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专题2.3 有理数的乘法
模块1：学习目标
1. 会正确进行有理数的乘法运算；掌握有理数的乘法运算律；
2. 了解倒数的概念，会求一个数的倒数；
3. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想。
模块2：知识梳理
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
注意：1）当用字母表示乘数时，“×"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
（1）非零整数可以看作分母为的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；
3）倒数等于本身的数有：1、-1；
模块3：核心考点与典例
考点1、两个有理数的乘法运算
1．（2023·山西晋中·统考一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可．
【详解】，
故选：B．
【点睛】本题考查了负数乘以负数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
变式1. （2022·安徽九年级二模）下列各数中，与的乘积得0的数是（ ）
A．5 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
【详解】解：因为，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数乘法法则，准确进行计算．
考点2、乘法运算的符号判别
例2．（2022·浙江七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图示知b＜-1＜0＜a＜1，然后由有理数的乘法、加减法运算的计算法则即可求解．
【详解】解：由题意得b＜-1＜0＜a＜1，则A、ab＜0是正确的，故本选项不符合题意；
B、a-1＜0，b+1＜0，（a-1）（b+1）＞0是正确的，故本选项不符合题意；
C、a+b＜0是正确的，故本选项不符合题意；
D、|a|-|b|＜0，原来的计算是错误的，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查数轴的知识，属于基础题，解答本题的关键是通过图形得出a为正数，b为负数，且|a|＜|b|，难度一般．
变式2. （2022·山东德州市·七年级期中）若m＜n＜0，则（ ）0
A．＜ B．＞ C．= D．≥
【答案】B
【分析】根据m＜n＜0，易知m、n是负数，且m的绝对值大于n的绝对值，于是可得m＋n＜0，m﹣n＜0，根据同号得正，易知＞0．
【详解】解：∵m＜n＜0，∴m＋n＜0，m－n＜0，∴＞0．故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，解题的关键是先正确判断m＋n，m－n的正负性．
变式3．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）若，则（ ）0
A．> B．< C．= D．≥
【答案】A
【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即可．
【详解】解：∵，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为0．
考点3、多个有理数的乘法运算
例3．（2022浙江七年级期中）在，2，，，这四个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．24
【答案】D
【分析】要使任意三数之积最大所选择的数必须有偶数个负数且绝对值尽可能大，由此即可得到结果．
【详解】解：∵有四个数-1，2，-3，-4，
∴三数之积的最大值是（-3）×（-4）×2=24．故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式3．（2022秋·山东七年级期中）计算：__________．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：， 故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
考点4、有理数乘法运算律
运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）
例4．（2022·浙江七年级月考）计算 时，可以使运算简便的是 ( )
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律
【答案】B
【分析】根据乘法分配律简便运算即可.
【详解】用乘法分配律可简便运算，
==-12+27-6=9故选B
【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算技巧是解题的关键.
变式4. （2022·浙江初一期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1
【分析】（1）把带分数化为假分数，小数化为分数，然后根据有理数的乘法法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（3）利用乘法交换结合律进行计算即可得解；
（4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；（5）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；（6）先算小括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）．
【点睛】本题考查有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理．
考点5、有理数乘法的实际应用
例5．（2022·北京顺义区·九年级二模）某快餐店的价目表如下：
菜品 价格
汉堡（个） 21元
薯条（份） 9元
汽水（杯） 12元
1个汉堡＋1份薯条（A套餐） 28元
1个汉堡＋1杯汽水（B套餐） 30元
1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐） 38元
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．
【答案】300
【分析】由题意可知，A、B、C套餐的优惠力度分别为2元、3元、4元，如果三样商品数量比较接近的话，选择C套餐会更划算，但是本题汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐，会更优惠．
【详解】选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐价格最低，需要花费30×5+28×4+38×1=300元，
故答案为：300．
【点睛】本题属于创新题型，主要考查的了方案选择，比较贴合生活实际，需要学生梳理出有哪些方案，根据一定的规律找到最优方案．
变式5. （2022·广西·七年级月考）王叔叔将“绿色出行，从我做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录了一周上下班的步数情况如下表，若王叔叔平均每步米，请你计算本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了多少米（ ）
星期 一 二 三 四 五
步数
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意和表格数字列出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得．
【详解】由题意得：，
（米），
即本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了米，故选：D．
【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．
变式6．（2023·湖北宜昌·校考一模）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______．
【答案】9
【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解．
