2023年浙教版数学八年级上册2.1轴对称图形 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·丰南模拟）如图，正八边形是轴对称图形，对称轴可以是直线（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黄浦模拟）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．圆
3．（2023·苏州模拟）苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性.苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处.如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．正八边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
4．（2022八上·电白期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八上·丰台期末）我们在观看台球比赛时，发现选手们常常会用反弹的技巧击打目标球．在此过程中，撞击路线与桌边的夹角等于反射路线与桌边的夹角，如图1，．如图2，建立平面直角坐标系，已知A球位于点处，B球位于点处．现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022八上·淮北月考）如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．10
7．（2022八上·京山期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与成轴对称.
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2022·济阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．2
9．（2021八上·广州期中）如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
10．（2020八上·宁晋期末）如图，在 中， ， ， ， ， 平分 交 于点D，E，F分别是 ， 边上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点.
12．（2022八上·青州期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则的度数是 ．
13．（2023七下·高州月考）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的一个动点，则周长的最小值是 。
14．（2021八上·融水期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ．
15．（2021八上·鼓楼月考）如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
三、综合题
16．（2022八下·元阳期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
17．（2022八下·吐鲁番期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
18．（2022八上·康巴什期末）已知，点P在的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N，．
（1）补全图，并且保留作图痕迹．
（2）写出∠COD °．△PMN的周长为 ．
19．（2022八上·仪征月考）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
20．（2022七上·周村期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，的三个顶点A，B，C都在格点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）在直线l上找出一点Q，使得的值最小；（描出该点并标注字母Q）
（3）在直线l上找出一点P，使得的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）
21．（2021八上·五常期末）
（1）画图探究：如图①，若点 ， 在直线 的同侧，在直线 上求作一点 ，使 的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：如图②，等边 的边 上的高为6， 是边 上的中线， 是 上的动点， 是 的中点，求 的最小值．
22．（2022七下·兰州期末）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明道理．
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：延直线a、b、c、d折叠，可知，只有直线b使得直线两旁的部分能够互相重合．
∴直线b是正八边形的对称轴；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故答案为：B．
【分析】作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求.
5．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点只有一个，如图，
故答案为：A
【分析】A点（1，2）运动到点（3，4），然后反弹后击中B球.
6．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在上截取，连接，交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵是等边三角形，E是的中点，
∴，
连接并延长交于，
∵等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，
∴，，
∵，，
∴
∴
∴
∴最小值为．
故答案为：A．
【分析】在上截取，连接，交于点，当三点共线时，最小，再求解即可。
7．【答案】A
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称.
故答案为：A.
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解.
8．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BM，
根据题中作图可知，AD平分，
，
，，
，
，
过点B作于点E，则的最小值即为BE的长度，
，
，
，
∵，
，
即，
解得：，
故答案为：C．
【分析】过点B作于点E，则的最小值即为BE的长度，由，得出，代入计算即可。
9．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，过点C作 ，垂足为H.
∵ 平分 ，
∴根据对称可知 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴当点C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为 .
故答案为：B.
【分析】在 上取点 ，使 ，连接 ，过点C作 ，垂足为H.由 平分及对称性，可得，由求出CH，当点C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为CH的长.
11．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则 4 个点中， 可以反弹击中N球的是：D.
故答案为：D.
【分析】可做点N关于桌面一边AB的对称点N'，连接对称点与M的线段交桌面一边AB于一点，则交点即为所求.
12．【答案】100°
【知识点】角的运算；轴对称的性质
【解析】【解答】解： P点关于的对称点是，P点关于的对称点是，
，，，，，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：100°．
【分析】根据轴对称的性质及角的运算求出，再结合，，求出，最后求出即可。
13．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：EF垂直平分BC，
B、C关于EF对称，
设EF交AC于G点，
当D与G点重合时，AD+BD的值最小，这个最小值等于AC的长度，
AB=4，AC=6，
的周长最小值=AB+AC=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】根据题意可得B、C两点关于EF对称，再根据对称轴中的最短路径问题分析，D运动到G点为AD+BD的最小值点，再根据已知条件得到周长最小值.
