中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.1 有理数的加法
模块1：学习目标
1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；
2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；
3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；
模块2：知识梳理
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：
1.有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字；
2.计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
注意：
1.利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
2.注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用.
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的加法运算
例1．（2023·浙江温州·校考二模）计算的结果是（ ）
A．－2 B．2 C．6 D．－6
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
变式1. （2022·天津市七年级月考）下列运算中，正确的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据有理数加法法则计算判断即可．
【详解】①②③④均计算正确；⑤，故错误；故选：D．
【点睛】本题考查有理数的加法计算，熟记运算法则是解题关键．
考点2、有理数加法中的符号问题
例2．（2022秋·浙江七年级期中）（1）若，，，则__________
（2）若，，，则__________
【答案】
【分析】（1）根据有理数的加法法则进行计算即可求解；同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．（2）根据有理数的加法法则进行计算即可求解．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．
【详解】（1）若，，，则，故答案为：．
（2）若，，，则，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
变式2.（2022·河北邯郸市·七年级月考）若两个有理数的和为负数﹐则这两个有理数（ ）
A．一定都是负数 B．一定是一正一负，且负数的绝对值大
C．一定是一个为零，另一个为负数 D．至少有一个是负数，且仅有一个负数时该负数绝对值最大
【答案】D
【分析】根据有理数的加法及绝对值的意义可进行排除选项．
【详解】由两个有理数的和为负数可得：可能是两个负数相加，可能是0与一个负数的和，可能是一个负数一个正数相加，但负数的绝对值大于正数的绝对值，所以综上所述：至少要有一个负数，如果只有一个负数时，该负数的绝对值要大于正数的绝对值；故选D．
【点睛】本题主要考查有理数的加法及绝对值的意义，熟练掌握有理数的加法是解题的关键．
考点3、有理数加法在生活实际中的应用
例3．（2022·浙江嘉兴市·七年级期末）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）
100米 80米 米 50米 米 20米
A．米 B．240米 C．390米 D．210米
【答案】B
【分析】根据表格信息，利用有理数的加法运算法则进行计算．
【详解】解：由表可知：（米），（米），（米），（米），（米），（米），
∴（米）．故选：B．
【点睛】本题考查有理数加法的应用，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．
变式3．（2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
微信红包一来自王某某某平台商户
扫二维码付给某店
A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元
【答案】B
【分析】根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可获得答案．
【详解】解：元，即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元．故选：B．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，读懂题意，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题关键．
变式4．（2022·北京·九年级模拟）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8
休息 0 0 0 0 0
【答案】36
【分析】如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），而如果第三天选择高强度的话，距离为15km，所以可得第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），而如果第五天选择高强度的话，距离为8km，所以可得第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，据此可得答案．
【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），
如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，
∵12<15，∴第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），
如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，
∵9>8，∴第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，
∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）故答案为36．
【点睛】本题考查了有理数的加法及有理数的大小比较．正确理解题意是解题的关键．
考点4、有理数加法的运算律
运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例4．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）计算
(1)；(2)．
【答案】(1)12(2)3
【分析】（1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加；
（2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题主要考查加法运算，加法交换律，加法结合律，根据加数的特点，选择互为相反数的两数相加，小数部分相等的两数相加等可以简便运算．
变式4．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0 (2)
【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案；
（2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）
=
=
=
=0；
（2）
=
=
=
=
【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键．
考点5、幻方问题
