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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单的实际问题。4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
内容分析 本章的主要内容有:二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、二次函数的应用。本章是在学习了正比例函数、一次函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线--抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流等有形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但是对函数概念理解不全面，不深刻，不系统，对二次函数的图象性质理解肤浅，思考缺乏条理性，对函数综合性问题无从下手，有畏难情绪。在计算能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归中意识不强。本章的知识是在之前学习过一次函数和一元二次方程的基础之上学习的，又为以后学习反比例函数提供经验，在整个初中的数学学习中起到了承上启下的作用，抛物线作为学生第一条接触到的曲线，对它的性质的研究也对以后其它曲线的学习有很大的帮助。
单元目标 （一）教学目标①能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力。②能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。③会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。④能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和顶点坐标。⑤能根据已知条件确定二次函数的表达式。⑥能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。（二）教学重点、难点重点：理解二次函数的概念，会画二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析. 难点：二次函数与一次函数有关知识及二次函数的综合应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1二次函数11.2二次函数的图象31.3二次函数的性质11.4二次函数的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数11.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.2.结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.1.归纳出二次函数的定义及一般形式．2.理解二次函数系数、一次项系数和常数项的概念。3.会求二次函数的解析式。活动一：用函数表达式表示问题中两个变量之间的关系。活动二：总结二次函数的定义，并能解决课本中的问题。二次函数的图象31.了解抛物线的有关概念,会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.1.会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.活动一：用描点法画出y =ax2的的图象.活动二：探究二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系。1.能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象.2.经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质。1.会画二次函数y=a(x- h)2的图象.2.掌握二次函数y=a(x- h)2与y=ax2图象的平移关系。活动一：用描点法画出y＝a(x—h)2的图象.活动二：探究二次函数y＝a(x—h)2的性质。1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.活动一：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x—h)2+k之间的关系。2.画二次函数y=ax2+bx+c的图象.二次函数的性质11.能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性.2.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质.1.能理解二次函数与一元二次方程之间的关系。2.掌握二次函数图象与x轴的交点个数问题。3.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。活动一：探究二次函数与一元二次方程之间的关系。活动二：探究二次函数图象与x轴的交点个数问题。活动三：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形与a,b,c之间的关系。二次函数的应用31.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题。2.能利用二次函数的性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题。活动一：探究二次函数的最值。活动二：探究图形的最值。
《二次函数》单元教学设计
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第一章 二次函数 分课时教学设计
第一课时《二次函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《二次函数>选自浙教版九年级上册第1章，本节是二次函数的第1章第1节，函数是研究世界变化规律的重要数学模型，二次函数对学生的学习起着承上启下的过渡作用。通过对具体实例的分析，归纳出二次函数的表达式，明确二次函数的概念,理解二次函数限制条件的意义。
学习者分析 本章要求学生学习并掌握二次函数，函数是研究运动变化的重要数学模型,它来源于客观实际，又服务于客观实际。学生已经学习过变量之间的关系、一次函数、反比例函数等内容, 为二次函数的学习打好了一定基础，在此基础上可以更好地归纳概括二次函数的表达式、概念等，解决实际问题。
教学目标 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.3.会用待定系数法求二次函数的解析式.
教学重点 理解二次函数的概念和会求二次函数的解析式.
教学难点 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习巩固教师活动1：教师提问：什么叫函数 什么是一次函数？正比例函数？3. 怎样求一次函数表达式？学生活动1：学生思考回答关于函数的相关概念。活动意图说明：从旧知识入手，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究二次函数的定义教师活动2：教师出示问题：用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量 y 与 x 之间的关系。（1）圆的面积 y（cm2）与圆的半径 x（cm）．（2）王师傅存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存为又一个一年定期. 设年利率均为x，两年后王师傅共得本息 y 元.（3）一个温室连同外围通道的矩形平面图如图 . 这个矩形的周长为120 m，设一条边长为 x（m），种植用地面积为 y（m2）.【想一想】上述三个问题中，函数表达式具有哪些共同的特征？上述三个函数表达式均可化简为 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的形式。二次函数的定义一般地，形如 y=ax +bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.例如，二次函数 y=-x2+58x-112的二次项系数 a=-1，一次项系数 b=58，常数项 c=-112；二次函数 y=πx2的二次项系数 a=π，一次项系数 b=0，常数项 c=0。学生活动2：学生在教师的引导下用函数表达式表示下列问题中两个变量 y 与 x 之间的关系。（1）y =πx2（2）y =20000+（1+x）2（3）y =（x-2）+（60-x-4） =-x2+58x-112学生总结上述表达式的共同特征。让学生充分发表意见，提出各自看法.教师归纳总结。活动意图说明：让学生回答问题，达到活跃课堂氛围，激发学生的积极性，在不同水平的学生都得到发展，真正落实“面向全体学生”的教学要求。