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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.1 圆（2）
【知识重点】
一：确定圆的条件
1：经过一个已知点A能作多少个圆
结论：经过一个已知点A能作无数个圆!
2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？
结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆!
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆
二：外接圆与内接三角形
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
举例、1：⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点.
知识小结
1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念
【经典例题】
【例1】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心，长为半径
C．以长为半径 D．以点O为圆心
【例2】已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【例3】如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点 ，弧的长是 .
【例4】如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．
【例5】如图，用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【基础训练】
1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
2．三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
4． 的外心在三角形的内部，则是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
5．的外心在三角形的一边上，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
6．根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )
A． B．
C． D．
7．在中，，则外接圆半径R= .
8．经过两点可以做 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆．
9．△ABC的三边为2，3， ，设其外心为O，三条高的交点为H，则OH的长为 .
10．如图，已知，利用尺规作图法作的外接圆.（不写作法，保留作图痕迹）
11．如图，在等边三角形中．
（1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）若，求的半径．
【培优训练】
12．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
13．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
14．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
15．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心
C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心
D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心
16．如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
17．如图，将 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是
A． B． C．2 D．
18．边长为2的正三角形的外接圆的半径等于 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，、、．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点与的位置关系为点在 （填内、外、上）．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 。
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ．
22．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H.若AE＝6，则⊙O的半径长为 ；EG的长为 .
23．如图，在6×6的正方形网格中，圆上A，B，C三点都在格点上，请按要求作出图中圆的圆心：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
24．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.
①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；
②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.
【直击中考】
25．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
26．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
27．如图， 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.1 圆（2）
【知识重点】
一：确定圆的条件
1：经过一个已知点A能作多少个圆
结论：经过一个已知点A能作无数个圆!
2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？
结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆!
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆
二：外接圆与内接三角形
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
举例、1：⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点.
知识小结
1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念
【经典例题】
【例1】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心，长为半径
C．以长为半径 D．以点O为圆心
【答案】B
【解析】∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项符合题意，
故答案为：B．
【例2】已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【解析】直角三角形两条直角边为3，4
那么此直角三角形的斜边为
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5
故答案为：C.
【例3】如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点 ，弧的长是 .
【答案】D；
【解析】根据题意可知，点D是△ABC外心.
连接DA、DC，
∵，，，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴弧的长是，
故答案为：D，.
【例4】如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．
【答案】解：如图所示．连接，分别作的垂直平分线，交于点O，以的长度为半径，O为圆心作圆，则即为所求，
【例5】如图，用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】解：如图所示：
【基础训练】
1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
【答案】D
【解析】，
，
解得，；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：D．
2．三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故答案为：C．
4． 的外心在三角形的内部，则是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【解析】∵锐角三角形的外心在三角形的内部，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：A.
5．的外心在三角形的一边上，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】B
【解析】当△ABC的外心在△ABC的内部时，则△ABC是锐角三角形；
当△ABC的外心在△ABC的外部时，则△ABC是钝角三角形；
当△ABC的外心在△ABC的一边时，则△ABC是直角三角形，且这边是斜边.
故答案为：B.
6．根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵A、作图是作的一个角的平分线和一边的垂直平分线，故A不符合题意；
B、作图作的是两个角的角平分线，故B不符合题意；
C、作图作的是两边的垂直平分线，故C符合题意；
D、作的是一边的垂直平分线和一边的垂线，故D不符合题意；
故答案为：C.
7．在中，，则外接圆半径R= .
【答案】2
【解析】在中，
直角三角形的外心为斜边的中点，
外接圆半径为斜边长的一半
外接圆半径
故答案为：2.
8．经过两点可以做 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆．
【答案】无数；三
【解析】经过两点可以做无数个圆，
不在同一直线的三个点可以确定一个圆，
故答案为：无数，三．
9．△ABC的三边为2，3， ，设其外心为O，三条高的交点为H，则OH的长为 .
【答案】
【解析】【解答】∵
∴△ABC为直角三角形
∴三角形的外心O在斜边中点处，三条高的交点在直角顶点处，
∴
10．如图，已知，利用尺规作图法作的外接圆.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，
圆O就是所求作的图形
11．如图，在等边三角形中．
（1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：如图，即为所求作
（2）解：连接，
∵等边三角形，，
∴，
，
∵垂直平分，
∴，
∵O为等边三角形的外接圆的圆心，
∴，
∴中，，
∴（负值舍去）
【培优训练】
12．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
【答案】A
【解析】如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
13．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【解析】如图，
当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故答案为：C.
14．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
【答案】C
【解析】如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故答案为：C.
15．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心
C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心
D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心
【答案】C
【解析】连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
∴OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，
OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，
OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心，
OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心.
故答案为：C.
16．如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【解析】【解答】由题意可知，∠BCN=60°，∠ACN=30°，
∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心是斜边AB的中点，
∵点Q是AB中点，
∴△ABC的外心是点Q，
故答案为：B．
17．如图，将 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图所示：
点O为 外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： .
故答案为：A.
18．边长为2的正三角形的外接圆的半径等于 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示，是正三角形，故O是的中心，，
∵正三角形的边长为2，OE⊥AB
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
19．如图，在平面直角坐标系中，、、．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点与的位置关系为点在 （填内、外、上）．
【答案】（1）（1，1）
（2）
（3）内
【解析】（1）如图，
∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴点是经过、、三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点即为所求．
故答案为：．
（2）∵，点在上，
∴．
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点在的内部．
故答案为：内．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 。
【答案】（5，5）
【解析】如图，
AB的垂直平分线是y=5，
BC的垂直平分线为y=x，
∴△ABC的外心为直线y=x与y=5的交点，
∴外心的坐标为（5，5）.
故答案为：（5，5）.
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ．
【答案】（1，4）或（6，5）
【解析】因为点P是钝角△ABC的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件的点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
22．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H.若AE＝6，则⊙O的半径长为 ；EG的长为 .
【答案】2 ；3﹣
【解析】如图1，连接OA、OE，过点O作OP⊥AE于P，
则AP＝PE＝ AE＝3，
∵△AEF为正三角形，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAP＝30°，
∴OA＝ ＝2 ；
连接BD、AC，AC交EF于Q，连接OF，
则AC⊥EF，
∴EQ＝ EF＝3，
在Rt△OQF中，∠OFQ＝30°，
∴OQ＝ OF＝ ，
∴CQ＝OC﹣OQ＝ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GCQ＝45°，
∴GQ＝CQ＝ ，
∴EG＝EQ﹣QG＝3﹣ ，
故答案为：2 ；3﹣ .
23．如图，在6×6的正方形网格中，圆上A，B，C三点都在格点上，请按要求作出图中圆的圆心：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
【答案】解：如图所示，
24．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.
①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；
②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.
【答案】解：①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；②连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE= BC= ×8=4，在Rt△ABE中，AE= =3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，即R2=42+（R-3）2，∴R= (cm)，答：圆片的半径R为 cm
【直击中考】
25．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
【答案】A
【解析】如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于 则四边形 是矩形，
是等边三角形，
故答案为：A
26．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【解析】∵点O是△ABC的外心，∠A=40°，
∴∠BOC=2∠A=2×40°=80°.
故答案为：C.
27．如图， 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 ，AD是 的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为 外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故答案为：D．
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