例5．（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
【答案】B
【分析】先求出对角线上三个数的和为3，进而计算出、的值，代入计算即可．
【详解】∵每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，
∴， ，
∴，，∴故选：B
【点睛】本题考查有理数加法的计算方法，掌握计算法则是正确计算的前提．
例5．（2021·四川成都市·七年级期中）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角“△”代表的数是_____；方格中九个数的和是_____．
【答案】-4 -27
【分析】根据“河图”的特征可得：每一条对角线上的三个数的和等于第三行的各个数的和，求出△的值即可．
【详解】解：根据题意得： 解得：
设与△和-3在同一条对角线上另一个数为，则有： ∴
∴对角线上三个数的和为：，即每一行，每一列以及线上三个数的和都等于-9，
∴方格中九个数的和是，故答案为：-4；-27
【点睛】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力．
变式5. （2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是____________．
【答案】7或-6
【分析】由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2，横、竖的和也是2，从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可
【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d
∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等
∴两个圈的和为2；横、竖的和也为2 ∴-7+4+b+6=2，2+4+c+b=2，a+c+2+d=2
∴b=-1，c=-3，
当a=8时，d=-5，则
当a=-5时，d=8，则故答案为：7或-6
【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2
考点6、有理数加法运算的新定义问题
例6．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例： 即．
如图，当，时，求的值．
【答案】
【分析】利用题干中的约定求得m，n的值，再依据约定求得Z值即可．
【详解】解：根据约定可得：
，，∴．
【点睛】本题考查了有理数的加法，本题是操作性题目，理解题意并正确列出算式是解题的关键．
变式6．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据选项的特点，选择特殊的值代入，然后利用排除法求解即可．
【详解】解：取，，，
∴，不符合题意，排除B、C；
取，，， ∴，符合题意，
∵故选：A．
【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，理解新定义的运算是解题关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东烟台·统考二模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．
【详解】解：由题意得：，故选：C．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．
2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）若“”的值为负数，则“□”不可能是（ ）
A．－1 B．0 C． D．3
【答案】D
【分析】根据有理数的加法运算法则逐项求解即可．
【详解】解：A、当“□”为时，，故A选项不符合题意；
B、当“□”为0时，，故B选项不符合题意；
C、当“□”为时，，故C选项不符合题意；
D、当“□”为3时，，故D选项符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．
4．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．c+d＞0 C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上各数的位置判断其大小和绝对值大小，再按照选项进行计算即可．
【详解】由数轴可知大小关系为
选项A中，且，得，正确；
选项B中，且，得，正确；
选项C中，，，，错误；
选项D中， ，，，正确．故选C．
【点睛】本题考查数轴上数的大小判断、绝对值的计算和有理数加减结果的符号判断，根据大小进行判断和正确的化简绝对值是解题的关键．
5．（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为时，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．已知卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（ ）
A．11月20日05时 B．11月20日19时 C．11月21日05时 D．11月21日19时
【答案】B
【分析】卡塔尔与北京的时差为，根据有理数的加法运算法则进行计算即可．
【详解】解：卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，，
卡塔尔卢塞尔的时间为11月20日19时．故选B
【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则并理解时差的概念是解题的关键．
6．（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）m是有理数，则（ ）
A．一定是正数 B．可以是负数 C．不可能是负数 D．可是正数也可是负数
【答案】C
【分析】采用分类讨论，化简原式后判断．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．考虑三种情况．
【详解】解：当时，；
当时，；，
故可能为正数，不可能为负数，故选C．
【点睛】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，解题的关键是需要分情况讨论．
7．（2022 夹江县模拟）若三个不等的有理数的代数和为0，则下面结论正确的是（ ）
A．3个加数全为0 B．最少有2个加数是负数
C．至少有1个加数是负数 D．最少有2个加数是正数
【思路点拨】要使三个不等的有理数的代数和为0，必须保证这三个加数中既有正数也有负数；这三个加数中可能是一个负数和两个正数，也可能是一个正数和两个负数．
【解答】解：要使三个不等的有理数的代数和为0，至少有1个加数是负数．故选：C．
【点睛】本题考查的是对有理数加法法则的理解．注意审题，找出规律，是解决此类问题的关键所在．
8．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（ ）
A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上
C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则以及数轴上的点进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，，，，
∴同为负号，异号，∴，∴原点在之间，
∵，∴的绝对值大于的绝对值，即点到原点的距离大于到原点的距离
∴该数轴原点的位置应该在点在线段（不包括端点）上，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加法法则以及数轴上的点，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．