14．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接AE，BP，
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
∴，，
在中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时，的值最小，最小值等于BC的长，
∴周长的最小值，
故答案为：14．
【分析】连接AE，BP，由垂直平分线的性质可得AE=BE，AP=BP，当C、P、B三点共线即P和E重合时，的值最小，最小值等于BC的长，可知△ABC周长的最小值=AC+AP+CP=AC+BC，继而得解.
15．【答案】31
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，
③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31.
【分析】 根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，分三种情况：①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况；②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况；③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况；将三种情况所得结论相加即可求解.
16．【答案】解：作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，如图所示：
由轴对称的性质可知：PB=PE，DE=DB，
∴PA+PB=AP+PE，
由两点之间线段最短可知，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示，故四边形EDCF为矩形，
∴EF=CD=400m，CF=ED=BD=100m，
最短路程为：
PA+PB=AE
答：亮亮走的最短路程为．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短，再利用勾股定理求出答案即可。
17．【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
18．【答案】（1）解：如图所示：作点P关于OA对称的点C，点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于M，交OB于N，
（2）60；15
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）如图，连接OC，OD，OP，
∵点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，
∴∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，
∴∠COD=2∠AOB，
又∵∠AOB=30°，
∴∠COD=60°；
∵AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，
∴PM=CM，PN=DN，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=15．
故答案为：60；15．
【分析】 （1）根据轴对称的性质分别作点P关于OA对称的点C，点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于M，交OB于N， 即得结论；
（2）连接OC，OD，OP，由轴对称的性质可得∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，从而得出∠COD=2∠AOB=60°，PM=CM，PN=DN，继而得出△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD，据此即得结论.
19．【答案】（1）解：如图所示，直线l即为所求．
（2）解：如图所示，点P即为所求；
根据两点之间线段最短即可证明PA+PC最小；
（3）3
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3.
故答案为：3.
【分析】（1）连接AD、CF，作其垂直平分线即可；
（2）连接CD，与对称轴交于点P，此时PA+PC最小，为CD的值；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，点Q即为所求．
（3）解：如图，点P即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据题意作图即可；
（3）根据题意作图即可。
21．【答案】（1）解：如答图①，点 即为所求．
（2）解：∵ 是等边 的边 上的中线，
∴ 是边 的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴ME+MC=ME+MB，
∴要ME+MC最小，即ME+MB最小，
∴当M、E、B三点共线时，ME+MB最小，最小为BE
∵ 是 的中点，
∴ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∴ 的最小值为6．
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 是边 的垂直平分线， 再求出 ME+MC=ME+MB， 最后求解即可。
22．【答案】（1）解：如图1，在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段，
另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，
它们关于OP对称；
如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°；
（2）解：FE=FD；如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°，
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC，
在△FDC和△FGC中，，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD；
（3）解：FE=FD仍然成立，理由如下：在AC上截取AH=AE，连接FH，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠HAF，
在△EAF和△HAF中，，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA，
又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°，
在△FDC和△FHC中，，
∴△FDC≌△FHC（ASA），
∴FD=FH．
∴FE=FD．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于OP对称．
根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算可求解；
（2）根据图1的作法，在AC上截取AG＝AE，连接FG，由“边角边”可证△EAF≌△GAF，由全等三角形的性质可得EF＝FG，∠EFA=∠GFA；用“角边角”可证△FCD≌△FCG，由全等三角形的性质可得DF＝FG，则EF＝FD；
（3）结论仍然成立，在AC上截取AH＝AE， 连接FH，由“边角边”可证△EAF≌△HAF，由全等三角形的性质可得EF＝FH，∠EFA=∠HFA；用“角边角”证明△FCD≌△FCH，由全等三角形的性质可得DF＝FH，则EF＝FD．
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.1轴对称图形 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·丰南模拟）如图，正八边形是轴对称图形，对称轴可以是直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：延直线a、b、c、d折叠，可知，只有直线b使得直线两旁的部分能够互相重合．
∴直线b是正八边形的对称轴；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可。
2．（2023·黄浦模拟）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．圆
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可。
3．（2023·苏州模拟）苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性.苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处.如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．正八边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
4．（2022八上·电白期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故答案为：B．
【分析】作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求.
