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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.8弧长及扇形的面积（1）
【知识重点】
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C= ，所以n°的同心角所对的弧长为l = 。
【经典例题】
【例1】如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
【例2】如图，将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为 ．
【例3】如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 .
【例4】如图， 的半径 ， 于点C， .求 的长.
【基础训练】
1．如图，为的直径，C是上的一点，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
5．若一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则此扇形的弧长为.
6．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm.（结果保留）
7．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为 °.
8．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 .
9．明德洞井中学，龙舞腾盛世，强健学生体魄，传承中华传统龙狮文化，如图，在训练中，龙的尾部由四个同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为120°，则整条龙的长是 米（结果保留）．
10．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？弧长的和为多少
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 ， 的长．
12．如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【培优训练】
13．把一张直径为2的半圆形纸片按如图所示方式折叠一次后展开，图中的虚线表示折痕，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C， 则弧的长是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，六边形是边长为1的正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中的圆心依次按点循环，一电子宠物从点出发，沿着“渐开线”爬至点的路径长为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，将边长为 的正六边形 在直线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点 所经过的路径（ ）
A． B． C． D．
17．如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、A、C、O在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多 米（结果保留）．
18．如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，半径OA=10，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于 ．
19．如图，点 ， ， 是 上三点， ，点 为 上一点， ，垂足为点 ， ， ， ，则 的长为 .
20．如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接.
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）.
21．如图，在中，是直径，点是上一点，点是的中点，弦于点，连接，交于点，连接，.
（1）求的度数；
（2）若，求长度（结果保留）.
22．如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）如图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝20°，求的长．
【直击中考】
23．若扇形的圆心角为，半径为18，则它的弧长为 。
24．如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm.
25．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
26．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
27．如图所示的扇形中，已知 ，则 .
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.8弧长及扇形的面积（1）
【知识重点】
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C= ，所以n°的同心角所对的弧长为l = 。
【经典例题】
【例1】如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
【答案】C
【解析】∵，是的弦，，
∴，
∵的半径为6，
∴，
故答案为：C．
【例2】如图，将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】连接，，
四边形是正方形，
，，，
由勾股定理得：，
将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，
、、三点共线，、、三点共线，
，
的长是，
故答案为：．
【例3】如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 .
【答案】2πcm
【解析】根据题意，重物的高度为
.
故答案为：2πcm.
【例4】如图， 的半径 ， 于点C， .求 的长.
【答案】解：∵OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°.
∵OA=2，
∴ 的长为：=.
【基础训练】
1．如图，为的直径，C是上的一点，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D
2．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接OC
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°，
OB=OC=BC=1，
∴的长为 ，
故答案为：A.
3．如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接OC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为 ，
故答案为：B.
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
【答案】B
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
5．若一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则此扇形的弧长为.
【答案】2π
【解析】 此扇形的弧长为 .
故答案为：2π.
6．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm.（结果保留）
【答案】5π
【解析】由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：5π.
7．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为 °.
【答案】90
【解析】∵半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，
∴，
故答案为：90.
8．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 .
【答案】90°
【解析】如图，由题意得：
设
解得：
故答案为：
9．明德洞井中学，龙舞腾盛世，强健学生体魄，传承中华传统龙狮文化，如图，在训练中，龙的尾部由四个同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为120°，则整条龙的长是 米（结果保留）．
【答案】
【解析】根据题意，龙的尾部弧形弧长为（米），
龙尾部弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，
整条龙的长是（米），
故答案为：．
10．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？弧长的和为多少
【答案】解：三个扇形的半径都是2cm，根据扇形的面积公式S= ，
因而三个扇形的面积的和就是：三个圆心角的和× ，
而三个圆心角的和是180°，
∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为180× =2πcm2.
