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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.5 圆周角（1）
【知识重点】
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
2、圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
【经典例题】
【例1】如图，A、B、C是半径为3的上的三点，已知，则弦AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．3.5 D．1.5
【例2】如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【例3】如图，点在⊙O上，，则 度.
【例4】如图，已知是的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，求的度数 .
【例5】如图，有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC=30°，将它放置在0O中，点A，B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数是 °．
【例6】如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
【例7】在圆中，四点在圆上，，，，则的值为 .
【基础训练】
1．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C为上的点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知是的直径，C、D两点在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
A．B．C．D．
6．如图，是的直径，，则等于 .
7．如图，AB是的直径，点C在上，．则 ．
8．如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为 ．
9．如图，和是的两条直径，顺次连接，，和，得到四边形，则四边形的形状一定是 ．
10．如图，已知四边形内接于.求证：.
11．如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且
求证：．
12．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【培优训练】
13．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图1放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点．点A，B的度数是，，这样小明就能得到的度数．请你帮忙算算的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G.下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
15．如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是 .
16．如图， 内接于 ，， 的角平分线交 于 ．若 ，，则 的长为 ．
17．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm.
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，BD．若CD＝2OE，求∠A和∠CBD的度数．
19．已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2 ， OF=3，求⊙O的直径．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积.
23．在 中， .
（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E，求证： ；
（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得 是等腰直角三角形（保留作图痕迹，不写画法）.
【直击中考】
24．如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
25．如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
26．如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ．
27．如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.5 圆周角（1）
【知识重点】
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
2、圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
【经典例题】
【例1】如图，A、B、C是半径为3的上的三点，已知，则弦AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．3.5 D．1.5
【答案】A
【解析】∵∠C=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故答案为：A.
【例2】如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】C
【解析】如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，
则弧BN的度数是30°，
根据垂径定理得弧CN的度数是30°，
则∠AOC=90°，
又∵OA=OC=MN=2，
则AC=2．
故答案为：C.
【例2】如图，点在⊙O上，，则 度.
【答案】20
【解析】∵，同弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：20.
【例3】如图，已知是的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，求的度数 .
【答案】26°
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为： 26° .
【例4】如图，有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC=30°，将它放置在0O中，点A，B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数是 °．
【答案】120
【解析】延长AC交圆O于点D，连接BD，AO，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AD，
∴BC垂直平分AD，
∴AB=BD，
∵∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵，
∴∠AOB=2∠D=2×60°=120°，
∴劣弧AB的度数为120°.
故答案为：120
【例5】如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【例6】在圆中，四点在圆上，，，，则的值为 .
【答案】
【解析】连接AC，如图所示：
，，，设圆O半径为，
，
在中，，则，
，解得，
∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=90°，
在中，，，则，
故答案为：.
【基础训练】
1．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
故答案为：A.
2．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接OC，如图所示：
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=70°，
∵为的中点，
∴，
∴∠BOC=∠AOC=70°，
∴，
故答案为：A
3．如图，点A、B、C为上的点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵点A，B，C是⊙O上点，且，
∴，
故答案为：B.
4．如图，已知是的直径，C、D两点在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵与是所对的圆周角及圆心角，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
5．从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故答案为：B
6．如图，是的直径，，则等于 .
【答案】64°
【解析】，
，
故答案为：64°.
7．如图，AB是的直径，点C在上，．则 ．
【答案】55°
【解析】∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵．
∴∠B=55°，
故答案为：55°．
8．如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为 ．
【答案】5
【解析】如图，作直径，连接，则，，
∵，
∴，
∴的半径为5．
故答案为：5．
9．如图，和是的两条直径，顺次连接，，和，得到四边形，则四边形的形状一定是 ．
【答案】矩形
【解析】和是的两条直径，
，
四边形的形状是矩形，
故答案为：矩形．
10．如图，已知四边形内接于.求证：.
【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
11．如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且
求证：．
【答案】证明：如图：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.
∵BC=PC，
∴AC为BP的垂直平分线，
∴AB=AP，
∴∠P=∠B，
∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．
12．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= ∴BC=2BE=2×
【培优训练】
13．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图1放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点．点A，B的度数是，，这样小明就能得到的度数．请你帮忙算算的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由所给的量角器可得：∠C=，
故答案为：B。
14．如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G.下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵等腰Rt△ABC内接于圆O，且AB为直径，
∴，
∴，即平分，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
作MC⊥CD，交DA延长线于M，
∵，
∴，
∵A、C、B、D四点共圆，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵直径，，，
∴，，
∴，
四边形ADBC的面积为
，故③错误；
∵，要使四边形ADBC的周长最大，要最大，
∴当AD=BD时，四边形ADBC的周长最大，
此时，，故④正确；
综上，①②④正确；
故答案为：C.
15．如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当点P位于O点时，
，
则，此时的值最小；
当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；
由于点Р不与O，B重合，
于是.
故答案为：.
16．如图， 内接于 ，， 的角平分线交 于 ．若 ，，则 的长为 ．
【答案】8
【解析】连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴
∴AD=BD，
在Rt△ADB中，
；
在Rt△ACB中
.
故答案为：8
17．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm.
【答案】
【解析】如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E.
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵∠CAD+∠DAE＝90°，∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，BD．若CD＝2OE，求∠A和∠CBD的度数．
【答案】解：连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2OE，CB＝DB，
∴OE＝CE，
∴△COE是等腰直角三角形，
∴∠COE＝45°，
∴∠A＝ ∠COE＝22.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝67.5°，
∵CB＝DB，BE⊥CD，
∴∠DBE＝∠CBE＝67.5°，
∴∠CBD＝2∠DBE＝135°
19．已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2 ， OF=3，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：连接AE交OD于点F．
∵AB为直径，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）解：分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，
由（1）得：E为弧BC的中点，同理H为弧AC的中点，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB为直径，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP= AH，PE=BE，
∵点O为AB的中点，BE∥OD，
∴EB=OD= ，
∴PE=BE= ，同理AH=OF=3，
∴AP= ，在Rt△ABE中，AE= ，BE= ，
根据勾股定理得：AB= ，
则圆的直径为 ．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
【答案】（1）解：连接OB，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100°
∴∠ACB=∠AOB=50°
即β=50
（2）解：β=90 －α，理由如下：连接OB，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=α∴∠AOB=180 －2α
∵∠C=
∴β=90 －α
21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA=OD=2，
∵D为的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴，
∴.
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴ ＝ ，
∵E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ，
∴AE＝DE.
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝ ∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝ DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝ DE，
∴DE＝ +1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝ DE2＝ + .
23．在 中， .
（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E，求证： ；
（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得 是等腰直角三角形（保留作图痕迹，不写画法）.
【答案】（1）证明：连接
∵
∴
∵ 为直径
∴ 在 和 中，
∴
∴
（2）解：如图点D即为所求作的点，理由如下：
延长 交圆于点F，延长 交圆于点E，延长 、 交于点G，连接 ，交圆于点D， 延长线交 于点O，
为直径，
在 与 中，
在 与 中，
根据等腰三角形三线合一的性质得
在 的垂直平分线上
是等腰直角三角形.
【直击中考】
24．如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】连接OB，如图所示：
∵
∴∠BOA=60°，，
易得∠AOC=∠BOA=60°，
∴，
∴OC=2，
故答案为：B
25．如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
26．如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ．
【答案】72°
【解析】∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
27．如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．
【答案】4
【解析】由题意得OD⊥AC，∠ACB=90°，
∴AD=CD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：4
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