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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.1 圆（1）
【知识重点】
一：圆的定义：
在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
二：圆的有关概念
弦 直径 圆弧 半圆 劣弧 优弧 等圆 同心圆
（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。直径等于半径的2倍．
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”,读作“弧BC”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的 ．
半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．
能够完全重合的两条弧称之为“相等的弧”。
圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
三：点与圆的位置关系
一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
drP在圆外．
【经典例题】
【例1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
【例2】下列说法，正确的是( )
A．半径相等的两个圆大小相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．直径不一定是圆中最长的弦 D．圆上两点之间的部分叫做弦
【例3】如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例4】在Rt△ABC中， ， cm， cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C ；点B在⊙C ；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O ．
【例5】如图，⊙O的半径为1，P是⊙O外一点，OP=2，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM，则线段OM的最小值是 ．
【基础训练】
1．已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ）
A． B． C． D．
3．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点（ ）
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．在圆上或圆外
4．已知的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，正确的个数是（ ）
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．下列说法正确的有（ ）
A．圆中最长的弦是直径 B．弦是直径
C．弧是半圆 D．圆只有一条对称轴
8．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦
10．如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 .
11．已知的半径是3cm，则中最长的弦长是 ．
12．如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b c（填＜、=、＞）
13．
如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.
14．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．求证：∠1=∠2．
【培优训练】
15．如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，若以AB为直径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点C一定在⊙O外 B．点C一定在⊙O上
C．点D一定在⊙O外 D．点D一定在⊙O上
17．如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定
18．已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
19．如图，正方形和正方形的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若，则半圆O的半径是（ ）
A． B．9 C． D．
20．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
21．已知⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4），则点 与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O的外 B．点P在⊙O的上
C．点P在⊙O的内 D．不能确定
22．在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为 .
23．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ．
24．已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以点A为圆心，2 cm长为半径作⊙A，则点D与⊙A的位置关系 。若以点A为圆心作⊙A，使得B、C、D三点中有且只有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是 。
25．爆炸区 内是危险区，一人在离爆炸中心 点 的 处（如图），这人沿射线 的方向离开最快，离开 无危险．
26．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？
27．已知：如图，△ABC中， ， cm， cm，CM是中线，以C为圆心，以 cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？
28．在等腰三角形 中， ， 为 的中点，以 为直径作 ．
（1）当 等于多少度时，点 在 上？
（2）当 等于多少度时，点 在 内部？
（3）当 等于多少度时，点 在 外部？
【直击中考】
29．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
30．如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，且 ， 与 轴分别交于 ， 两点，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.1 圆（1）
【知识重点】
一：圆的定义：
在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
二：圆的有关概念
弦 直径 圆弧 半圆 劣弧 优弧 等圆 同心圆
（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。直径等于半径的2倍．
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”,读作“弧BC”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的 ．
半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．
能够完全重合的两条弧称之为“相等的弧”。
圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
三：点与圆的位置关系
一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
drP在圆外．
【经典例题】
【例1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
【答案】B
【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故不一定是等弧，错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，故正确；
C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故错误；
D、直径是最长的弦，故错误.
故答案为：B.
【例2】下列说法，正确的是( )
A．半径相等的两个圆大小相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．直径不一定是圆中最长的弦 D．圆上两点之间的部分叫做弦
【答案】A
【解析】A.根据半径确定圆的大小，故正确；
B.根据等弧的概念，长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；
C.根据三角形的两边之和大于第三边，可以证明直径是圆中最长的弦，故错误；
D.圆上任意两点间的部分叫弧，故错误．
故选A．
【例3】如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵在中，，，，
∴，
∵点在内且点B在外，
∴，
故答案为：B.
【例3】在Rt△ABC中， ， cm， cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C ；点B在⊙C ；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O ．
【答案】上；外；上
【解析】∵⊙C的半径为2cm，
而AC=2cm，BC=4cm，
∴点A在⊙C上；点B在⊙C外；
∵点C到AB的中点的距离等于 AB，
∴点C在以AB为直径的⊙O上.
故答案为：上；外；上.
【例4】如图，⊙O的半径为1，P是⊙O外一点，OP=2，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM，则线段OM的最小值是 ．
【答案】
【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图．
∵OP=2，ON=1，
∴N是OP的中点．
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN= OQ= ×1= ，
∴点M在以N为圆心， 为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为 ，
∴线段OM的最小值为 ．
故答案为： ．
【基础训练】
1．已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】∵圆的半径为2，
∴圆的直径为4，
∵是半径为2的圆的一条弦，
∴，
故答案为：A.
2．点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点到圆的距离为6，若点在圆外 ，
∴r＜6，r＞0
∴圆O的半径r的取值范围为0＜r＜6.
故答案为：A
3．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点（ ）
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．在圆上或圆外
【答案】C
【解析】∵点P到圆心O的距离为，
∴点P在圆外.
故答案为：C.
4．已知的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵点P在圆外，且⊙O的半径为3，
∴ ，
故答案为：C.
5．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵的半径是
∴中最长的弦，即直径的长为；
故答案为：C.