9．（2023秋·贵州黔东南·七年级统考期末）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是、6、．已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】先根据两点间的距离公式求出a，再利用绝对值的意义求出c．
【详解】解：∵，B表示的数为6，∴，
∵，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了数轴和有理数的加法，掌握数轴上两点间距离的算法及绝对值的意义是解决本题的关键．
10.（2022 绵阳市七年级期中）对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（ ）
①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若a+b＝0，移项可得a＝﹣b，满足相反数的定义，故a与b互为相反数，本选项正确；
②举一个反例满足a+b＜0，可以取a与b同时为负数满足条件，但a与b不异号，本选项错误；
③根据条件可得a+b大于0，且a与b同号，可得a与b只能同时为正，进而得到a、b大于0，本选项正确；④举一个反例，a与b两数都为负数，a的绝对值大于b的绝对值满足条件，但是a+b小于0，本选项错误；⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确．
【解答】解：①若a+b＝0，则a＝﹣b，即a与b互为相反数，本选项正确；
②若a+b＜0，若a＝﹣1，b＝﹣2，a+b＝﹣3＜0，但是a与b同号，本选项错误；
③a+b＞0，若a与b同号，只有同时为正，故a＞0，b＞0，本选项正确；
④若|a|＞|b|，且a，b同号，例如a＝﹣3，b＝﹣2，满足条件，但是a+b＝﹣5＜0，本选项错误．
⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确；则正确的结论有3个．故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，其次运用各种运算法则进行运算，本题要求学生掌握判断一个命题的真假的方法，可利用举反例的方法说明一个命题为假命题，即满足题中的条件，但与结论矛盾．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·福建·七年级期末）婷算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二表示的算式是_______．
【答案】
【分析】运用有理数的加减法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可得出．
【详解】解：图中算式二表示的是，故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加先判断符号，确定符号之后再进行运算．
12．（2023·吉林长春·统考一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】＜
【分析】根据实数a、b在数轴上对应点的位置，判定出a、b符号以及绝对值的大小，然后根据有理数加法法则进行判断即可．
【详解】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知：，，且，
∴， 故答案是＜
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的加法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．
13．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）学校、张明家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在张明家的南边米处，书店在张明家的北边米处，张明同学从家出发，向北走了米，接着又向北走了米，则此时张明在________．
【答案】家的南边20米处/学校
【分析】把家记为原点，北方向记为正，南方向记为负，则有学校记为m，书店记为m，根据题意可进行列式求解即可．
【详解】把张明家记为原点，北方向记为正，南方向记为负，则学校记为m，书店记为m，根据题意得：张明从家向北走的距离为：，
∴此时张明在家的南边20米处，即学校的位置．
故答案为：家的南边米处（或学校）
【点睛】本题主要考查正负数的意义、绝对值的意义及有理数的加法，熟练掌握正负数的意义、绝对值的意义及有理数的加法是解题的关键．
14．（2022·内蒙古赤峰市·七年级期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法：
解：16+（-25）+24+（-35）
=（16+24）+[（-25）+（-35）]
=40+（-60）=-20
从而使运算简化，他根据的是___________________________________．
【答案】加法交换律和加法结合律
【分析】分析运算过程解答即可．
【详解】解：16+(-25)+24+(-35)=(16+24)+[(-25)+(-35)]（加法交换律和加法结合律）
=40+(-60)=-20．
故答案为：加法交换律和加法结合律．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法的加法交换律和加法结合律是解答本题的关键．
15．（2022 夏津县期末）数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数之和是 ．
【路点拨】根据题意画出数轴，进而得出符合题意的整数，求出答案即可．
【解答思】解：如图所示：
，
数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故符合题意的所有整数之和是：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7．故答案为：﹣7．
【点睛】此题主要考查了数轴，根据题意得出符合题意的所有整数是解题关键．
16（2022 蓬溪县期中）如果abcd＝49且a、b、c、d是互不相等的整数，则a+b+c+d＝ ．
【思路点拨】根据49的分解质因数确定出这四个数，然后相加即可得解．
【解答】解：∵49＝（﹣1）×1×（﹣7）×7，
∴这4个数只能是﹣1，1，﹣7，7，
∴a+b+c+d＝﹣1+1+（﹣7）+7＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，确定出这四个数是解题的关键，也是本题的难点．
17．（2022 历城区期末）如表，从左边第一个格子开始向右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则前2021个格子中所有整数的和为 ．
【思路点拨】根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可得出x、y、z所表示的数，进而得出这一列数，再求和即可．
【解答】解：根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”可得这列数如下：
因为2021÷3＝673……2，
所以前2021个格子中所有数的和为673×2﹣8+6＝1344，故答案为：1344．
【点睛】本题考查有理数的加法，得出这列数据的排列规律是正确解答的关键．
18．（2022·北京丰台·七年级期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|＋|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为_____．
【答案】4或－2##-2或4
【分析】根据新定义的含义列方程再利用绝对值的含义解方程即可.
