中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.5圆周角（2）
【知识重点】
在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等,相等的圆心角所对的弧也相等，所以根据圆周角定理还可以得到另一个推论:
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.
【经典例题】
【例1】如图，是的内接三角形，，，作，并与相交于点D，连接BD，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵AB=AC，∠BCA=65°，
∴∠BCA=∠ABC=65°，
∴∠BAC=180°-∠BCA-∠ABC=50°.
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC=50°.
∵∠ABD=∠ACD=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.
故答案为：A.
【例2】如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接OC，如图所示：
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=70°，
∵为的中点，
∴，
∴∠BOC=∠AOC=70°，
∴，
故答案为：A
【例3】如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵于点O，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°=∠ADC，
∵∠AEC为△ADE的外角，
∴∠AEC=∠DAB+∠ADC=19°+45°=64°，
故答案为：D
【例4】如图，为的直径，，是圆周上的两点，若，则的度数为 ．
【答案】52°
【解析】如图，连接AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=38°，
∴∠A=90°-38°=52°，
∴∠D=∠A=52°.
故答案为：52°.
【例5】在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 ．
【答案】160°
【解析】如图，连接OD，
∵点A为 中点，AB为直径，
∴AB⊥CD，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOD＝2∠B，
设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，
∵∠DEC＝120°，∠COD＝∠DEC+∠ODB，
∴4x＝x+120°，
解得x＝40°，
∴4x＝160°，
即∠COD＝160°，
∴ 的度数为160°.
故答案为：160°.
【例6】如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝4，
由条件不能证明AD＝BC，
故①不符合题意；
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠DBC＝90°，
故②符合题意；
∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴ 度数是 ×180°＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵AE⊥OD，
∴DE＝OE，
故③符合题意；
∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AO＝BO，AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，
故④符合题意，
故答案为：B．
【例7】如图，AB、AC是⊙O的弦，AD⊥BC于点D，交⊙O于点F，AE是⊙O的直径，试判断弦BE与弦CF的大小关系，并说明理由．
【答案】解：BE＝CF，
理由：
∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC
∴∠ABE＝90°＝∠ADC
∵∠AEB＝∠ACB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAE＝∠CAF（等角的余角相等）
∴＝，
∴BE＝CF．
【例8】如图，四边形内接于，为的直径，.
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度.
【答案】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下：
∵是圆的直径，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
中，，
∴.
【基础训练】
1．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵是的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°-41°=49°，
故答案为：C
2．如图，在中，是直径，是弦若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠BCD=44°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=46°，
∴∠ABD=∠ACD=46°.
故答案为：D.
3．已知如图，、是的弦，与坐标系x、y轴交于B、A两点，点A的坐标为，的弦的长为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O′的直径，
∵A（0，1），OB=，
∴AB=，
∴OA=AB，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=90°-30°=60°，
∴∠OCB=∠BAO=60°.
故答案为：C.
4．如图，的弦与直径相交，若，则= °.
【答案】40
【解析】∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=50°，
∴∠DBA=40°，
∴∠ACD=40°.
故答案为：40.
5．如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ，则 °
【答案】62
【解析】连接 BD ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
，
，
故答案为：62.
6．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ .
【答案】1
【解析】∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1.
故答案为1.
7．已知：如图，在⊙O中，，与相交于点M，求证：.
【答案】证明：∵，
∴，
∴.
8．如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和的长．
【答案】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵，，且是直径，
∴，，
∴，，
∴．
9．如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．
【答案】证明：∵DA＝DP，
∴∠P＝∠A．
又∵∠C＝∠A，
∴∠P＝∠C．
∴BC＝BP．
10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA=OD=2，
∵D为的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴，∴.
【培优训练】
11．如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D.若，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设折叠后的所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，
∴，
连接OA，OB，
同理，，
∴.
∵和是等圆，
∴.
设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G.
∵，，
∴，，
∴，
∴.
过点A作AM⊥BC于点M，
∵，
设，则.
∵D是BC的中点，
∴，
∴.
∵，，
∴.
在中，，
∴，
解得，
∴，.
在中，.
∵，
∴.
故答案为：D.
12．如图，在中，，，，点P是延长线上一动点，边与点M，边与点N，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接BP，
∵，，
∴，
∴点P、M、N、B在以BP为直径的圆上，设此圆心为O，连接OM、ON，
∴，
由勾股定理，可得，
∴当BP取最小值时，MN值最小，
∴当BP⊥AC于P时，此时BP值最小，则MN值最小，
过点C作CD⊥AB于D，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即MN最小值为，
故答案为：A.
13．如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【解析】连接OE、OF，过O做ON⊥EF，
即
在含的中，有
为圆的直径，为圆的半径
，即
由图可知，当点D从点B运动到点C的过程中，线段AD的长度先减小后增大
线段EF的长度先减小后增大
故答案为：C.
