中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.3 垂径定理（2）
【知识重点】
垂径定理的逆定理与推论：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
【经典例题】
【例1】如图，的直径与弦交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【例2】下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【例3】如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
【例4】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
【基础训练】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A． B．4 C．5 D．6
3．如图，圆O的直径，弦，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 是 的弦，半径 于点 ，下列判断中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )
A．AE＝BE B． C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
6．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
7．如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用 次，就可以找到圆形工件的圆心．
8．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
9．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
10．如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．
11．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
12．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
【培优训练】
13．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
14．如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
15．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（-5，-6） B．（4，-6） C．（-6，-4） D．（-4，-6）
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
17．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图， 是半圆 的直径， 为弦， 于 ，过点 作 交半圆 于点 ，过点 作 于 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE= ．
20．如图，某古城大门口的平面图上方是半圆，下方是矩形，有一辆装货后宽3米的货车从大门中间进入古城，那么货车装货后的最大高度为 米．
21．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为 ．
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝ ，BC＝4，求半径OA的长．
23．如图，AB是 的直径， 于点E，连接CO并延长交AD于点F，且 ．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若 ，求CD的长．
24．如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；
（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m．桥下水面宽度AB为7.2m，现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
【直击中考】
25．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
26．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的半径长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.3 垂径定理（2）
【知识重点】
垂径定理的逆定理与推论：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
【经典例题】
【例1】如图，的直径与弦交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵的直径与弦交于点E， B为的中点，
∴，，故A，C，D选项不符合题意，
不能得出，故B选项符合题意，
故答案为：B．
【例2】下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】因为能够完全重合的弧是等弧，故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故答案为：B.
【例3】如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
【答案】2
【解析】∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CM=CD=2cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴ = ，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2.
【例4】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
【答案】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
【基础训练】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
【答案】D
【解析】A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】如图，连接OA.
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB.
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5.
∴⊙O的半径等于5.
故答案为：C.
3．如图，圆O的直径，弦，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，，，
∴∠ACD=∠ADC.
而无法比较，的大小.
故答案为：D.
4．如图， 是 的弦，半径 于点 ，下列判断中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，AD=BD，∠AOC=∠BOC= ∠AOB，B、C、D不符合题意，A符合题意.
故答案为：A
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )
A．AE＝BE B． C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦，
∴AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，
∴AD=BD，
∴A、B、D不符合题意.
无法说明OE=DE，故C不一定正确.
故答案为：C.
6．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【解析】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确.
故答案为：D.
7．如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用 次，就可以找到圆形工件的圆心．
【答案】2
【解析】如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故利用这样的工具最少使用2.次．
故答案为：2.
8．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
【答案】证明：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF.
9．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OA，如图1所示
∵C为AB的中点，AB=8cm，
∴AC=4cm
又∵CD=2cm
设⊙O的半径为r，则（r-2）2+42=r2
解得：r=5
∴S=πr2=π×25=25π
（2）解：OC=OD-CD=5-2=3
EC=EO+OC=5+3=8
∴EA= = =4
∴EF= = =2
∴OF= = =
10．如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．
【答案】解：如图，连接BC D是弧AC的中点 OD垂直平分AC EA=EC= 设OD=OA=x，则OE=x-2， 即 ，解得x=5 AB=2OA=10 答：BE的长度为
11．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
【答案】解：连接AC∵AB⊥CD∴CE＝DE（垂径分弦）∴AB垂直平分CD∴AC＝AD，∵CF⊥AD，∴AF＝DF（垂径分弦），∴CF垂直平分AD，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠DCF＝ ∠ACD＝30°，∵CO＝AO＝ AB＝1，∴DE=CE＝CO× ＝ ；∴CD＝2DE＝
12．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
【答案】证明：连结OA、OC，如图，∵E、F分别为弦AB、CD的中点，∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，∵AB=CD，∴AE=CF，在Rt△AEO和Rt△COF中， ，∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），∴OE=OF．
【培优训练】
13．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
【答案】C
【解析】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故答案为：C．
14．如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】延长CO交AB于点D，连接OA，
∵△ABC为正三角，
∴CD⊥AB，
∵AB=2，
∴AD=，
∴CD=3，
∵OC=1，
∴OD=2，
∴OA=
故选D．
15．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（-5，-6） B．（4，-6） C．（-6，-4） D．（-4，-6）
【答案】D
【解析】过A作AB⊥NM交 轴于B，连接AM，
∵点M（0， 3）、N（0， 9），
∴MN＝6，
∴BM＝BN＝3，
∴OB＝3＋3＝6，
∴ ，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴点A的坐标为（ 4， 6），
故答案为：（ 4， 6）．
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
【答案】B
【解析】如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
17．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】 ∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP=3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP=
=4；
故CD=2CP=8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；
所以，8≤CD≤10，
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故答案为：C．
18．如图， 是半圆 的直径， 为弦， 于 ，过点 作 交半圆 于点 ，过点 作 于 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
故答案为：
19．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE= ．
【答案】
【解析】∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝ AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝ ，
即OE＝ ．
故答案为：
20．如图，某古城大门口的平面图上方是半圆，下方是矩形，有一辆装货后宽3米的货车从大门中间进入古城，那么货车装货后的最大高度为 米．
【答案】5
【解析】设火车装货后顶端为，
如图：过圆心O点，作，
∵四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∵米，，
∴米，
在中，根据勾股定理得：米，
∴货车装货后的最大高度为：（米）．
故答案为：5．
21．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为 ．
【答案】
【解析】如图在BA上截取BT＝BC，连接DT．作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N．
∵EF＝GH，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM＝ON，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBT，
∵BD＝BD，BC＝BT，
∴△DBC≌△DBT，
∴CD＝DT，
∵AB﹣BC＝AT＝1，
在Rt△ADT中，DT＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝DT＝ ，
故答案为 ．
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝ ，BC＝4，求半径OA的长．
【答案】（1）证明：延长AO交弧BFC于F，
∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，
又∵AF经过O
∴AF平分弦BC所对的弧
即弧BF=弧CF
∴∠BAF=∠CAF
所以AO平分∠BAC （连接AO、CO证全等也可）
（2）解：如图，连接BO，
又（1）知AO平分∠BAC
∴AE⊥BC
在Rt△ABE中， ，
在Rt△OBE中，
即
解之，AO= 2.5，
23．如图，AB是 的直径， 于点E，连接CO并延长交AD于点F，且 ．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若 ，求CD的长．
【答案】（1）证明：直径AB垂直于弦CD于点E，连接AC，
∴ ，
∴ ，
∵过圆心O的线 ，
∴ ，即CF是AD的中垂线，
∴ ，
∴ ．
即： 是等边三角形，
∴ ，
在 中， 有
∴ ，
∴点E为OB的中点；
（2）解： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；
（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m．桥下水面宽度AB为7.2m，现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图，连接ON，OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB的中点． ∵AB＝7.2m，
∴BD＝ AB＝3.6m.
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，
∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽3m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m，
∴OE＝ ＝ ＝3.6(m)，
∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥
【直击中考】
25．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【答案】A
【解析】连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
26．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的半径长．
【答案】（1）证明：连接AD、AE、OD、OE，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴弧AD=弧AE，
∴AO垂直平分DE，即AF⊥DE；
（2）解：设的半径为x，
由（1）可知AF⊥DE，又AB=AC，
∴F为BC中点，
∴，
在中，，
在中，，，，
∵
∴，
解得，
∴的半径为5．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
