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专题2.4 有理数的除法
模块1：学习目标
1. 会把有理数的除法运算改为乘法运算；
2. 掌握有理数的四混合运算，及实际背景下的相关运算。
模块2：知识梳理
1.有理数的除法
1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
模块3：核心考点与典例
考点1、 有理数的除法运算
例1．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了有理数除法，熟记有理数除法法则是解题的关键．
变式1．（2022·江苏七年级期末）如果，则“”内的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数用除法，即用积除以已知因数．
【详解】解：由题意可得：“”内的数是．故选B．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，关键是知道乘法与除法是互逆的两种运算．
变式2．（2023·陕西西安·校考三模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：．故答案：B．
【点睛】本题考查了有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．掌握运算法则是解题的关键．
考点2、有理数的除法符合辨别
例1．（2023·山西吕梁·模拟预测）若，且，异号，则的符号为（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【分析】根据同号得正，异号得负判断即可．
【详解】解：∵，异号，∴，又∵，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键．
变式2. （2022·湖南·长沙市七年级期中）如果a＞0，b＜0，那么下列结果正确的是（ ）
A．ab＞0，＞0 B．ab＞0，＜0 C．ab＜0，＞0 D．ab＜0，＜0
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法和除法法则即可得出判断．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，＜0，故选：D．
【点睛】此题考查了此题考查了，解题的关键是熟练掌握．，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法和除法法则．
考点3、有理数的除法简算
例3．（2022·娄底市七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】．
【分析】根据题意，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．
变式3. （2022·湖北黄冈市·七年级月考）阅读下列材料：
计算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1） 上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2） 请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
【答案】（1）解法一；（2）
【分析】（1）根据有理数的计算方法判断即可；（2）选择解法二求出值即可；
【详解】（1）杉树得到的结果不同，通过分析可得解法一不正确；
（2）根据解法二的形式可得：
原式;
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．
考点4、有理数除法的应用
例4．（2022·苏州高新区七年级期中）如图，平行四边形A与平行四边形B部分重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的，则平行四边形A与平行四边形B的面积比是_______．
【答案】2：3
【分析】可设重合面积为单位1，1÷可表示B的面积，用1÷表示A的面积，即可列式求出答案．
【详解】解：B的面积是A的：（1÷）÷（1÷），=6÷4，=1.5（倍）；面积比是2：3．故答案为：2:3．
【点睛】此题有理数除法运算的应用，正确理解重叠部分与A、B的面积的关系是解题的关键．
变式4. （2023春·山东枣庄·八年级统考期中）某种药品的说明书上，贴有如下的标签，一次服用这种药品的剂量最多是 _______．
【答案】45
【分析】用每天的最大量除以最少服用次数即可．
【详解】解：一次服用这种药品的剂量的最大值为．故答案为：45．
【点睛】本题考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式．
变式5. （2022·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；
（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．
【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用．
考点5、有理数混合运算-“24点游戏”
例5．（2022·浙江杭州市·七年级期中）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________；
【答案】
【分析】由 可得由 可得由 可得由，可得从而可得答案．
【详解】解：算式1：
算式2：
算式3：
算式4：
故答案为：
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维．
变式5.（2022·绵阳市七年级单元测试）有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃10．李老师拿出这4张牌给同学们算“24”．竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次．注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内．列出两个算式，使所得结果是24．
【答案】见解析
【分析】根据题目中的数字，可以写出相应的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：由题意可得：（10+4-6）×3=24；4-（-6）×10÷3=24．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注意本题答案不唯一，这是一道开放型题目．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·山东·七年级校考阶段练习）与运算结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘除法则分别计算，再作比较．
【详解】解：
A、，该选项不符合题意；B、，该选项符合题意；
C、，该选项不符合题意；D、，该选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考考查了有理数的除法．解题关键点：熟记有理数的除法法则．
2.（2022·河南·开封市七年级期中）两个有理数的商为负数，则这两个有理数（ ）
A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数
【答案】B
【分析】两数相除，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【详解】解：两个有理数的商是负数，这两个数一定异号．故选：B．
【点睛】本题考查有理数的除法运算符号法则，比较简单，熟记“同号得正，异号得负”是解题的关键．
3．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的除法法则对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意，．故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键，除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数．
4. （2022·四川成都市·七年级期中）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①按有理数的乘法法则计算即可；②按有理数的除法法则计算即可；③先算乘法再算除法即可；④先算除法再算乘法即可．
【详解】①，故错误；②，故错误；
③，故正确；④，故正确．∴正确的个数为2．故选择：C．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除法的运算顺序，它们是同级运算，从左向右进行计算是解题关键．
5．（2022·河北·石家庄一模）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】A
【分析】利用有理数的四则运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，，．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
