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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.7正多边形
【知识重点】
1．__各边相等__、__各角相等__ 的多边形是正多边形。
2．只要把一个圆分成 相等 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的 外接 圆。
3．一个正多边形的外接圆的 圆心 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 半径 叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的 圆心角 叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 边心距 。
4． 一股地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ，正多边形的中心角与外角的大小 相等 。
【经典例题】
【例1】如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【例2】如图所示，正六边形内接于，若边心距，则的半径为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【例3】如图，正五边形内接于，则 ．
【例4】
（1）正十二边形每一个内角是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于，它是几边形？
【例5】已知如图，⊙O的内接△ABC中，AB=AC，弦BD，CE分别∠ABC，∠ACB，且BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形．
【基础训练】
1．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．abc B．bac C．acb D．cba
2．如图，正六边形内接于.连接.则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C． D．2
4．若一个圆的内接正六边形的边长为2，则这个圆的半径是 .
5．如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为 .
6．如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正n边形的一边，则n的值为 ．
7．如图， 是 的内接正五边形．求证： .
8．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
（3）根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
【培优训练】
9．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（ ）cm．
A． B． C．7 D．8
10．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．2 B． C．2 D．2
11．如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝ °.
12．如图，正六边形内接于，半径为2cm，等于 cm；G为的中点，连接，等于 cm．
13．如图，已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O，当EF∥BC时，的度数为 .
14．如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 .
15．我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 16．已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
17．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
18．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
19．如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数 的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若反比例函数的图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
20．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下命题题设，请分别补充结论，不用证明．
（1）如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM与CN有何大小关系？
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM与CN有何大小关系？
（3）学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的问题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM与CN的大小关系是怎样的？请说明理由．
（4）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n边形（n≥3）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立？（不要求证明）
【直击中考】
21．如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
22．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
23．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AE=AF B．∠EAF=∠CBF C．∠F=∠EAF D．∠C=∠E
24．以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转 °.
25．如图， 为正六边形， 为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC= .
26．如图，正方形的边在正五边形的边上，则 ．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.7正多边形
【知识重点】
1．__各边相等__、__各角相等__ 的多边形是正多边形。
2．只要把一个圆分成 相等 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的 外接 圆。
3．一个正多边形的外接圆的 圆心 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 半径 叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的 圆心角 叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 边心距 。
4． 一股地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ，正多边形的中心角与外角的大小 相等 。
【经典例题】
【例1】如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】连接 ， ，
∵多边形 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵正六边形的周长是12，
∴ ，
∴ 的半径是2
故答案为：C.
【例2】如图所示，正六边形内接于，若边心距，则的半径为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】B
【解析】连接OD，
∵正六边形ABCDEF，OH是边心距，
∴∠DOH==30°，∠OHD=90°，
∴OD=2DH，
在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，
∴3+DH2=4DH2
解之：DH=1（取正），
∴DH=2.
故答案为：B
【例3】如图，正五边形内接于，则 ．
【答案】36°
【解析】∵正五边形内接于，
∴，
∴，
故答案为：36°．
【例4】
（1）正十二边形每一个内角是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于，它是几边形？
【答案】（1）解：正十二边形的每个外角的度数是：，
则正十二边形每一个内角的度数是：
（2）解：设多边形的边数是n，则
，
解得.
所以它是十二边形.
【例5】已知如图，⊙O的内接△ABC中，AB=AC，弦BD，CE分别∠ABC，∠ACB，且BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形．
【答案】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE，∵BE=BC，∴∴∠BEC=∠BCE，∵∠BCA=∠BEC，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠BAC，∴，∴五边形AEBCD是正五边形．
【基础训练】
1．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．abc B．bac C．acb D．cba
【答案】A
【解析】设圆的半径为R，
如图，
由为圆内接正三角形，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R.
如图，四边形为圆的内接正方形，
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
如图，六边形为圆的正内接六边形，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R.
∵RRR，
∴＜b＜，
故答案为：A.
2．如图，正六边形内接于.连接.则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接
∵正六边形内接于，
∴
∴，
故答案为：D.
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM＝＝30°，
∴OM＝OB cos∠BOM＝1×＝；
故答案为：B.
4．若一个圆的内接正六边形的边长为2，则这个圆的半径是 .
【答案】2
【解析】如图，
在正六边形内，
，
易证，
同理，
，
是等边三角形，
，
故答案为：2.
5．如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为 .
【答案】40
【解析】取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，
∴△ODE的面积= ×△ADE的面积= ×10=5，
圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成.
则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40，
故答案为：40.
6．如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【答案】12
【解析】如图所示，连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：12．
7．如图， 是 的内接正五边形．求证： .
【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
8．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
（3）根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
【答案】（1）60°；45°；36°；30°
（2）
（3）10
【解析】（1）解：正多边形每个内角的度数为．
；
；
正五边形的内角，；
正五边形的内角，．
（2）观察（1）中结论，
总结规律，则有．
（3）借助（2）中公式，有
，即解得．
【培优训练】
9．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（ ）cm．
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【解析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，
∴∠OGQ=∠OHB=90°
∵图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，
∴∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30°
设QG=x，则，
∵小正六边形的面积为
∴
解之：（取正），
∴小正六边形的边长为，，
∴；
∵OG⊥PM，
∴，
在Rt△OPG中
，
设BH=m，PH=5-m，
∵∠HOB=90°-60°=30°，
∴OB=2m，
∵OH2=OB2-BH2=OP2-PH2，
∴4m2-m2=72-（5-m）2，
解之：m1=4，m2=（舍去）∴该圆的半径为2×4=8.