【详解】解：由题意得： 整理得：
或 解得：或 故答案为：或
【点睛】本题考查的是绝对值方程的应用，有理数的加法运算，理解新定义，根据新定义绝对值方程是解本题的关键.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·云南红河·七年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以把分数化成小数，利用加法运算律进行简便运算；
（1）可以先去括号，再利用加法运算律进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2022·山东·峄城区七年级阶段练习）用适当方法计算：
（1）； （2）
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据有理数的加法计算法则求解即可得到答案；
（2）根据有理数的加法计算法则求解即可得到答案；
（3）根据有理数的加法计算法则求解即可得到答案；
（4）根据有理数的加法计算法则求解即可得到答案．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的加法计算法则．
21. （2022·山东济宁市·七年级月考）计算：
（1）（2） （3） （4）
【答案】（1）-19；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）根据有理数的加法法则可以解答本题；
（2）先交换加数的位置，利用互为相反数的两个数和为0进行计算即可解答．
（3）根据有理数的加法法则从左到右计算即可；
（4）先交换加数的位置，分别计算同分母分数的加法，再进行通分计算即可解答．
【详解】解：（1）（-6）+（-13）
=-（6+13）．
=-19；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=；
（4）
=
=
=
=.
【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法，注意可利用加法的运算定律进行简便计算．
22．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）计算
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)0.6(2)(3)(4)
【分析】（1）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；
（2）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；
（3）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案；
（4）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
23．（2022 海珠区期末）为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14．﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？（2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？
【思路点拨】（1）把这些数值相加，结果为正，在东方，反之在西方；
（2）不论向那边走，都要耗油，所以与方向无关，算这些数的绝对值的和加上返回的20千米即为所走的路程，进而求出耗油量．
【解答】（1）+14+（﹣9）+（+8）+（﹣7）+（+13）+（﹣6）+（+12）+（﹣5）＝20（千米），
答：交警最后所在地在A地的东方20千米处．
（2）14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|+20＝94（千米），
94×0.2＝18.8（升），
答：这次巡逻（含返回））共耗油18.8升．
【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，考核学生的应用意识，第（2）问中给数值加
24．（2022.广西七年级期中）下面的方阵图中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．
（1）根据图①中给出的数，对照完成图②；
（2）试着自己找出九个不同的数，完成图③；
（3）想一想：图中九个数，最中间的数与其他八个数有什么关系？
【思路点拨】（1）图①中正中间的数1变为图②中正中间的数0，所以将图①中各数依次减去1即可；
（2）可将图①中各数依次加1，填表即可；
（3）观察发现，最中间的数的8倍与其他八个数的和相等．
【解答】解：（1）将图①中各数依次减去1，如图②；
（2）将图①中各数依次加1，如图③；
（3）观察发现，最中间的数的8倍与其他八个数的和相等．
【点睛】本题考查了有理数的加法，九方格题目，趣味性较强，本题的关键是了解九方格的特点
25．（2022·重庆潼南·七年级期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
______；______；______．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时，__________________________________．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ________________________．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
【答案】(1) 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值
(2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.
【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则；
（2）对于加乘运算的交换律， 可举例进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例 进行运算后再判断即可.
(1)解：根据加乘运算的运算法则可得：
；；．
归纳可得：
两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
(2)解：加法的交换律仍然适用，
例如：
所以
故加法的交换律仍然适用．
加法的结合律不适用，
例如：
所以故加法的结合律不适用．
【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.1 有理数的加法
模块1：学习目标
1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；
2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；
3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；
模块2：知识梳理
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：
1.有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字；
2.计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
注意：
1.利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
2.注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用.