弧长之和即为圆心角为180°，半径为2cm半圆的弧长，即 cm.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 ， 的长．
【答案】解：连接OE，
∵OA＝OE，∠BAC＝40°，
∴∠AOE＝100°，
∴ 的长＝ ＝ ，
连接AD、OD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，又AB＝AC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∴ 的长＝ ＝ 。
12．如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，
．
，
，即．
（2）解：由（1）得，
，
，
，
．
【培优训练】
13．把一张直径为2的半圆形纸片按如图所示方式折叠一次后展开，图中的虚线表示折痕，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，过点O作于点E，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴的长度是.
故答案为：C.
14．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C， 则弧的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，
∴，
∵将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在上的点处，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴的长
故答案为：B.
15．如图，六边形是边长为1的正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中的圆心依次按点循环，一电子宠物从点出发，沿着“渐开线”爬至点的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正六边形的一个外角的度数为：，
∴圆心角的度数为：，
设的弧长分别为：
由图可知：，
，
，
，
由此规律可知：，
∴一电子宠物从点出发，沿着“渐开线”爬至点的路径长为： ；
故答案为：D.
16．如图，将边长为 的正六边形 在直线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点 所经过的路径（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，A1A6=A5A6
∴∠HA1A6＝30°，
∴A6H＝ a，A1H= ＝ a，
∴A1A5＝A1A3＝ a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A2，A3，A4，A5，A6为圆心，以a， a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长＝ + + + + = .
故答案为：B.
17．如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、A、C、O在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多 米（结果保留）．
【答案】8π
【解析】∵圆心角为72°，
∴弧CD=，弧AB=，
∵AC=20米，
∴OB-OD=20米，
∴弯道外侧比内侧边线多为：-==8π.
故答案为：8π.
18．如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，半径OA=10，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于 ．
【答案】π
【解析】如图所示，连接OD，
∵△BCD是由△BCO翻折得到，
∴∠CBD＝∠CBO，∠BOD＝∠BDO，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝2∠DBC，
∵∠ODB+∠DBC＝90°，
∴∠ODB＝60°，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵∠AOB＝100°，
∴∠AOD＝∠AOB-∠DOB＝40°，
又∵OA=10，
∴弧AD的长＝＝π.
故答案为：π.
19．如图，点 ， ， 是 上三点， ，点 为 上一点， ，垂足为点 ， ， ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】在 上截取 ，连接 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
连接 ， ，
，
是等边三角形，
，
的长 .
故答案为： .
20．如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接.
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长.
21．如图，在中，是直径，点是上一点，点是的中点，弦于点，连接，交于点，连接，.
（1）求的度数；
（2）若，求长度（结果保留）.
【答案】（1）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝90°－30°＝60°，
∵C是的中点，
∴∠ABC＝∠DBC＝∠ABD＝30°；
（2）解：连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵CM⊥直径AB于点F，
∴CF＝CM＝，∠CFO=90°，
∴在Rt△COF中，∠OCF=30°，
∴OC=2OF，OF2+CF2=OC2，即，
解得：OF=4，∴OC=8，
∴的长度为.
22．如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）如图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝20°，求的长．
【答案】（1）解：如图1，∵AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠A＝∠B，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°
∴∠ABD＝45°
（2）解：如图2，连接OB、OC、OD，
∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵∠ABD＝∠BAC＝45°，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°×2＝90°，
∴∠COD＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°，
∴的长＝＝．
【直击中考】
23．若扇形的圆心角为，半径为18，则它的弧长为 。
【答案】
【解析】该扇形的弧长为：.
故答案为：.
24．如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm.
【答案】
【解析】如图，连接AD、OD、OE，
∵AB是该半圆的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
在△ABC中， AB=AC=6cm，∠BAC=50°， AD⊥BC，
∴∠DAC=25°，
∴∠DOE=2∠DAC=50°，
∴弧DE的长为：.
故答案为：.
25．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
【答案】C
【解析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2×＝8π（米），
故答案为：C．
26．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
【答案】D
【解析】∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
27．如图所示的扇形中，已知 ，则 .
【答案】100
【解析】设扇形圆心角度数为n°，
∵ ，
∴在扇形 中， ，
解得： ，
∴在扇形 中， ，
故答案为：100.
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