中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.4 圆心角（1）
【知识重点】
一：圆心角的概念:顶点在圆心的角,叫圆心角
二：圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
【经典例题】
【例1】下图中 是圆心角的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.
∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.
故答案为：B.
【例2】如图， 是 的直径， ， ， 则 的度数是（ ）.
A．52° B．57° C．66° D．78°
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径， ，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=38°.
∴∠BOE=114°，
∴∠AOE=180°-114°=66°.
故答案为：C.
【例3】如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
【答案】解：在☉O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB，CD，EF都是☉O的直径，
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴ = = ，
∴AC=EB=DF.
【基础训练】
1．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】∵OA=OB，∴∠B=∠A=50°，∠AOB=80°，
又∵C是 的中点 ，
∴∠BOC=∠AOC=40°。
故答案为：A。
2．如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
【答案】D
【解析】∵ ，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝ （180°﹣∠A）＝ ×（180°﹣40°）＝70°.
故答案为：D.
3．下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等
D．等弧就是长度相等的弧
【答案】B
【解析】A.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；
B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
C.同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；
D.等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：B.
4．如图，在⊙O中， ，∠1=30°，则∠2= °.
【答案】30
【解析】 ， ，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为:30.
5．如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC＝ .
【答案】3
【解析】∵在⊙O中， ，AB＝3，
∴AC=AB=3.
故答案为：3.
6．在半径为5cm的圆中，的圆心角所对的弦长为 cm．
【答案】5
【解析】如下图所示，∠AOB=60°，OA=5cm．
∵OA和OB是⊙O的半径，
∴OA=OB．
∴△AOB是等腰三角形．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA=5cm．
故答案为：5．
7．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
【答案】证明：∵
∴
∴
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC.求证：AB＝CD.
【答案】证明：∵BD＝AC，
∴ ，
∴ = ，
即 ，
∴AB＝CD.
【培优训练】
9．如图， ， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【答案】D
【解析】【解答】∵弧AE=弧BD，∴∠AOE=∠BOD=32°．
∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°．
故答案为：D．
10．已知，如图， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D． 都是等边三角形
【答案】D
【解析】
， .
成立，D不成立.
故答案为：D.
11．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接OC、OD.
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，
∴弧AD=弧CD=弧BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴⊙O的周长=2×4π=8π.
故答案为：C.
12．将一个圆分割成3个扇形，使它们的圆心角的度数比为2：3：4，则这三个扇形的圆心角最小为 。
【答案】80
【解析】圆心角最小为360°×=80°
【分析】根据圆的内角度数为360°，由最小的度数比求出最小的圆心角即可。
13．如图，在⊙O中， ，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ ．
【答案】40°
【解析】∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
14．如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角 等于 度.
【答案】12
【解析】
故答案为：12.
15．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 个.
① ；② ；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
【答案】4
【解析】∵∠1＝∠2，
∴ ，
∴ ，
∴BD=AC， ∠BOD＝∠AOC，
∴正确的有：①②③④；
故答案为：4.
16．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE= ．
【答案】75
【解析】 ∵ ，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°
17．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
【答案】30°
【解析】 ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∵M为弧CD中点，
∴弧MD=弧MC，
∴弧AM=弧BM，
∴AM＝BM.
19．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．
（1）求证：∠AOE=∠BOD．
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD．
（2）解：∵∠AOD=∠BOE，
∴
20．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，∴OD=OE，在△OCD和△OCE中，∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【直击中考】
21．如图， 中， ， ．则 的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】C
【解析】∵ ，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故答案为：C．
22．如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
【答案】C
【解析】∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°.
故答案为：C.
23．如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 , ,连接 .
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，即 ，∴
⑵ .
证明：∵ ，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE
（1）证明：∵AB=CD，
∴ ，即 ，∴
（2）证明：∵ ，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.4 圆心角（2）
【知识重点】
一：圆心角的概念:顶点在圆心的角,叫圆心角
二：圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
【经典例题】
【例1】下图中 是圆心角的是( )
A．B．C．D．
【例2】如图， 是 的直径， ， ， 则 的度数是（ ）.
A．52° B．57° C．66° D．78°
【例3】如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
【基础训练】
1．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
3．下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等
D．等弧就是长度相等的弧
4．如图，在⊙O中， ，∠1=30°，则∠2= °.
5．如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC＝ .
6．在半径为5cm的圆中，的圆心角所对的弦长为 cm．
7．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC.求证：AB＝CD.
【培优训练】
9．如图， ， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
10．已知，如图， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D． 都是等边三角形
11．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．将一个圆分割成3个扇形，使它们的圆心角的度数比为2：3：4，则这三个扇形的圆心角最小为 。
13．如图，在⊙O中， ，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ ．
14．如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角 等于 度.
15．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 个.
① ；② ；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
16．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE= ．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM.
19．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．
（1）求证：∠AOE=∠BOD．
（2）求证：
20．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
【直击中考】
21．如图， 中， ， ．则 的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
22．如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
23．如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 , ,连接 .
求证：
（1） ；
（2） .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