【详解】解：根据 “每登高1km气温的变化量为”知：
攀登后，气温变化量为： 下降为负，所以下降，故答案为：9．
【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．
考点6、有理数乘法的新定义问题
例6．（2022·河北张家口市·七年级期中）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（ ）
A． B．99 C．9900 D．2
【答案】C
【分析】根据运算的定义，可以把100！和98！写成连乘积的形式，然后约分即可求解．
【详解】解：原式==99×100 =9900．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确理解题意，理解运算的定义是关键．
变式6. （2022·山西吕梁市·九年级二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．
【详解】解：C125 =
故选：B．
【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．
考点7、倒数
例7．（2023·安徽阜阳·统考二模）的倒数是（ ）
A．13 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
变式7．（2023·四川达州·统考一模）的倒数的绝对值是( )
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出的倒数，再求绝对值即可．
【详解】解：的倒数是，的绝对值是，
即的倒数的绝对值是．故选：A．
【点睛】本题考查了倒数与绝对值，掌握相关的定义是解答本题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东深圳·统考二模）“3 15晚会”曝光了专骗老人买神药的“直播间儿子”一一将成本价元/盒的产品卖到盒/元．该产品的利润率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据利润率等于利润除以成本即可求解．
【详解】解：∵每盒的利润（元），
∴该产品的利润率约为：故选：C．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，掌握利润率等于利润除以成本是解题的关键．
2.（2022·山东淄博·二模）若，则“□”内应填的实数是（ ）
A． B．2022 C． D．
【答案】C
【分析】根据互为倒数的两数的乘积等于1，即可求解．
【详解】解：∵．故选：C
【点睛】本题主要考查了倒数的性质，熟练掌握互为倒数的两数的乘积等于1是解题的关键．
3．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）数的相反数为的倒数，则的值为（ ）
A．2022 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出的倒数，再求出倒数的相反数，可得a值．
【详解】解：的倒数为，∴的相反数为a，即为，故选D．
【点睛】本题考查了相反数和倒数，解题的关键是掌握各自的定义和求法．
4．（2022秋·云南昆明·七年级校考期中）在，，，，这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）
A．10 B．30 C．20 D．18
【答案】C
【分析】根据两数相乘，同号得正，又正数大于负数，所以最大．
【详解】因为正数大于负数，选择同号且绝对值的积较大的两数相乘，只有最大．
故选：C.
【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数乘法，解题的关键是多次尝试．
5．（2023·四川成都·统考二模）下列各数中，倒数是它本身的数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据倒数的定义可进行求解．
【详解】解：倒数是它本身的数是1；故选A．
【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
6. （2022·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律，分别进行判断．
【详解】解：A、，正确；
B、，应用了乘法分配律，正确；
C、，有三个负因数，结果应为负数，错误；
D、，逆用分配律，正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”．
7．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）若，，则a、b应满足的条件为（ ）
A．， B．，
C．，或， D．，或，
【答案】C
【分析】根据实数的运算性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】若，，说明是异号两数，并且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以可得，或，．故选：C．
【点睛】根据有理数乘法求解是本题考查的重点，熟练掌握性质是解题的关键．
8．（2023·山东菏泽·山东省郓城第一中学校考一模）如图，数轴上点所表示的数分别是，若，，则原点的位置在（ ）
A．的左边 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置得出，结合，得出或，再结合可得出原点的位置在线段上．
【详解】因为，，
所以要么，要么，
又因为，所以，所以原点的位置在线段上．故选∶D．
【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上点的特点及有理数的乘法法则是解题的关键．
9.（2022·江苏苏州·七年级期末）某超市出售一种方便面，原价为每箱24元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意，算出每种方案的最终价格，然后比较即可．
【详解】解：方案一的最终价格为：元；
方案二的最终价格为：元；方案三的最终价格为：元；因为，则选方案三，故选：C
【点睛】此题考查了列出代数式计算的能力，读懂题意，找出题中的数量关系，列出式子正确计算是解题的关键．
10．（2022·浙江杭州市·七年级期末）四个各不相等的整数，满足，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．10 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法确定出a、b、c、d四个数，然后相加即可得解．
【详解】解：∵1×（-1）×3×（-3）=9，∴a、b、c、d四个数分别为±1，±3，
∴a+b+c+d=1+（-1）+3+（-3）=0．故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘法，有理数的加法，是基础题，确定出a、b、c、d四个数的值是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·常州市二模）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费_____元．
【答案】19
【分析】根据题意列出算式，计算求值即可．
【详解】解：圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，超过了5千克，
需付费（元），故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，读懂题意，准确判断付费标准是解决问题的关键．
12．（2022·浙江七年级期中）用简便方法计算：__________．
【答案】
【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，把式子转化成乘法分配律的形式是解题关键．
13．（2022·广东惠州·七年级统考期中）若，则的负倒数是______．
【答案】
【分析】由，，，，，，，可得的值，即可求出负倒数．
【详解】∵
，
∴的负倒数是．故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，认真审题，找出规律是解决此题的关键．
14.（2022·广东广州·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
