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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质
3.3 垂径定理（1）
【知识重点】
一：垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点）
二：弦心距：
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
【经典例题】
【例1】如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则弦的长是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【例3】某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
【例4】如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
【例5】根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【基础训练】
1．如图，的弦长为，的半径为，则弦的弦心距为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
3．如图，在中半径OC与弦AB垂直于点D，且，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为的中点，D为弧的中点）.则桥拱所在圆的半径为 米.
5．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝ .
6．如图， 是 的直径，点 在 上，并且 于 若 ，则 的长为
7．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
8．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
9．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
10．如图，在圆中，弦，点在圆上（与，不重合），联结、，过点分别作，，垂足分别是点、.
（1）求线段的长；
（2）点到的距离为3，求圆的半径.
【培优训练】
11．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（ ）
A． B． C． D．
12．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长？”依题意得的长为（ ）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
13．点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
14．如图，在中，是弦，，半径为4，.则的长（ ）
A． B． C． D．
15．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 .
16．如图，的半径垂直于弦于点，连结并延长交于点，连结.若，则的长为 .
17．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 ∠B＝30°，则BC的长为 .
18．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝24，则OP的长是 .
19．在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 。
21．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，求的面积．
22．根据以下素材，探索完成任务.
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行.那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息： ①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成. ②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽. ③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少.
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径.
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由.（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（）和矩形的高（），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据：，结果保留一位小数）
23．如图，，交于点，，是半径，且于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
24．【概念引入】
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距.
（1）【概念理解】
如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 .
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：.
（3）【概念应用】
如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长.
【直击中考】
25．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点点F，∠BOF=65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
26．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 ，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
27．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，弓形高 为2厘米，则镜面半径为 厘米.
28．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第3章圆的基本性质（解析版）
3.3 垂径定理（1）
【知识重点】
一：垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点）
二：弦心距：
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
【经典例题】
【例1】如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则弦的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
故答案为：D.
【例2】如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
【解析】连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=4，∠BDO=90°
，
∴DC=OC-OD=5-3=2.
故答案为：C
【例3】某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
【答案】D
【解析】过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OB
由题意可知DC=20cm，AB=80cm，
∴BD=AB=40cm，
设圆的半径为r，则OD=r-20，
在Rt△BOD中，BD2+OD2=OB2即402+（r-20）2=r2
解之：r=50.
故答案为：D
【例4】如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
【答案】解：如图，连接．
∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【例5】根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【基础训练】
1．如图，的弦长为，的半径为，则弦的弦心距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，过点O作，
∵，⊙O的半径为，的弦长为，
∴，，
由勾股定理得：
∴弦的弦心距为
故答案为：C.
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
【答案】C
【解析】如图，连接OC，
设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E ，
∴CE=CD=4，
在Rt△CEO中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2，
即（10-x）2+42=x2，
解得x=5.8.
故答案为：C.
3．如图，在中半径OC与弦AB垂直于点D，且，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】连接OA，
∵CO⊥AB，
∴AD=AB=5，∠ADO=90°，
∴，
∴CD=OC-OD=5-3=2.
故答案为：B
4．如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为的中点，D为弧的中点）.则桥拱所在圆的半径为 米.
【答案】26
【解析】如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴三点共线，且
，
在Rt中，根据勾股定理得
解得
故答案为：26.
5．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝ .
【答案】
【解析】∵，米，
∴，
设的半径为r，则，
在中，根据勾股定理得，
即，
故答案为：.
6．如图， 是 的直径，点 在 上，并且 于 若 ，则 的长为
【答案】
【解析】【解答】连接 ，如图，
是 的直径， ， ，
在 中，
故答案为：
7．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
【答案】解：如图：连接，
的直径，
，
，
，
在中，，
，
的直径为，，
，
故的长为8．
8．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
【答案】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10.
答：这个圆形截面的半径为10cm.
9．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【答案】不解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示
设半径为则
由垂径定理可知，
∵，∴，且
在中，由勾股定理可得
即，解得
∴
在中，由勾股定理可得
∴
∴不需要采取紧急措施.
10．如图，在圆中，弦，点在圆上（与，不重合），联结、，过点分别作，，垂足分别是点、.
（1）求线段的长；
（2）点到的距离为3，求圆的半径.
【答案】（1）解：∵经过圆心，
∴
同理：
∴是的中位线
∴
∵
∴
（2）解：过点作，垂足为点，，联结
∵经过圆心
∴
∵
∴
在中，
∴
即圆的半径为5.
