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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.6圆内接四边形
【知识重点】
一：圆内接四边形的概念：
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
二：圆内接四边形的性质：
圆内接四边形有以下的性质定理圆内接四边形的对角互补
三：圆内接四边形的性质（补充）：
圆内接四边形的一个外角等于其邻对角。
【经典例题】
【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20°
【例2】如图，四边形内接于，是的直径，连接.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，四边形的顶点、、在上，若，则 .
【例5】如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
【例6】如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
【基础训练】
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．80° D．100°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40° B．70° C．110° D．120°
4．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．63° B．126° C．116° D．117°
6．若四边形ABCD是圆内接四边形，它的内角∠B：∠D＝4：5，则∠B的度数是 .
7．如图，四边形为的内接四边形，若，则 ．
8．如图，四边形内接于 ，若它的一个外角 ，则的度数为 ．
9．如图，在圆内接四边形ABCD中， 、 、 的度数之比为 ，则 .
10．若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 .
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
12．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．
求证：是等腰三角形．
【培优训练】
13．如图，四边形内接于，，，，点为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，△ABC内接于⊙O，BC=6，AC=2，∠A-∠B=90°，则⊙O的面积为（ ）
A．9.6π B．10π C．10.8π D．12π
15．如图，在 的内接五边形 中， ，则 .
16．如图， 的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径 上，连接 ，若 ，则 的度数为 度．
17．如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ .
18．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
20．已知的直径为10，四边形内接于，平分．
（1）如图1，若为的直径，求的长；
（2）如图2，若，求的长．
21．如图，中，，为上一点，经过点，，，交于点，过点作，交于点．
求证：
（1）；
（2）．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD。
（1）求证：∠ABC＝45°；
（2）求证：∠DEC＝DEA；
（3）若点D的坐标为（0，9），求AE的长．
【直击中考】
23．如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径， ，则 的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
24．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是 .
26．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 .
27．如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 ，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
28．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.6圆内接四边形
【知识重点】
一：圆内接四边形的概念：
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
二：圆内接四边形的性质：
圆内接四边形有以下的性质定理圆内接四边形的对角互补
三：圆内接四边形的性质（补充）：
圆内接四边形的一个外角等于其邻对角。
【经典例题】
【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20°
【答案】B
【解析】∵
∴，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴；
∴；
故答案为：B.
【例2】如图，四边形内接于，是的直径，连接.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：B.
【例3】如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是半圆的直径，
，
，
，
由圆内接四边形的性质得：，
故答案为：C．
【例4】如图，四边形的顶点、、在上，若，则 .
【答案】100°
【解析】如图，在优弧上取一点D，连接、，
∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为100°.
【例5】如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
【答案】18
【解析】如图：连接AC、BC、DC
设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90° x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是 的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180° 4x，
∵∠ACB＋∠AEB＝180°，
∴180° 4x＋90° x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为：18．
【例6】如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
【答案】证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【基础训练】
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ）
A．60° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
故答案为：C．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【解析】∵ AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
3．如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40° B．70° C．110° D．120°
【答案】C
【解析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵ ∠AOB=140° ，
∴∠ADB= ∠AOB=70° ，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=110°.
故答案为：C.
4．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
5．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．63° B．126° C．116° D．117°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°，
∴∠A=∠DCE=63°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°，
故答案为：B.
6．若四边形ABCD是圆内接四边形，它的内角∠B：∠D＝4：5，则∠B的度数是 .
【答案】80°
【解析】∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B：∠D＝4：5，
∴∠B＝80°.
故答案为：80°.
7．如图，四边形为的内接四边形，若，则 ．
【答案】95°
【解析】四边形为的内接四边形，
，
，
，
故答案为：95°．
8．如图，四边形内接于 ，若它的一个外角 ，则的度数为 ．
【答案】
【解析】 四边形 内接于
故答案为：46°.
9．如图，在圆内接四边形ABCD中， 、 、 的度数之比为 ，则 .
【答案】100°
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，
∴∠A=180°× =40°，∠C=180°× =140°，
∠B=180°× =80°，
∴∠D=180°﹣80°=100°，
故答案为：100°.
10．若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 .
【答案】36°或144°
【解析】连接OA、OB，
∵一条弦AB把圆分成1：4两部分，如图，
∴弧AC′B的度数是 ×360°=72°，弧ACB的度数是360°﹣72°=288°，
∴∠AOB=72°，
∴∠ACB= ∠AOB=36°，
∴∠AC′B=180°﹣36°=144°，
故答案为：36°或144°.