故答案为：D
10．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．2 B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】根据题意得：正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°，正六边形的每一个内角为 ，
如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，过点O作OM⊥BC，连接OB，
∵ ，
∴ ；
如图，正方形ABCD为⊙O的内接正方形，过点O作ON⊥CD于点N，连接OD，
∵ ，
∴ ；
如图，六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形，过点O作OH⊥DE于点H，连接OE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径为4的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2， ， ，
∵ ，
∴以三条边心距为边的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积为 ．
故答案为：C
11．如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝ °.
【答案】132
【解析】如图，连接AO、BO、CO，
∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，
∴ ，
，
∴ ，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴ ，BO=CO，
∴ ，
∴∠ABC=∠ABO+ ∠CBO=60°+72°=132°.
故答案为：132.
12．如图，正六边形内接于，半径为2cm，等于 cm；G为的中点，连接，等于 cm．
【答案】2；
【解析】连接AD，AC，OC，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴；
故答案为：2，．
13．如图，已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O，当EF∥BC时，的度数为 .
【答案】
【解析】如图，连接GO，并延长交⊙O于点M，连接OB、OC、OF，
正方形ABCD和正△EFG都内接于 ⊙O ，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
则的度数为，
故答案为：.
14．如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 .
【答案】15
【解析】如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15.
15．我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 【答案】
【解析】设圆的半径为1，
∴圆的面积=2π，内接正方形周长=4，外切正方形周长=2×4=8，
∴4＜2π＜8，即2 ∵内接正六边形的边长=1，外切正六边形的周长=，
∴内接正六边形的周长=6，外切正六边形的周长=6×=4，
∴6<2π<4，即 ;
故答案为：；
16．已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
17．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
【答案】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB，
∴PQ=PA+AB+BQ=．
故S四边形PQMN=．
18．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
19．如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数 的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若反比例函数的图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
【答案】（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：
过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，
∴BP＝4，G是CD的中点，
∴ ，
∴P（4， ），
∵P在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝ ，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
由正六边形的性质可知，A（2， ），
∴点A在反比例函数图象上；
（2）解：由（1）得D（6，0），E（8， ），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝ x﹣ ，
由方程 ，
解得x＝ （负数舍去），
∴Q点横坐标为 ．
20．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下命题题设，请分别补充结论，不用证明．
（1）如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM与CN有何大小关系？
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM与CN有何大小关系？
（3）学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的问题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM与CN的大小关系是怎样的？请说明理由．
（4）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n边形（n≥3）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立？（不要求证明）
【答案】（1）解：BM=CN，理由为：
如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠BCM=∠CAN=60°，BC=CA，
∴∠BCN+∠ACN=60°，
∵∠BON=60°，
∴∠BCN+∠CBM=60°，
∴∠CBM=∠ACN，
∴△BCM≌△CAN（ASA），
∴BM=CN；
（2）解：BM=CN，理由为：
如图2，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCM=∠CDN=90°，BC=CD，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
∵∠BON=90°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN；
（3）解：BM=CN，理由为：
如图3，∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCM=∠CDN=108°，BC=CD，
∴∠BCN+∠DCN=108°，
∵∠BON=108°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN；
（4）解：由（1）（2）（3）的证明过程知，当∠BON= 时，BM=CN．
理由：如图4，∵正n边形ABCDEF…中，
∴∠BCM=∠CDN=，BC=CA，
∴∠BCN+∠DCN=，
∵∠BON=，
∴∠BCN+∠CBM=，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN．
【直击中考】
21．如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵ 是正五边形，
∴∠ABC= =108°，AB=BC，
∵ 为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC= =66°，
∴ =∠AFB+∠BFC=126°，
故答案为：C.
22．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
【答案】A
【解析】正多边形的边数为：360°÷45°=8，
则这个多边形是正八边形，
所以该正多边形的内角和为（8 2）×180°=1080°.
故答案为：A.
23．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AE=AF B．∠EAF=∠CBF C．∠F=∠EAF D．∠C=∠E
【答案】C
【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，△ABF是等边三角形，
∴AE=AB，∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=135°，AF=AB，∠F=∠FAB=∠FBA=60°，
∴AE=AF，∠EAF=∠CBF=75°，∠F≠∠EAF，
故ABD正确，C错误.
故答案为：C.
24．以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转 °.
【答案】60
【解析】∵正六边形的每一个外角=360°÷6=60°，
∴将正六边形ABCDEF以点C为旋转中心，按顺时针旋转60°，使得新正六边形的顶点第一次落在直线BC上.
故答案为：60
25．如图， 为正六边形， 为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC= .
【答案】30°
【解析】∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：30°
26．如图，正方形的边在正五边形的边上，则 ．
【答案】18
【解析】∵四边形是正方形，五边形是正五边形，
∴，
∴；
故答案为18．
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