浙教版八年级上册 3.4 一元一次不等式组的解及参数问题 教案

一元一次不等式组的解及参数问题
一、知识理解与建构
一元一次不等式组的解及解法是初中数学中的一个重要内容.另外，在近年的中考数学中，经常出现求一元一次不等式组中的参数问题的相关考题，这是中考的热点与难点，更是不少学生的失分考点.突破这一难点的关键就在于正确理解一元一次不等式组的解集的意义以及有（无）解（包括特殊解）的条件.
1．一元一次不等式组的解
一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解，当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．
2．一元一次不等式组的解法
（1）数轴法：一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．
（2）口诀法：利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”快速求出一元一次不等式组的解．
3．一元一次不等式组中的参数问题
一元一次不等式组中的参数问题主要含以下三种类型：
1．根据不等式组的解集求参数的取值；
2．根据不等式组有解（或无解）确定参数的取值；
3．根据不等式组的特殊解（整数解的个数）确定参数的取值．
二、方法剖析与提炼
（一）一元一次不等式组的解法
1．数轴法
例1．（2015怀化）解不等式组
【解答】解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①、②的解集在数轴上的表示如下：
∴原不等式组的解为 ．
【解析】一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．
2．口诀法
例2．（2015温州）不等式组的解是（ ）
A. B. ≥3 C. 1≤<3 D. 1<≤3
【解答】解不等式，得 .
解不等式，得 .
根据口诀“大小小大取中间”，
∴原不等式组的解为 .
【解析】组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解．一元一次不等式组的分类及解如下(a＜b)：
（二）一元一次不等式组中的参数问题
1．根据不等式组的解集求参数的取值
例3．如果关于x的一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是 ．
【解答】的解集为，由“大大取大”显然有，令a=3，则的解集为，符合题意．综上分析，得
【解析】解答此类问题，首先可以根据口诀“大大取大”，初步确定，然后单独分析a=3是否符合题意，从而得出答案．出现错误的原因一般都是没有考虑到a=3情形．
2．根据不等式组有解（或无解）确定参数的取值
例4．（1）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．
【解答】解不等式组，得，由“大小小大取中间”，得，而由题目条件知不等式组无解，故不成立，则，接着考虑的情形，若，则有，此不等式不成立，故符合题意．
综上分析，a的取值范围是．
【解析】这是一道“一大一小”无解的题型，具有一定的难度，很多同学解答这种题型时往往束手无策．解答这种题型时，只需先依“一大一小取中间”初步确定不等式组的解，而不等式组无解，显然该不等式不成立，故当不等式不成立时，确定参数满足何条件就成为解题的关键．在确定参数范围时，一般分两步，第一步确定出简单情形，最后对参数取等号的情形进行单独分析．
（2）若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ．
【解答】解不等式组，得，根据口诀“一大一小取中间”，得，而不等式组有解，故成立，则，考虑的情形，则，此不等式不成立，故不符合题意．
综上分析，，解得，故a的取值范围是．
【解析】这是一道“一大一小”有解的题型，解题步骤与“一大一小”无解题型基本相同．对参数取等号的情形进行单独分析这一步必不可少．
3．根据不等式组的特殊解（整数解的个数）确定参数的取值
例5.（2016凉山州）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是 ．
【解答】解不等式组，得
根据口诀“一大一小取中间”，得，而由题目条件知不等式组仅有三个整数解，故它们分别为-2，-1，0，易知介于-2和-3之间，即，下面考虑取等情形：
若3a-2=-3，则，恰有三个整数解-2，-1，0，符合题意；
若3a-2=-2，则，仅有两个整数解-1，0，不符合题意.
综上分析，得，解得.
【解析】这是一道“一大一小”情形与整数解的题型, 一般步骤是：
（1）解不等式组中的两个不等式,然后根据“一大一小取中间”初步确定出不等式组的解；
（2）根据已知条件确定出满足要求的整数解；
（3）探讨满足条件的参数范围，分以下几步：先确认参数介于何值之间,后对是否取等进行单独分析,最后综合求出参数范围；
当然这种类型的题目也可借助数轴，利用数形结合解题.
三、能力训练与拓展
1．（2015湖州）解不等式组 ．
2.（2015宁波）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来.
3．（2015丽水）如图，数轴上所表示关于的不等式组的解集是（ ）.
A. ≥2 B. >2 C. >-1 D. -1<≤2
4．若不等式组的解集是，则 .
5．若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是 .
6．若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 .
7．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
8．已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
解不等式组的常用方法有数轴法和口诀法，解题时可灵活选择.
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