5．（2022八上·丰台期末）我们在观看台球比赛时，发现选手们常常会用反弹的技巧击打目标球．在此过程中，撞击路线与桌边的夹角等于反射路线与桌边的夹角，如图1，．如图2，建立平面直角坐标系，已知A球位于点处，B球位于点处．现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点只有一个，如图，
故答案为：A
【分析】A点（1，2）运动到点（3，4），然后反弹后击中B球.
6．（2022八上·淮北月考）如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．10
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在上截取，连接，交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵是等边三角形，E是的中点，
∴，
连接并延长交于，
∵等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，
∴，，
∵，，
∴
∴
∴
∴最小值为．
故答案为：A．
【分析】在上截取，连接，交于点，当三点共线时，最小，再求解即可。
7．（2022八上·京山期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与成轴对称.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称.
故答案为：A.
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解.
8．（2022·济阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BM，
根据题中作图可知，AD平分，
，
，，
，
，
过点B作于点E，则的最小值即为BE的长度，
，
，
，
∵，
，
即，
解得：，
故答案为：C．
【分析】过点B作于点E，则的最小值即为BE的长度，由，得出，代入计算即可。
9．（2021八上·广州期中）如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
10．（2020八上·宁晋期末）如图，在 中， ， ， ， ， 平分 交 于点D，E，F分别是 ， 边上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，过点C作 ，垂足为H.
∵ 平分 ，
∴根据对称可知 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴当点C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为 .
故答案为：B.
【分析】在 上取点 ，使 ，连接 ，过点C作 ，垂足为H.由 平分及对称性，可得，由求出CH，当点C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为CH的长.
二、填空题
11．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点.
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则 4 个点中， 可以反弹击中N球的是：D.
故答案为：D.
【分析】可做点N关于桌面一边AB的对称点N'，连接对称点与M的线段交桌面一边AB于一点，则交点即为所求.
12．（2022八上·青州期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则的度数是 ．
【答案】100°
【知识点】角的运算；轴对称的性质
【解析】【解答】解： P点关于的对称点是，P点关于的对称点是，
，，，，，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：100°．
【分析】根据轴对称的性质及角的运算求出，再结合，，求出，最后求出即可。
13．（2023七下·高州月考）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的一个动点，则周长的最小值是 。
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：EF垂直平分BC，
B、C关于EF对称，
设EF交AC于G点，
当D与G点重合时，AD+BD的值最小，这个最小值等于AC的长度，
AB=4，AC=6，
的周长最小值=AB+AC=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】根据题意可得B、C两点关于EF对称，再根据对称轴中的最短路径问题分析，D运动到G点为AD+BD的最小值点，再根据已知条件得到周长最小值.
14．（2021八上·融水期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接AE，BP，
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
∴，，
在中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时，的值最小，最小值等于BC的长，
∴周长的最小值，
故答案为：14．
【分析】连接AE，BP，由垂直平分线的性质可得AE=BE，AP=BP，当C、P、B三点共线即P和E重合时，的值最小，最小值等于BC的长，可知△ABC周长的最小值=AC+AP+CP=AC+BC，继而得解.
15．（2021八上·鼓楼月考）如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
【答案】31
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，
③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31.
【分析】 根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，分三种情况：①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况；②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况；③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况；将三种情况所得结论相加即可求解.