6．下列命题中，正确的个数是（ ）
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】连接圆上任意两点间的线段就是弦，过圆心的弦是直径，所以直径是弦，弦不一定直径，故①错误；
弦是圆上两点之间的线段，所以②错误；
圆上任意两点间的部分就是弧，直径的两个端点间的部分就是半圆，所以半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确；
直径相等的两个圆是等圆，所以④正确；
等于半径两倍的弦是直径，所以⑤错误.
故答案为：A.
7．下列说法正确的有（ ）
A．圆中最长的弦是直径 B．弦是直径
C．弧是半圆 D．圆只有一条对称轴
【答案】A
【解析】A、圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；
B、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
D、圆有无数条对称轴，故错误，不符合题意.
故答案为：A.
8．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）直径是圆中最长的弦，故（2）不符合题意，（4）符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
正确的只有一个，
故答案为：A．
9．自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦
【答案】C
【解析】因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形.
故答案为：C.
10．如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 .
【答案】96
【解析】∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：96.
11．已知的半径是3cm，则中最长的弦长是 ．
【答案】6cm
【解析】∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴中最长的弦长为cm．
故答案为：6cm．
12．如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b c（填＜、=、＞）
【答案】=
【解析】连OM,OD.
四边形OEDF是矩形.
同理
.
故答案为：=.
13．
如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.
【答案】（1）解：当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外
（2）解：当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外
14．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．求证：∠1=∠2．
【答案】解：连接OB、OC．
∵AB=AC，OC=OB，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠1=∠2．
【培优训练】
15．如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
则，，
点A恰在外，点B在内，
故答案为：A.
16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，若以AB为直径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点C一定在⊙O外 B．点C一定在⊙O上
C．点D一定在⊙O外 D．点D一定在⊙O上
【答案】A
【解析】如图，作AH⊥BC于H，BE⊥AC于E．则以AB为直径的⊙O经过点E，H，显然点C在⊙O外．
点D虽然是AC的中点，但由于△ABC的形状不确定，故点D的位置无法确定，可能在⊙O上，可能在⊙O内，可能在⊙O外．
故答案为：A.
17．如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定
【答案】A
【解析】设正方形的边长为，
则，，
，
点在外，
故答案为：A．
18．已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】D
【解析】∵平面内有一点到圆心O的距离为5，.
∴该点在圆外，
∴点N符合要求.
故答案为：D.
19．如图，正方形和正方形的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若，则半圆O的半径是（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】D
【解析】连接，
设，
∵四边形是正方形且顶点D和C在圆上，
∴，，
∵，四边形是正方形，
∴，，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得或（舍去）
当时，，
则半圆O的半径是．
故答案为：D．
20．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【解析】
∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故答案为：C．
21．已知⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4），则点 与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O的外 B．点P在⊙O的上
C．点P在⊙O的内 D．不能确定
【答案】C
【解析】∵ 点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4） ，
∴OP=，
又∵＜5，
∴点P在⊙O的内 .
故答案为：C.
22．在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为 .
【答案】5cm或3cm
【解析】①点P在圆内；如图1，
，，
，
；
②点P在圆外；如图2，
，，
，
.
故答案为：5cm或3cm.
23．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】连接BO，过O作OE⊥AB与AB交于点E，如图，
∵点，，在上，四边形是平行四边形，，
∴，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠OAB＝60°，∠AOE＝30°，
∴AE＝AO＝1，OE＝，
∴四边形的面积：2×＝
故答案为：.
24．已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以点A为圆心，2 cm长为半径作⊙A，则点D与⊙A的位置关系 。若以点A为圆心作⊙A，使得B、C、D三点中有且只有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是 。
【答案】点D在圆外；
【解析】（1）∵圆的半径为＜4
∴点D在圆外。
（2）根据题意可知，有且仅有一点在圆外时，此时该点为点C
连接AC，由勾股定理可得AC=5
∴半径的范围为4≤r＜5.
25．爆炸区 内是危险区，一人在离爆炸中心 点 的 处（如图），这人沿射线 的方向离开最快，离开 无危险．
【答案】；
【解析】【解答】∵爆炸区50m内是危险区，一人在离爆炸中心O点30m的A处，
∴这人沿射线OA的方向离开最快，离开50-30=20m无危险．
故答案为OA，20．
26．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？
【答案】解：如图，
过点A作AC⊥ON，
∵∠MON=30°，OA=80米，
∴AC=40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50，
由勾股定理得：BC=30，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD=30．
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5=18秒．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒
27．已知：如图，△ABC中， ， cm， cm，CM是中线，以C为圆心，以 cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？
【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， （cm）；∵ cm cm，∴点A在⊙O内；∵ cm cm，∴点B在⊙C外；∵ ，CM斜边上的是中线，∴ cm∴M点在⊙C上．
28．在等腰三角形 中， ， 为 的中点，以 为直径作 ．
（1）当 等于多少度时，点 在 上？
（2）当 等于多少度时，点 在 内部？
（3）当 等于多少度时，点 在 外部？
【答案】（1）解：如图所示，
当 ， 时，
当 时，点 在 上
（2）解：当 ，点 在 内部
（3）解：当 ，点 在 外部．
【直击中考】
29．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
【答案】D
【解析】点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，
如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内
故答案为D
30．如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，且 ， 与 轴分别交于 ， 两点，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，
∴OP= AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM= =3，
∴AB的最小值为2OP=6．
故答案为：C．
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