环节三：二次函数表达式的常见变形教师活动3：教师提问：【想一想】上述概念中的a能等于0吗 如果a＝0，就没有二次项了，y也就不是x的二次函数了．概念中的b和c可否为0？若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？b和c可以为0，也可以同时为0；表达式分别为：①y＝ax2＋bx；②y＝ax2＋c；③y＝ax2.它们都还是二次函数．学生活动3：学生根据所学知识进行知识拓展，考虑二次函数的其他表达形式。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节四：新知应用教师活动4：教师出示例题：例1：下列函数中，哪些是二次函数 判断一个函数是否为二次函数时，要先化简，后判断。【总结归纳】二次函数必须同时满足三个条件：(1) 函数解析式是整式； (2) 化简后自变量的最高次数是2; (3) 二次项系数不为0. 学生活动4：学生根据定义判断哪些函数是二次函数，并回答问题，教师提醒判断一个函数是否为二次函数时，要先化简，后判断。学生在教师的引导下总结归纳二次函数满足的三个条件。活动意图说明：通过例题使学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。环节五：解决问题教师活动5：教师带领学生解决课本例题。【例1】如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设 AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形 EFGH 的面积为 y（cm2）.（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.解：（1）由题意，0板书设计 1.1 二次函数一、二次函数的定义.二、二次函数的形式.三、求二次函数的表达式.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.下列函数中，一定为二次函数的是( C ).A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝2x2－2x＋1 D．y＝x2－(x－1)22.某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x>0)，六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数表达式是y＝200(1＋x)2．3.已知二次函数y＝ax2＋4x－c，当x＝1时，y＝－5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是( C ).A．a＋c＝－1 B．a＋c＝－9C．a－c＝－9 D．a－c＝－14.若函数y＝－x＋1是二次函数，则m的值是（ D ）．A．2 B．-2 C．3 D．-35.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).（1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）求当x=3时矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15（ cm2 ）.选做题：6.下列函数关系中，不能看成二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( D )A．圆的面积和其半径的变化关系B．我国人口年平均自然增长率为x，两年时间从12亿增加到y亿，其中y与x的变化关系C．掷铅球的高度与水平距离的关系D．面积一定的三角形的底边与高的关系7.已知函数y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1(k为常数)．(1)若这个函数是一次函数，求k的值．解：若这个函数是一次函数，则k2－k＝0且k≠0，解得k＝1.(2)若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？解：若这个函数是二次函数，则k2－k≠0，解得k≠0且k≠1.【综合拓展类作业】8.如图，要利用一面墙(墙长为15 m)建羊圈，用30 m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为x m，总面积为y m2.(1)在不浪费围栏的情况下，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．解：由题意可得y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x.由0＜30－3x≤15，解得5≤x＜10.∴y关于x的函数表达式为y＝－3x2＋30x(5≤x<10)．(2)请问能否围成总面积为81 m2的羊圈？若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．解：不能围成总面积为81 m2的羊圈．理由如下：当y＝81时，－3x2＋30x＝81，则3x2－30x＋81＝0.∵b2－4ac＝(－30)2－4×3×81＝－72＜0，∴方程无解．∴不能围成总面积为81 m2的羊圈．
教学反思 教学时，通过实例引入二次函数的概念，让学生明确二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。通过学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式;大部分学生重视了二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。绝大多数学生理解了二次函数的概念;掌握了二次函数的一般表达式以及二次项和二次项的系数、一次项和一次项的系数及常数项。
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1.1 二次函数
浙教版九年级上册
教学目标
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.
2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
3.会用待定系数法求二次函数的解析式.
教学重难点
重点：
理解二次函数的概念和会求二次函数的解析式.
难点：
从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
新知导入
1．什么叫函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2．什么是一次函数？正比例函数？
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0 时，一次函数y=kx +b即y=kx,叫做正比例函数．
新知导入
3. 怎样求一次函数表达式？
（1）设函数表达式；
（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；
（3）解方程，求k，b；
（4）把k，b代回表达式中，写出表达式．
新知讲解
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量 y 与 x 之间的关系。
（1）圆的面积 y（cm2）与圆的半径 x（cm）．
（2）王师傅存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存
为又一个一年定期. 设年利率均为x，两年后王师傅共得本息 y 元.
y =πx2
y =20000+（1+x）2
新知讲解
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量 y 与 x 之间的关系。
（3）一个温室连同外围通道的矩形平面图如图 . 这个矩形的周长为120 m，设一条边长为 x（m），种植用地面积为 y（m2）.
y =（x-2）+（60-x-4）
=-x2+58x-112
新知讲解
【想一想】上述三个问题中，函数表达式具有哪些共同的特征？
y =πx2
y =20000+（1+x）2
y =-x2+58x-112
上述三个函数表达式均可化简为 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的形式。
新知讲解
二次函数的定义
一般地，形如 y=ax +bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．
a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
例如，二次函数 y=-x2+58x-112的二次项系数 a=-1，一次项系数 b=58，常数项 c=-112；
二次函数 y=πx2的二次项系数 a=π，一次项系数 b=0，常数项 c=0。
新知讲解
b和c可以为0，也可以同时为0；
表达式分别为：①y＝ax2＋bx；②y＝ax2＋c；③y＝ax2.