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
12．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．
求证：是等腰三角形．
【答案】证明：，，，是上的四点，
，
，
，
，
，即是等腰三角形．
【培优训练】
13．如图，四边形内接于，，，，点为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴弧CD＝弧BC，
∴AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
由勾股定理得：AF2＝AC2 CF2，AE2＝AC2 CE2，
∴AF＝AE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FBC＝∠D，∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
在△FBC和△EDC中，
∠FBC＝∠D，∠BFC＝∠DEC，CF＝CE
∴△FBC≌△EDC（AAS），
∴BF＝DE，
∵AB＝3，AD＝5，
∴AF＋AE＝AB＋BF＋AD DE＝3＋BF＋5 DE＝3＋5＝8，
∴AF＝AE＝4，
∵∠BAC＝30°，∠AFC＝90°，
∴AC＝2CF，
∴CF2＋42＝（2CF）2，
解得：CF＝
∴AC＝2CF＝.
故答案为：B.
14．如图，△ABC内接于⊙O，BC=6，AC=2，∠A-∠B=90°，则⊙O的面积为（ ）
A．9.6π B．10π C．10.8π D．12π
【答案】B
【解析】【解答】如下图所示，过点B作圆的直径BE交圆于点E,
则∠ECB=90°，
∴∠E+∠EBC=90°，
∵圆的内接四边形对角互补,
∴∠E+∠A=180°①，
∵∠A ∠ABC=90°②，
①-②可得：∠E+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠EBC，
∴ ，
∴CE=AC=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得， ，
∴⊙O的半径为 ，
∴圆的面积= ，
故选B.
15．如图，在 的内接五边形 中， ，则 .
【答案】215
【解析】如图，连接 ，
五边形 是圆内接五边形，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
.
故答案为：215.
16．如图， 的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径 上，连接 ，若 ，则 的度数为 度．
【答案】68
【解析】∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠CDE+∠C=180°，
∵ ，
∴∠C=112°，
∵∠C+∠A=180°，
∴∠A=68°；
故答案为68．
17．如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ .
【答案】5
【解析】如图示：过 点作 交 于点 ，延长 ，过 点作 交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，即： ，
化简得： ，
∵
∴ ，
∴ ，即： ，
化简得： ，
即有 ，解之得： ，
即： ，
故答案是：5.
18．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
【答案】（1）解：连接OA，作OH⊥AC于H，
OA2+OC2=8，AC2=8，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OH= AC=，即点O到AC的距离为
（2）解：
∠B=∠AOC=45°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-45°=135°．
20．已知的直径为10，四边形内接于，平分．
（1）如图1，若为的直径，求的长；
（2）如图2，若，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，的直径为10，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形内接于，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
21．如图，中，，为上一点，经过点，，，交于点，过点作，交于点．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，
，
（2）证明：如图，连接，
，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD。
（1）求证：∠ABC＝45°；
（2）求证：∠DEC＝DEA；
（3）若点D的坐标为（0，9），求AE的长．
【答案】（1）证明：∵对应圆周角分别为∠ABE和∠ADE
又∵DE平分∠ADC且∠ADC=90
∴∠ABE=∠ADE=45°
即∠ABC=45°
（2）证明：∵OM⊥AB，OA=OB
∴AD=BD
∴∠DAB=∠DBA
∵∠DEB=∠DAB
∴∠DBA=∠DEB
∵D、B、A、E四点共圆
∴∠DBA+∠DEA=180°
又∵∠DEB+∠DEC=180°
∴∠DEA=∠DEC
（3）解：连结ME、MA
∵D的坐标为（0，9），则OM=9-R
又∵OM2+OA2=MA2，则
解得R=5 即圆M的半径为5
∴∠EMA=90°
∴EA2=MA2+ME2=25+25=50
∴EA=
【直击中考】
23．如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径， ，则 的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【解析】AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
24．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
， ，
直径 ，
，
，
.
故答案为：A.
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是 .
【答案】140°
【解析】∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°.
26．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 .
【答案】52°
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
27．如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 ，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
又 ,
四边形 是平行四边形.
（2）证明：如图，连接
，
四边形 是 的内接四边形
28．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【答案】（1）解：如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，∴PC=PB；
（2）解：如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1，在Rt△ABC中，AB= ，tan∠ACB= ，
∴∠ACB=60°，
∴BC= AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，
∵OA=OD，∴∠OAD= ∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE=∠CBD=20°
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