三、综合题
16．（2022八下·元阳期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
【答案】解：作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，如图所示：
由轴对称的性质可知：PB=PE，DE=DB，
∴PA+PB=AP+PE，
由两点之间线段最短可知，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示，故四边形EDCF为矩形，
∴EF=CD=400m，CF=ED=BD=100m，
最短路程为：
PA+PB=AE
答：亮亮走的最短路程为．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短，再利用勾股定理求出答案即可。
17．（2022八下·吐鲁番期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
18．（2022八上·康巴什期末）已知，点P在的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N，．
（1）补全图，并且保留作图痕迹．
（2）写出∠COD °．△PMN的周长为 ．
【答案】（1）解：如图所示：作点P关于OA对称的点C，点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于M，交OB于N，
（2）60；15
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）如图，连接OC，OD，OP，
∵点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，
∴∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，
∴∠COD=2∠AOB，
又∵∠AOB=30°，
∴∠COD=60°；
∵AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，
∴PM=CM，PN=DN，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=15．
故答案为：60；15．
【分析】 （1）根据轴对称的性质分别作点P关于OA对称的点C，点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于M，交OB于N， 即得结论；
（2）连接OC，OD，OP，由轴对称的性质可得∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，从而得出∠COD=2∠AOB=60°，PM=CM，PN=DN，继而得出△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD，据此即得结论.
19．（2022八上·仪征月考）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
【答案】（1）解：如图所示，直线l即为所求．
（2）解：如图所示，点P即为所求；
根据两点之间线段最短即可证明PA+PC最小；
（3）3
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3.
故答案为：3.
【分析】（1）连接AD、CF，作其垂直平分线即可；
（2）连接CD，与对称轴交于点P，此时PA+PC最小，为CD的值；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积.
20．（2022七上·周村期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，的三个顶点A，B，C都在格点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）在直线l上找出一点Q，使得的值最小；（描出该点并标注字母Q）
（3）在直线l上找出一点P，使得的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，点Q即为所求．
（3）解：如图，点P即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据题意作图即可；
（3）根据题意作图即可。
21．（2021八上·五常期末）
（1）画图探究：如图①，若点 ， 在直线 的同侧，在直线 上求作一点 ，使 的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：如图②，等边 的边 上的高为6， 是边 上的中线， 是 上的动点， 是 的中点，求 的最小值．
【答案】（1）解：如答图①，点 即为所求．
（2）解：∵ 是等边 的边 上的中线，
∴ 是边 的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴ME+MC=ME+MB，
∴要ME+MC最小，即ME+MB最小，
∴当M、E、B三点共线时，ME+MB最小，最小为BE
∵ 是 的中点，
∴ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∴ 的最小值为6．
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 是边 的垂直平分线， 再求出 ME+MC=ME+MB， 最后求解即可。
22．（2022七下·兰州期末）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明道理．
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段，
另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，
它们关于OP对称；
如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°；
（2）解：FE=FD；如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°，
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC，
在△FDC和△FGC中，，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD；
（3）解：FE=FD仍然成立，理由如下：在AC上截取AH=AE，连接FH，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠HAF，
在△EAF和△HAF中，，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA，
又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°，
在△FDC和△FHC中，，
∴△FDC≌△FHC（ASA），
∴FD=FH．
∴FE=FD．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于OP对称．
根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算可求解；
（2）根据图1的作法，在AC上截取AG＝AE，连接FG，由“边角边”可证△EAF≌△GAF，由全等三角形的性质可得EF＝FG，∠EFA=∠GFA；用“角边角”可证△FCD≌△FCG，由全等三角形的性质可得DF＝FG，则EF＝FD；
（3）结论仍然成立，在AC上截取AH＝AE， 连接FH，由“边角边”可证△EAF≌△HAF，由全等三角形的性质可得EF＝FH，∠EFA=∠HFA；用“角边角”证明△FCD≌△FCH，由全等三角形的性质可得DF＝FH，则EF＝FD．
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