【培优训练】
11．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接AO并延长，交BC于点H，交DE于点M，再连接OF、OC；
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵等边△ABC内接于⊙O ，
∴AH⊥BC，AH⊥DE，∠CAH=∠HCO=30°，AC=BC=2，
∴HC=BC=1，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AH=，
∵E是AC的中点，DE∥BC，
∴ME=HC=，HM=AH=，
在Rt△OHC中，∠HCO=30°，
∴OH=，OC=，
∴OM=MH-OH=，
在Rt△OFM中，由勾股定理得MF=，
∴EF=MF-ME=.
故答案为：.
12．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长？”依题意得的长为（ ）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
【答案】D
【解析】如图：连接 ，
设 的半径为x，则 ，
为 的直径，弦 ， 寸， 寸，
， ，
，
解得 ，
故 ，
，
故 的长为10寸.
故答案为：D.
13．点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
【答案】D
【解析】∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点 且与这条直径垂直的弦，
∴ ， ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
由勾股定理得： ，
故答案为：D．
14．如图，在中，是弦，，半径为4，.则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
15．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 .
【答案】
【解析】如图，连接、，则，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
过O作交于H，连接，则，
在中，，
∴，
即到的距离为，
故答案为：.
16．如图，的半径垂直于弦于点，连结并延长交于点，连结.若，则的长为 .
【答案】12
【解析】∵的半径垂直于弦于点，，
∴，
在中，，
设，则，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：12.
17．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 ∠B＝30°，则BC的长为 .
【答案】14
【解析】如图，过点O作 ，交 于点 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
是等腰直角三角形
，
在 中
在 中
设 ，则 ，
在 中，
，
，
即
解得
在 中，
.
故答案为：14.
18．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝24，则OP的长是 .
【答案】5
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝ ＝5，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝5
故答案为：5.
19．在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是 ．
【答案】1或7
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∵AB=6，CD=8，
∴CE=4，AF=3，
∵OA=OC=5，
∴由勾股定理得：EO=，OF=，
∴EF=OFOE=1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，
EF=OF+OE=7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故答案为：1或7.
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 。
【答案】(2，6)
【解析】如图，连接CM、DM，作ME⊥CD于E，作CH⊥OA于H，
∵OA=20，OB=16，
∵四边形BOCD为平行四边形，
∴CD=OB=16，
∴CE=ED=8，
∴CM=MD=OA=10，
∴CH=EM==6，
∴OH=OM-HM=10-8=2，
∴点C的坐标为（2，6）.
故答案为：（2，6）.
21．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，求的面积．
【答案】解：设，则．
点是的中点，过圆心，
．
，，
，．
在中，，
．
解得，．
．
．
22．根据以下素材，探索完成任务.
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行.那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息： ①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成. ②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽. ③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少.
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径.
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由.（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（）和矩形的高（），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据：，结果保留一位小数）
【答案】解：任务一：如图，设弓形所在圆的半径为，圆心为O，标注各点，
由题意可得：，，，，，
∴，
由勾股定理可得：，
解得：；
任务二：如图，过左侧作于，交弓形于，矩形是车辆模型，在上，连接，过作于，
由题意可得：米，米，（米），
由勾股定理可得：，
∴最小为：（米），
∴（米）.
任务三：如图，由题意可得：此时弓形所在的圆的圆心在矩形下方，
过作于，是左侧车辆边线的模型线，
结合题意可得：，，设，弓形所在圆的半径为，
由勾股定理可得：，
，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此时弓形所在圆的半径调整为米.
23．如图，，交于点，，是半径，且于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
【答案】（1）证明：∵，，是半径，
∴，.
∴，即
（2）解：如图，连结，
∵，，
∴，.
∵，
∴，
解得.
答：的半径为5.
24．【概念引入】
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距.
（1）【概念理解】
如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 .
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：.
（3）【概念应用】
如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长.
【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【解析】【解答】【概念理解】（1）解：连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3；
【直击中考】
25．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点点F，∠BOF=65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【答案】C
【解析】如图，连接OC，
∵OF⊥BC于点点F，OC=OB，
∴∠COF=∠BOF=65°，
∴∠AOC=50°，
∵CD⊥AB于点E，OC=OD，
∴∠AOD=∠AOC=50°，
故答案为：C.
26．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 ，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
27．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，弓形高 为2厘米，则镜面半径为 厘米.
【答案】26
【解析】找出圆心O，连接OC，OB，
∵OD垂直平分AB，
∴BC=AB=10，
设圆O的半径为r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解之：r=26．
故答案为：26．
28．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
【答案】15°或105°
【解析】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
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