】下列说法中，正确的有（ ）．
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】圆心角性质是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此①不符合题意；
垂径定理的推论是平分非直径弦的直径垂直于这条弦，也平分这条弦所对的两条弧，因此②不符合题意；
等弧是能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧.因此③不符合题意；
经过圆心的直线是圆的对称轴，将分成相等的两条弧.因此④符合题意.
故答案为：A.
【例2】如图，中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于点D.当是等腰三角形时，的度数为 .
【答案】67.5°或72°
【解析】连接OC，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
则，
解得：，
∴；
当时，，
则，
解得：，
∴，
DA=DB的情况不存在，
综上所述，当是等腰三角形时，的度数为67.5°或72°，
故答案为：67.5°或72°.
【例3】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且.若，则 度.
【答案】30
【解析】∵
∴，
∴
∴
∵
∴
故答案为：30.
【例4】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
① ，
② ，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝ AB，
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝ OM＝ ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴ ，所以②符合题意；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①符合题意；③不符合题意；
∵MN＝CD＝ OA+ OB＝ AB，
∴④符合题意．
故答案为：①②④
34．如图，ΔABC分别交0O于点A，B，D，E，且CA＝CB． 求证：AD＝BE.
【答案】证明：∵AC=BC
∴∠A=∠B
∴=
∴=-，即=
∴AD=BE
【基础训练】
1．如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
2．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【解析】A、∵BC是直径，
∴OB=OC=OA=OD，故A符合题意；
B、在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠AOB=∠COD，故B不符合题意；
C、∵∠AOB=∠COD，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴AB=CD，
∴点O到AB，CD的距离相等，故D不符合题意；、
故答案为：A.
3．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 .
【答案】60°
【解析】∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝60°.
故答案为：60°.
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
【答案】30°
【解析】如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
5．如图，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B= °.
【答案】75
【解析】∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B 75°.
故答案为：75.
6．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC.若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ .
【答案】20°
【解析】如图，连接AO，BO，
∴OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA，
∵AB=BC，
∴∠BOC=∠AOB，
∴ ，
∵∠ABC=40°，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=20°.
故答案为：20°.
7．如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
【答案】64
【解析】∵弧AE=弧AC，（已知）
∴∠AOE=∠COA.
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64°.
8．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
9．如图，为的直径，半径，判断 与是否相等，并说明理由.
【答案】解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，
∴，
，
∴，，
∴，
∴.
10．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证： .
【答案】解：连结OM、ON，如图，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，∴OC=OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中 ，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠COM=∠DON，
∴
【培优训练】
11．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB=PA′+PB=A′B最小，
连接OA′，AA′.
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=
故答案为：C.
12．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【解析】如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故答案为：C．
13．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴，
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故答案为：D．
14．如图，已知 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】作
在 中，
故答案为：C.
15．已知如图，是等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，，D为弧上任一点，连接，则= ．
【答案】
【解析】∵是等边三角形，，
∴，CB=CA=BA，
设BC=a，
∴CB=CA=BA=a，，
由勾股定理得，
∵以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，
∴BA=CB=DB=a，
∴，
故答案为：
16．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，，则的直径长为 ．
【答案】15
【解析】如图，因为点D是弧的中点，
所以；
因为为的直径，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，
解得．
故答案为：15．
17．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 .
【答案】
【解析】∵AD＝CD，
∴ ，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝ AC＝5，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝ ﹣4＝ ，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝.
故答案为：.
18．如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB= .
19．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是的中点，点E，F分别为半径OC，OB上的动点.若OB＝2，则△DEF周长的最小值为 .
【答案】
【解析】连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD于P，如图，
∵ED＝EN，FM＝FD，
∴△DEF的周长＝ED+EF+FD＝EN+EF+FM＝MN，
∴此时△DEF的周长最小，
∵点D是 的中点，
∴∠BOD＝∠COD＝ ∠BOC＝30°，
∵M点与D点关于OB对称，
∴∠MOB＝∠BOD＝30°，OM＝OD＝2，
同理得∠NOC＝∠COD＝30°，ON＝OD＝2，
∵∠MON＝120°，OM＝ON＝2，
而∠MOP＝60°，
∴OP⊥MN，∠OMN＝∠ONM＝30°，
∴PM＝PN，
在Rt△OPM中，OP＝ OM＝1，
∴PM＝ OP＝ ，
∴MN＝2PM＝2 ，
∴△DEF周长的最小值为2 .
故答案为：2 .
20．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图，连接AC，OC．
∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵∠CNO＋∠OAC＝180°，
∴点N在⊙T上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝AH tan30°＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝，
∵BN≥BT TN，
∴BN≥，
∴BN的最小值为．
故答案为：.
21．如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠A0B，∠C0D．已知CD=6，∠A0B +∠C0D=180°，则弦AB的弦心距等于 ．
【答案】3
【解析】作OF⊥AB于F，作直径BE，连接AE，如图所示，
∵∠AOB+∠COD=180°，
而∠AOE+∠AOB=180°，
∴∠AOE=∠COD，
∴ = ，
∴AE=DC=6，
∵OF⊥AB，
∴BF=AF，
而OB=OE，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF= AE=3．
故答案为：3
22．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②④
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
23．如图，在⊙ 中， ， ，ＯC分别交AC，BD于E、F，求证：
【答案】解：∵ ，
∴OB⊥AC，OC⊥BD，
∴ ，
∴AC=BD，
∴OE=OF．
24．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【直击中考】
25．如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
【答案】C
【解析】∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°.
故答案为：C.
26．如图，在
中，
为直径，
，点D为弦
的中点，点E为
上任意一点，则
的大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵ ，点D为弦
的中点
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD∴∠OED<
∴∠CED>∠OEC-∠OED=
=20°．
又∵∠CED<∠ABC=40°
∴20°<∠CED<40°
故答案为C．
27．如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
【答案】（1）解：连接BD，
∵ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵ ，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
28．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证PA＝PC.
【答案】解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
29．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
【答案】30°
【解析】【解答】如图，连接OC．
∵AB是直径，弧AC=弧CD=弧BD，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
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