14．如图，、为的两条弦，，，将劣弧折叠后刚好过弦的中点，则的半径为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作DE⊥AB交圆O于点E，作BM⊥AC于点N，ON⊥BM于点N，
∴BE=BD=BC，
∵点D是AC的中点，
∴DC=AC=2，
∴DM=CM=1，
∴AM=AC-CM=4-1=3，
在Rt△ABM中
，
设MN=x，
∴（3-x）2+12=22+x2，
解之：x=1，
∴BN=BM-MN=3-1=2，
在Rt△BNO中
，
∴圆O的半径为.
故答案为：B
15．如图，为的直径，，，劣弧的长是劣弧长的2倍，则的长为 ．
【答案】
【解析】连接、、，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∵劣弧的长是劣弧长的2倍，
∴，
∴，
∴；
16．如图， 内接于 ，， 的角平分线交 于 ．若 ，，则 的长为 ．
【答案】8
【解析】连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴
∴AD=BD，
在Rt△ADB中，
；
在Rt△ACB中
.
故答案为：8
17．如图，内接于，，D是的中点，且，分别是边上的高，则的大小 度.
【答案】23
【解析】连接，
∵，是的中点，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：23.
18．飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置，，，，，如图2所示．是它们的运行轨道，弧度数为，点到点和点的距离相等，于，交于，交于，连结，，已知一架飞机从飞到的直线距离为4千公里，则轨道的半径为 千公里，当时，则线段，的长度之和为 千公里.
【答案】；
【解析】连接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC与OB的交点记为点P，
∵点B到点C和点A的距离相等，
∴BC=AB，
∴，
∴∠AOB=∠BOC
∵弧AC度数为120°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=120°，
∵OA=OB=OC，
∴△COB和△AOB都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BA＝OA，
∴四边形OCBA为菱形，
∴AC⊥OB，∠BCP＝∠BAP＝30°，OP＝BP，CP＝AP，
∵，
∴∠CDA＝∠AEH＝60°．
∵BC＝BA，
∴∠CDB＝∠ADB＝30°，
∵BD⊥CE，
∴∠DHC＝60°＝∠AHE，
∴△HDC，△AHE为等边三角形，
∴CM＝MH，
同理可证∠AEB＝∠CEB＝30°，则∠HNE＝90°，
∴HN＝AN，
∴MN是△AHC的中位线，
∴AC＝2MN＝8，
∴CP＝AP＝4，
在Rt△BCP中，∠BCP=30°，
∴即，
解之：，
∴OB=2BP=；
过C作CQ⊥AD于Q，
设CM＝HM＝x，HN＝AN＝y，则HE=2y，DH=2x，
在Rt△BME中，
，
在Rt△BDN中，
，
∴，
∴，
∵BE：BD=5：7，
∴
解之：x=3y，
同理，
在Rt△ACQ中
CQ2+AQ2=AC2，
∴，
∴
解之：（取正）
∴x=，
∴.
故答案为：，
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=45°，CD⊥AB于点D，延长CD交⊙O于点E，若点O到AB，CD的距离分别为5，3，则BD的长为 ．
【答案】2
【解析】如图，连接OA、OB，设OB与CE交于点H，过点O分别作OF⊥AB于点F，OG⊥CE于点G，
∵CD⊥AB，
∴∠OFD＝∠OGD＝∠GDF＝90°，
∴四边形OFDG是矩形，
∴OF＝GD，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOA＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBF＝45°，
∴∠DHB＝∠OHG＝45°，DB＝DH，OG=GH，
∵点O到AB，CD的距离分别为5，3，
∴OF＝GD＝5，OG＝3，
∴OG＝HG＝DG DH＝5 DB，
∴3＝5 DB，
∴DB＝2．
故答案为：2.
20．如图，在半圆中半径为，，，与交于点，
（1） ；
（2）当点恰好为的中点时， .
【答案】（1）60°
（2）
【解析】（1），，
，
，
，
为圆的直径，
，
；
故答案为：；
（2）设，
点恰好为的中点，
，
在中，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得舍去，
.
故答案为：.
21．如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，（舍去），
，
由（1）得：，
，
，
，
的长为.
22．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
【答案】（1）证明： 是 直径， ，
∴ ，
，
平分 ；
（2）证明：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，
，
∴△DFE≌△DFP（SAS） ，
，
， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，
，
；
（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，
设 ，
为直径， ，
∴ ，
，由 知 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴△AFE≌△AFP（SAS） ，
，
，
∴AG为EP的中垂线，
，
，
∵AB为直径，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△AEG≌△APG（SSS） ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设半径为 ， ，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△CHO≌△BGE（AAS） ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
则 ，
，
即 ，
令 ，
则原式为 ，
即 ，
解得： ， 舍 ，
，
负值舍去 ．
半径为10．
23．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
设，则，
∵弦于点E，，
∴，
∵，
∴，
在中：，
∴，
解得：，
∴的半径为5.