【答案】﹣15
【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a*b＝3ab，
∴*（﹣2*5）＝*[3×（﹣2）×5]＝*（﹣30）＝3××（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
15．（2022·湖北鄂州·七年级期中）从－9，－7，－5，0，3，6，8中任取三个数做乘积，那么最小的乘积是_________．
【答案】-432
【分析】根据有理数的乘法和有理数的大小比较确定出乘积最小的三个数，然后进行计算即可得解．
【详解】解：根据有理数的乘法，乘积最小的三个数或三个都是负数，或一负二正，
-9×(-7)×(-5)=-315；-9×6×8=-432．故最小的乘积是-432．故答案为：-432．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，确定出乘积最小的三个数是解题的关键．
16．（2022秋·浙江·七年级期末）有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为________（填“正”或“负”或“零”）
【答案】负
【分析】由数轴判断出，，再确定和符号即可．
【详解】解：由数轴知：，，∴和
∴，即的符号为负故答案为：负．
【点睛】本题考查数轴上两个有理数大小以及有理数的乘法，明确负数乘以正数积小于0是解题关键．
17．（2022·临海市外国语学校七年级期中）若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为_________
【答案】20.
【分析】根据题意确定出a，b，c，d的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵四个互不相同的正整数a，b，c，d，
∴（5﹣a）、（5﹣b）、（5﹣c）、（5﹣d）也为四个互不相同的整数，
∵4=（-1）×1×（-2）×2，只有这一种情况
∴可设，5﹣a＝1，5﹣b＝﹣1，5﹣c＝2，5﹣d＝﹣2，
解得：a＝4，b＝6，c＝3，d＝7，则a+b+c+d＝20，故答案为：20．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，把4拆成四个不同整数的积是解本题的关键．
18．（2022·浙江金华市·七年级月考）已知：=3，=10，=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=___．
【答案】4
【分析】根据计算可得．
【详解】解：=4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是根据已知等式得出计算公式．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）； （6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）
【分析】按照有理数乘法计算逐一求出答案即可．
【详解】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
20．（2022·山东省平原县第五中学七年级月考）简便计算：
（1）； （2）．
（3）； （4）．
【答案】（1）﹣2；（2）﹣559；（3）﹣；（4）0
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果；（3）分子分母直接进行约分可得出答案；（4）0乘以任何数，答案都为0．
【详解】解：（1）
=3+1-6
=﹣2；
（2）
=（-70+）×8=﹣560+
=﹣559；
（3）
=
=
=﹣；
（4）
=0．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2022·湖南七年级月考）简便方法计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）5；（2）-3．
【分析】（1）运用乘法分配律进行计算即可；（2）逆用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，掌握并能灵活运用乘法分配律是解答此题的关键．
22．（2022秋·七年级期中）利用运算律做较简便的计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)(2)(3)0
【分析】（1）将小数化为分数，再利用乘法结合律计算；
（2）利用乘法分配律展开计算；（3）利用乘法分配律合并计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
【点睛】本题主要考查了乘法运算律，解答的关键是掌握乘法结合律和分配律．
23．（2022·吉林省初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可；
（3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可．
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得：
假设，则=3×4-3=9
=4×3-4=8 ∴不能用交换律．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识．
24．（2022 浦东新区期中）阅读理解题
在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：
你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
【思路点拨】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案．
【答案】解：（1）由题意得，
第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，
第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，
第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，
如第二个表格：2×8+3×7＝16+21＝37，
第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位，
∵64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，
∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案为4，8，2，8，7，4．
【点睛】本题属于与有理数乘法有关的规律探索题，根据表格发现规律是解决问题的关键．
25．（2022 广信区期中）阅读理解：
计算×﹣×时，若把与（分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为A，为B，
则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝．请用上面方法计算：
①
②．
【思路点拨】（1）根据题意设（++++）为A，（+++++）为B，原式变形后计算即可求出值；
（2）根据题意设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式变形后计算即可求出值．
【答案】解：（1）设（++++）为A，（+++++）为B，
原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝；
（2）设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，
原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键
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专题2.3 有理数的乘法
模块1：学习目标
1. 会正确进行有理数的乘法运算；掌握有理数的乘法运算律；
2. 了解倒数的概念，会求一个数的倒数；
3. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想。
模块2：知识梳理
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