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的加法运算
例1．（2023·浙江温州·校考二模）计算的结果是（ ）
A．－2 B．2 C．6 D．－6
变式1. （2022·天津市七年级月考）下列运算中，正确的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2、有理数加法中的符号问题
例2．（2022秋·浙江七年级期中）（1）若，，，则__________
（2）若，，，则__________
变式2.（2022·河北邯郸市·七年级月考）若两个有理数的和为负数﹐则这两个有理数（ ）
A．一定都是负数 B．一定是一正一负，且负数的绝对值大
C．一定是一个为零，另一个为负数 D．至少有一个是负数，且仅有一个负数时该负数绝对值最大
考点3、有理数加法在生活实际中的应用
例3．（2022·浙江嘉兴市·七年级期末）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）
100米 80米 米 50米 米 20米
A．米 B．240米 C．390米 D．210米
变式3．（2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
微信红包一来自王某某某平台商户
扫二维码付给某店
A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元
变式4．（2022·北京·九年级模拟）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8
休息 0 0 0 0 0
考点4、有理数加法的运算律
运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例4．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）计算
(1)；(2)．
变式4．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
考点5、幻方问题
例5．（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
例5．（2021·四川成都市·七年级期中）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角“△”代表的数是_____；方格中九个数的和是_____．
变式5. （2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是____________．
考点6、有理数加法运算的新定义问题
例6．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例： 即．
如图，当，时，求的值．
变式6．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．以上答案都不对
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东烟台·统考二模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）若“”的值为负数，则“□”不可能是（ ）
A．－1 B．0 C． D．3
4．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．c+d＞0 C． D．
5．（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为时，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．已知卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（ ）
A．11月20日05时 B．11月20日19时 C．11月21日05时 D．11月21日19时
6．（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）m是有理数，则（ ）
A．一定是正数 B．可以是负数 C．不可能是负数 D．可是正数也可是负数
7．（2022 夹江县模拟）若三个不等的有理数的代数和为0，则下面结论正确的是（ ）
A．3个加数全为0 B．最少有2个加数是负数
C．至少有1个加数是负数 D．最少有2个加数是正数
8．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（ ）
A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上
C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上
9．（2023秋·贵州黔东南·七年级统考期末）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是、6、．已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．6
10.（2022 绵阳市七年级期中）对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（ ）
①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·福建·七年级期末）婷算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二表示的算式是_______．
12．（2023·吉林长春·统考一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“＞”、“＝”或“＜”）
13．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）学校、张明家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在张明家的南边米处，书店在张明家的北边米处，张明同学从家出发，向北走了米，接着又向北走了米，则此时张明在________．
14．（2022·内蒙古赤峰市·七年级期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法：
解：16+（-25）+24+（-35）
=（16+24）+[（-25）+（-35）]
=40+（-60）=-20
从而使运算简化，他根据的是___________________________________．
15．（2022 夏津县期末）数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数之和是 ．
16（2022 蓬溪县期中）如果abcd＝49且a、b、c、d是互不相等的整数，则a+b+c+d＝ ．
17．（2022 历城区期末）如表，从左边第一个格子开始向右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则前2021个格子中所有整数的和为 ．
18．（2022·北京丰台·七年级期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|＋|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为_____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·云南红河·七年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
20．（2022·山东·峄城区七年级阶段练习）用适当方法计算：
（1）； （2）
（3）； （4）．
21. （2022·山东济宁市·七年级月考）计算：
（1）（2） （3） （4）
22．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）计算
(1) (2) (3) (4)
23．（2022 海珠区期末）为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14．﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？（2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？
24．（2022.广西七年级期中）下面的方阵图中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．
（1）根据图①中给出的数，对照完成图②；
（2）试着自己找出九个不同的数，完成图③；
（3）想一想：图中九个数，最中间的数与其他八个数有什么关系？
25．（2022·重庆潼南·七年级期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
______；______；______．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时，__________________________________．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ________________________．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