它们都还是二次函数．
【想一想】上述概念中的a能等于0吗
如果a＝0，就没有二次项了，y也就不是x的二次函数了．
概念中的b和c可否为0？若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？
新知讲解
是
不是
是
不是
不是
例1：下列函数中，哪些是二次函数
判断一个函数是否为二次函数时，要先化简，后判断。
新知讲解
【总结归纳】
二次函数必须同时满足三个条件：
(1) 函数解析式是整式；
(2) 化简后自变量的最高次数是2;
(3) 二次项系数不为0.
新知讲解
【例1】如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设 AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形 EFGH 的面积为 y（cm2）.
（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.
解：（1）由题意，0y=22-4× -x(2-x)=2x2-4x+4.
即所求函数表达式为 y=2x2-4x+4，
x的取值范围为0新知讲解
（2）当 x 分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，求对应的四边形多 EFGH的面积，并列表表示.
解：当 x＝0.25cm 时，
y=2×0.252-4×0.25+4=3.125（cm2）。
依次计算可得，
当 x＝0.5cm时，y＝2.5(cm2)；
当 x＝1cm 时，y＝2(cm2):
当 x＝1.5cm 时，y＝2.5(cm2):
当 x＝1.75cm 时，y＝3.125(cm2)．
新知讲解
（2）当 x 分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，求对应的四边形多 EFGH的面积，并列表表示.
列表如下：
x(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5 2 2.5 3.125
新知讲解
【例2】已知二次函数 y=x2+bx+c，当x=1时，函数值是 4；
当 x=2时，函数值是-5. 求这个二次函数的表达式。
解：把x=1，y=4；x=2，y=-5分别代入函数式 y=x2+bx+c，得方
程组
解这个方程组，得b=-12，c=15。
所以，所求二次函数的表达式是 y=x2-12x+15。
1+b+c=4
4+2b+c=-5
新知讲解
【总结归纳】已知三点求二次函数解析式的方法步骤是：
①设函数解析式为 y=ax2+bx+c；
②将三个点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组；
③解方程组得到 a，b，c 的值；
④把待定系数换掉，写出函数解析式.
课堂练习
1.下列函数中，一定为二次函数的是( ).
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝2x2－2x＋1
D．y＝x2－(x－1)2
C
【知识技能类作业】
必做题：
课堂练习
2.某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x>0)，六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数表达式是_________________．
y＝200(1＋x)2
课堂练习
3.已知二次函数y＝ax2＋4x－c，当x＝1时，y＝－5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是( ).
A．a＋c＝－1
B．a＋c＝－9
C．a－c＝－9
D．a－c＝－1
C
课堂练习
4.若函数y＝(3-m)xm2－7－x＋1是二次函数，则m的值是（ ）．
A．2
B．-2
C．3
D．-3
D
课堂练习
5.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).
（1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）求当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15（ cm2 ）.
课堂练习
6.下列函数关系中，不能看成二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( )
A．圆的面积和其半径的变化关系
B．我国人口年平均自然增长率为x，两年时间从12亿增加到y亿，其中y与x的变化关系
C．掷铅球的高度与水平距离的关系
D．面积一定的三角形的底边与高的关系
D
选做题：
课堂练习
7.已知函数y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1(k为常数)．
(1)若这个函数是一次函数，求k的值．
解：若这个函数是一次函数，则k2－k＝0且k≠0，解得k＝1.
(2)若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
解：若这个函数是二次函数，则k2－k≠0，解得k≠0且k≠1.
课堂练习
8.如图，要利用一面墙(墙长为15 m)建羊圈，用30 m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为x m，总面积为y m2.
(1)在不浪费围栏的情况下，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．
解：由题意可得y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x.
由0＜30－3x≤15，解得5≤x＜10.
∴y关于x的函数表达式为y＝－3x2＋30x(5≤x<10)．
【综合拓展类作业】
课堂练习
(2)请问能否围成总面积为81 m2的羊圈？若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
解：不能围成总面积为81 m2的羊圈．理由如下：
当y＝81时，－3x2＋30x＝81，
则3x2－30x＋81＝0.
∵b2－4ac＝(－30)2－4×3×81＝－72＜0，
∴方程无解．∴不能围成总面积为81 m2的羊圈．
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.二次函数的定义：
一般地，形如 y=ax +bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．
2.二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c；
当c＝0时， y＝ax2＋bx ；
当b＝0，c＝0时， y＝ax2.
板书设计
课题：1.1 二次函数
教师板演区
学生展示区
一、二次函数的定义.
二、二次函数的形式.
三、求二次函数的表达式.
作业布置
课本 P6 练习题
谢谢
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