注意：1）当用字母表示乘数时，“×"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
（1）非零整数可以看作分母为的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；
3）倒数等于本身的数有：1、-1；
模块3：核心考点与典例
考点1、两个有理数的乘法运算
1．（2023·山西晋中·统考一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．6
变式1. （2022·安徽九年级二模）下列各数中，与的乘积得0的数是（ ）
A．5 B． C．0 D．1
考点2、乘法运算的符号判别
例2．（2022·浙江七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2022·山东德州市·七年级期中）若m＜n＜0，则（ ）0
A．＜ B．＞ C．= D．≥
变式3．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）若，则（ ）0
A．> B．< C．= D．≥
考点3、多个有理数的乘法运算
例3．（2022浙江七年级期中）在，2，，，这四个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．24
变式3．（2022秋·山东七年级期中）计算：__________．
考点4、有理数乘法运算律
运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）
例4．（2022·浙江七年级月考）计算 时，可以使运算简便的是 ( )
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律
变式4. （2022·浙江初一期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
考点5、有理数乘法的实际应用
例5．（2022·北京顺义区·九年级二模）某快餐店的价目表如下：
菜品 价格
汉堡（个） 21元
薯条（份） 9元
汽水（杯） 12元
1个汉堡＋1份薯条（A套餐） 28元
1个汉堡＋1杯汽水（B套餐） 30元
1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐） 38元
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．
变式5. （2022·广西·七年级月考）王叔叔将“绿色出行，从我做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录了一周上下班的步数情况如下表，若王叔叔平均每步米，请你计算本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了多少米（ ）
星期 一 二 三 四 五
步数
A． B． C． D．
变式6．（2023·湖北宜昌·校考一模）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______．
考点6、有理数乘法的新定义问题
例6．（2022·河北张家口市·七年级期中）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（ ）
A． B．99 C．9900 D．2
变式6. （2022·山西吕梁市·九年级二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
考点7、倒数
例7．（2023·安徽阜阳·统考二模）的倒数是（ ）
A．13 B． C． D．
变式7．（2023·四川达州·统考一模）的倒数的绝对值是( )
A．2023 B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东深圳·统考二模）“3 15晚会”曝光了专骗老人买神药的“直播间儿子”一一将成本价元/盒的产品卖到盒/元．该产品的利润率约为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·山东淄博·二模）若，则“□”内应填的实数是（ ）
A． B．2022 C． D．
3．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）数的相反数为的倒数，则的值为（ ）
A．2022 B． C． D．
4．（2022秋·云南昆明·七年级校考期中）在，，，，这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）
A．10 B．30 C．20 D．18
5．（2023·四川成都·统考二模）下列各数中，倒数是它本身的数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
6. （2022·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）若，，则a、b应满足的条件为（ ）
A．， B．，
C．，或， D．，或，
8．（2023·山东菏泽·山东省郓城第一中学校考一模）如图，数轴上点所表示的数分别是，若，，则原点的位置在（ ）
A．的左边 B．线段上 C．线段上 D．线段上
9.（2022·江苏苏州·七年级期末）某超市出售一种方便面，原价为每箱24元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不确定
10．（2022·浙江杭州市·七年级期末）四个各不相等的整数，满足，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．10 D．无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·常州市二模）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费_____元．
12．（2022·浙江七年级期中）用简便方法计算：__________．
13．（2022·广东惠州·七年级统考期中）若，则的负倒数是______．
14.（2022·广东广州·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
15．（2022·湖北鄂州·七年级期中）从－9，－7，－5，0，3，6，8中任取三个数做乘积，那么最小的乘积是_________．
16．（2022秋·浙江·七年级期末）有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为________（填“正”或“负”或“零”）
17．（2022·临海市外国语学校七年级期中）若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为_________
18．（2022·浙江金华市·七年级月考）已知：=3，=10，=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=___．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）； （6）
20．（2022·山东省平原县第五中学七年级月考）简便计算：
（1）； （2）．
（3）； （4）．
21．（2022·湖南七年级月考）简便方法计算：
（1）；（2）．
22．（2022秋·七年级期中）利用运算律做较简便的计算：
(1)； (2)； (3)．
23．（2022·吉林省初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
24．（2022 浦东新区期中）阅读理解题
在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：
你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
25．（2022 广信区期中）阅读理解：
计算×﹣×时，若把与（分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为A，为B，
则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝．请用上面方法计算：
①
②．
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