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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.2 图形的旋转
【知识重点】
一：旋转与旋转中心：
一般地，一个图形变为另一个图形,在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个固定的点叫做旋转中心。
二：旋转的性质：
一般地,图形的旋转有下面的性质:图形旋转所得的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称。
【经典例题】
【例1】如图所示，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点是点，若点、、在同一条直线上，则三角板旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】旋转角是
故答案为：D.
【例2】如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，
∴，，
∴.
作轴于C，轴于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【例3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好为的中点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】如图，作于点，则，
∵，为的中点，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【例4】如图，在矩形中，，，矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形，若点的对应点落在边上，则的长为 .
【答案】2
【解析】 矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB'C'D'
，
故答案为：2.
【例5】如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：.
【答案】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
在和中，
，
∴ ，
∴.
【例6】如图，△ABC为等边三角形，△ABC绕点A逆时针旋转得△ACD，且BP＝CQ.
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠APQ的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得△ACD，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACD＝∠CAD＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）
（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，
∴∠BAP+∠PAC＝∠CAQ+∠PAC＝∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ＝60°.
【基础训练】
1．以原点为中心，把点逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，
由图可知：；
故答案为：A.
2．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵将绕点A顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
.
故答案为：D.
3．如图，在△ABC中，AB
A．△AFE∽△DFC B．AD=AF
C．DA平分∠BDE D．∠CDF=∠BAD
【答案】B
【解析】∵将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴DA平分∠BDE，故C选项正确；
∵∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，故A选项正确；
∴∠CDF＝∠CAE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠CDF＝∠BAD，故D选项正确；
没有条件证明∠ADF＝∠AFD，即不能判断AD＝AF，故B选项错误．
故答案为：B.
4．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解析】因为每次旋转相同角度，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故答案为：B
5．将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将图中所示的图案 以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是 ．
故选：D．
6．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为 .
【答案】1
【解析】在中，，
∵，，
∴，
由旋转可知：，
∴.
故答案为：1.
7．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转20°得到，交于点F，则 °．
【答案】50
【解析】根据旋转的性质可得：，，
∴，
故答案为：50．
8．如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ．
【答案】2
【解析】∵ 将绕点旋转得到，
∴AB=AD=1，∠E=∠C=30°，∠D=∠B=90°，
∴AE=2AD=2.
故答案为：2.
【分析】利用旋转的性质可求出AD的长，同时可求出∠D，∠E的度数；然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AE的长.
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．
【答案】解： 把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∠B＝70°，
10．如图，在边长为4的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到，
，
，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：设，则，，
，，
，
，
，
，
解得，，
即
【培优训练】
11．如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
根据旋转的性质可得，，则，
∵，
∴，
∴，
由可得，
解得，
故答案为：B.
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为( )
A．(，-1) B．(-1，) C．(，-1) D．(1，)
【答案】B
【解析】【解答】∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝
∴A（1，）
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4＝505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2（﹣1，﹣）
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣）
故答案为：B
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．将△ABC绕点A旋转至△ADE，使AD⊥BC，DE交边AC于点F，则AF的长是( )
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】 ∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8 ，
∴，
∵ 将△ABC绕点A旋转至△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，DE=BC=10，∠E=∠C，即AD⊥AE，
又 AD⊥BC，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠EAF=∠E，
∴AF=EF，
∵∠E+∠D=90°，∠EAF+∠DAF=90°，
∴∠D=∠DAF，
∴AF=DF，即F是DE的中点，
∴AF=DE=5.
故答案为：C.
14．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边AB上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵∠A=60°，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，在Rt△ABC中，AB=2AC=4，
∴BC=，
∴，
故答案为：B．
15．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
轴，，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，
，，，
在中，，
，
设，
①，②，
①②得③，
把③代入①整理得，解得（舍去），，
当时，，
，
把代入得．
∴，
故答案为：D．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接BD，在BD上截取BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H.
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴，，，
∴，，
∴，
∵线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，
∵，，
∴，
∴DF的最小值为.
故答案为：B.
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴C（2，2），
又∵点P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°得到线段AP'
∴P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时，则P'的起点与终点分别为N和M，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，如下图所示：
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝OB＝4，
∴AN=4，AB＝ ，
∴NB＝-4，
又∵Rt△NHB是等腰直角三角形，
∴NB=HB，
∴HB＝4 ，
∴CP'＝OB HB 2＝4 （4 ） 2＝ 2．
故答案为：B.
18．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，
∴；
如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，
矩形，中心为O，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，
∴；
综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为．
故答案为：
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝ ．
【答案】30°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD=75°，
∵将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，
∴∠ABA1=∠CBC1，BC=BC1，∠C1=∠BCD=75°，
∴∠C1=∠BCC1=75°，
∠CBC1=∠ABA1=180°-75°-75°=30°.
故答案为：30°
20．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，
（1）若点B（0，2），则k＝ ；
（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则k＝ ．
【答案】（1）2
（2）8
【解析】（1）如图所示，设直线y=x与y=交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C，
∴∠BOD=∠COD=45°，
∵双曲线绕原点逆时针旋转45°与y轴交于点B，点（0，2），
∴OD=OB=2，
∴OC=CD=，
∴D（，），
∴k=×=2.