24．如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠BAE；
（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．
【答案】（1）证明：连结BE，
因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°，
在△ABE与△ADC中，
由于∠ABE＝∠ADC＝90°，
∠AEB＝∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，
所以∠DAC＝∠BAE(三角形内角和定理)．
（2）证明：连结CE，
因为点C是 的中点，
所以AC＝CE，
因为∠DAC＝∠BAE(已证)，∠FCE＝∠BAE，
所以∠DAC＝∠FCE，
所以有△CFE≌△ADC，
所以FC＝AD．
25．阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即.
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明：如图2，在上截取，连接和.
∵M是的中点，
∴
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点， ，与点E，则的周长是 .
【答案】（1）证明：如图2，在上截取，连接和.
∵M是的中点，
∴
在和中
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）
【解析】（2）如图3，截取，连接，
由题意可得：，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
则的周长是.
故答案为：.
26．如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
是等腰三角形
（2）解：如图，连接 ，过点D作 于点H，
是直径，
，
，
，
即 ，
．
，
，
【直击中考】
27．如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】连接BC，连接OD交AC点H
∵AB⊥AC，∴∠A＝90°，∴BC为⊙O的直径，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，则，
∴
∵D是的中点∴OD⊥AC，
∴AH=CH=AC=4
在Rt△OHC中，由勾股定理得OH＝3
∴DH＝OD﹣OH＝2，
在Rt△DHC中，由勾股定理得CD=
故答案为：A
28．如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
29．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为 .
【答案】
【解析】∵AC＝AD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，
在等腰Rt△OCE中，OC＝2；
因此OE＝ .
故答案为： .
30．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F.若OD＝2，则BC＝ .
【答案】
【解析】∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴ ，
∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝ ×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4 .
故答案为：4 .
31．如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
证明：∵平分，平分，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∵为直径，∴.
∴是等腰直角三角形.
另解：计算也可以得证.
（2）解：连接，，，交于点.
∵，
∴.
∵，
∴垂直平分.
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∵，∴.
设，则.
在和中，.
解得，.
∴.
∴.
另解：分别延长，相交于点.则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.5圆周角（2）
【知识重点】
在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等,相等的圆心角所对的弧也相等，所以根据圆周角定理还可以得到另一个推论:
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.
【经典例题】
【例1】如图，是的内接三角形，，，作，并与相交于点D，连接BD，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，为的直径，，是圆周上的两点，若，则的度数为 ．
【例5】在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 ．
【例6】如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【例7】如图，AB、AC是⊙O的弦，AD⊥BC于点D，交⊙O于点F，AE是⊙O的直径，试判断弦BE与弦CF的大小关系，并说明理由．
【例8】如图，四边形内接于，为的直径，.
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度.
【基础训练】
1．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是直径，是弦若，则( )
A． B． C． D．
3．已知如图，、是的弦，与坐标系x、y轴交于B、A两点，点A的坐标为，的弦的长为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的弦与直径相交，若，则= °.
5．如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ，则 °
6．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ .
7．已知：如图，在⊙O中，，与相交于点M，求证：.
8．如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和的长．
9．如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．
10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
【培优训练】
11．如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D.若，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，点P是延长线上一动点，边与点M，边与点N，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
14．如图，、为的两条弦，，，将劣弧折叠后刚好过弦的中点，则的半径为( )
A． B． C． D．
15．如图，为的直径，，，劣弧的长是劣弧长的2倍，则的长为 ．
16．如图， 内接于 ，， 的角平分线交 于 ．若 ，，则 的长为 ．
17．如图，内接于，，D是的中点，且，分别是边上的高，则的大小 度.
18．飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置，，，，，如图2所示．是它们的运行轨道，弧度数为，点到点和点的距离相等，于，交于，交于，连结，，已知一架飞机从飞到的直线距离为4千公里，则轨道的半径为 千公里，当时，则线段，的长度之和为 千公里.
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=45°，CD⊥AB于点D，延长CD交⊙O于点E，若点O到AB，CD的距离分别为5，3，则BD的长为 ．
20．如图，在半圆中半径为，，，与交于点，
（1） ；
（2）当点恰好为的中点时， .
21．如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
22．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
23．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
24．如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠BAE；
（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．
25．阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即.
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明：如图2，在上截取，连接和.
∵M是的中点，
∴
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点， ，与点E，则的周长是 .
26．如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当，时，求的长．
【直击中考】
27．如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．4
28．如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
29．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为 .
30．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F.若OD＝2，则BC＝ .
31．如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