故答案为：2；
（2）∵双曲线绕原点逆时针旋转45°后得到曲线AB，
∴将点A绕原点顺时针旋转45°后得点A'，且A'在双曲线上，
如图，连接OA，过点A作AE⊥y轴，过点G作GK⊥x轴于点K，交AE于点F，过点A'作A'H⊥x轴于点H，
∴∠AOA’=45°，AG⊥OA，
∴∠OAG=90°，OA=AG，
∴∠OAE=90°-∠FAG=∠AGF，
∵∠OEA=∠AFG=90°，
∴△OAE≌△AGF（AAS），
∴OE=AF=5，AE=FG=3，
∴EF=AE+AF=8=OK，GK=FK-FG=OE-FG=2，
∴OG===2，
∵GK⊥x轴，A'H⊥x轴，
∴GK∥GK，
∴△OA'H∽△OGK，
∴，
又∵A（3，5），
∴OA'=OA==，
∴，
∴OH=4，A'H=，
∴A'（4，），
∴k=4×=8.
故答案为：8.
21．如图，在直角三角形中，，，将顺时针旋转得到，与相交于点，则的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵将顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
22．如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，延长交于点H.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数.
【答案】（1）证明：
∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质，得：，，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的度数为.
23．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由.
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线.
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF.
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF.
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.
【答案】（1）SAS；△AFE
（2）∠B+∠D=180°
（3）解：联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2.理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE.BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2.
【解析】（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）.
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：
∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°；
24．如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）比较与的大小，并证明；
（3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形如图所示
（2）解：，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
由题意可知，
∴
∴
在和中
∴≌
∴
∵
∴
∴
（3）解： 理由如下：
连接，
∵，为的中点，
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴，
∴
即
∴为等腰直角三角形
∴
∵，
∴
25．综合与实践
九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．
（1）操作探究：
如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ．若是的中点，连接，则与的数量关系是 ．
（2）迁移探究：
如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
（3）拓展应用：
如图3，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，求的长．
【答案】（1）90；
（2）解：由题意知，旋转角，
，
由旋转知，
，
，
是的中点，是等边三角形，
，
；
（3）解：①如图若逆时针旋转：
∵，，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，
∵是的中点，
∴，
∴．
②如图若顺时针旋转：
∵，，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，
∵是的中点，
∴，
∴．
∴．
∴的长度为或．
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，
，，
，
是由绕点旋转所得，
，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
；
【直击中考】
26．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴，，
∴，
∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，
∵，
∴=2，
∴（0，2）.
故答案为：D.
27．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将△FDA绕点A逆时针旋转90°到△HBA，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD，
由旋转可知AF=AH，∠ABH=90°，∠HAF=90°，∠AHB=∠AFD，∠FAD=∠HAB，
∵，，
∴∠FAD=45°-α，
∴∠FAD=∠HAB=45°-α，
∴∠AHB=∠AFD=45°+α，∠HAE=45°，
∴△AEH≌△AEF（SAS），
∴∠AHB=∠AFE=45°+α，
∴∠EFD=90°+2α，
∵∠EFD为△CEF的外角，
∴∠EFD=∠C+∠CEF，
∴，
故答案为：A
28．如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 ．
【答案】50
【解析】将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，
∴，
∵∠AOB=55°，
∴，
，
，
故答案为：50．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．
【答案】2
【解析】∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，
∴，
∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，
∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，
∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线F1F2的解析式为y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，
解得h=2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
30．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ．
【答案】2
【解析】如图，连接，过点作于，
将绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
点到的距离是2，
故答案为：2．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.2图形的旋转
【知识重点】
一：旋转与旋转中心：
一般地，一个图形变为另一个图形,在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个固定的点叫做旋转中心。
二：旋转的性质：
一般地,图形的旋转有下面的性质:图形旋转所得的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称。
【经典例题】
【例1】如图所示，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点是点，若点、、在同一条直线上，则三角板旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好为的中点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【例4】如图，在矩形中，，，矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形，若点的对应点落在边上，则的长为 .
【例5】如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：.
【例6】如图，△ABC为等边三角形，△ABC绕点A逆时针旋转得△ACD，且BP＝CQ.
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠APQ的度数.
【基础训练】
1．以原点为中心，把点逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，ABA．△AFE∽△DFC B．AD=AF
C．DA平分∠BDE D．∠CDF=∠BAD
4．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为 .
7．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转20°得到，交于点F，则 °．
8．如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ．
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．
10．如图，在边长为4的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【培优训练】
11．如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为( )
A．(，-1) B．(-1，) C．(，-1) D．(1，)
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．将△ABC绕点A旋转至△ADE，使AD⊥BC，DE交边AC于点F，则AF的长是( )
A．4 B． C．5 D．6
14．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边AB上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
15．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
18．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝ ．
20．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，
（1）若点B（0，2），则k＝ ；
（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则k＝ ．
21．如图，在直角三角形中，，，将顺时针旋转得到，与相交于点，则的长为 ．（结果保留根号）
22．如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，延长交于点H.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数.
23．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由.
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线.
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF.
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF.
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.
24．如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）比较与的大小，并证明；
（3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
25．综合与实践
九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．
（1）操作探究：
如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ．若是的中点，连接，则与的数量关系是 ．
（2）迁移探究：
如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
（3）拓展应用：
如图3，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，求的长．
【直击中考】
26．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
28．如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 ．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．
30．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ．
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