6．（2022·浙江·舟山九年级期中）计算：得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．
【详解】解：，故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（2022·四川南充·七年级期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出从32℃降低到20℃所需要的时间，再加上从60℃降低到32℃所需要的时间即可求解．
【详解】解：每分钟降低4℃，从32℃降低到20℃所需要的时间是min．
从60℃降低到32℃所需要的时间是8min．
所以共用时间为8+3=11min．故选：C．
【点睛】本题考查有理数加法运算的实际应用和有理数除法运算的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
8．（2022·山东烟台·期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
【答案】C
【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数．
【详解】解：40÷（1-80%）=40÷20%=200（元） 200-40=160（元）
答：他购买这件商品花了160元．故选：C．
【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题．
9.（2022·河南·鹤壁七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（ ）
A．－6 B．－5 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题．
【详解】解：根据题意得，故选：A．
【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10.（2022·湖南张家界市·七年级期末）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：（-4）5=（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）=1÷（-4）÷（-4）÷（-4），
= 1×（-）×（-）×（- ）=，故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·陕西西安·统考一模）要使代数式“______”的运算结果最大，则“______”中应填入的运算符号是______“＋、－、×、÷”中选择一个运算符号填如）．
【答案】
【分析】先根据有理数的运算法则进行运算，再比较大小即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
又∵，∴要使代数式“______”的运算结果最大，在“______”中应填入的运算符号是．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的加、减、乘、除运算和有理数的大小比较．掌握运算法则是解题的关键．
12．（2022·海南海口·七年级校考期中）_____
【答案】
【分析】由已知一个因数与积求另一个因数用除法，从而可得答案．
【详解】解：，因此，故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算的意义及运算法则是解题的关键．
13．（2022·云南楚雄·七年级校考阶段练习）若规定，试求的值_______．
【答案】
【分析】根据为的倒数的相反数除以的一半计算即可．
【详解】解：，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的除法运算，解题的关键是理解题意，根据新定义进行运算．
14．（2022 抚顺县期末）（﹣7）×（﹣6）×0÷（﹣13）＝ ．
【思路点拨】根据有理数的乘除混合运算法则即可求出答案．
【答案】解：原式＝42×0÷（﹣13）＝0÷（﹣13）＝0．故答案为：0．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
15.（2022·浙江杭州市·七年级期末）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）
算式1：_________________；算式2__________________；
算式3：_________________；算式4__________________；
【答案】
【分析】由 可得由 可得由 可得由，可得从而可得答案．
【详解】解：算式1：
算式2：
算式3：
算式4：
故答案为：
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维．
16.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
【答案】55.6或22
【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可．
【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元；
由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，
所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），
当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款．
总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），
则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；
总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），
则他可节约（192+384）-554=22（元）．故答案为：55.6或22．
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键．
17．（2022·浙江杭州·模拟预测）李明组织同学一起去观看电影《流浪地球》，票价为每张60元，若购买20张以上（不含20张），则全部打八折，已知他们一共花了1200元，他们共买了_______张电影票．
【答案】20或25
【分析】根据数量=总价÷单价，分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论即可.
【详解】解：①若票价每张60元 则1200÷60=20（张）
②若票价每张60元的八折 则1200÷（60×0.8）=1200÷48=25（张）
答：他们共买了20或25张电影票 故答案为：20或25
【点睛】本题考查销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系
18．（2022·广西·七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．
【答案】10或64
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【详解】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，
其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．
【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：
(1)； (2).
【答案】(1) (2)
【分析】（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算；
（2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法
(1)
；
(2)原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算．
20．（2022·河北·石家庄七年级阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】(1)根据有理数的加减运算法则及绝对值的概念运算即可；
(2)将带分数拆成整数部分和分数部分，然后再将整数部分结合，分数部分结合，进行简便运算；
(3)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可；
(4)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可；
(5)先全部化成假分数的形式，然后再根据有理数的乘除运算法则运算即可；
(6)按照有理数的运算法则从左往右依次运算即可．
(1)解：原式；
(2)解：原式
；
(3)解：原式
；
(4)解：原式
；
(5)解：原式
；
(6)解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除四则运算法则，注意运算顺序：先乘除，后加减即可．
21．（2022秋·四川广元·七年级校考期末）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据有理数的四则混合运算法则求解即可；
（2）利用乘法分配律计算即可；（3）将原式变形，利用乘法分配律求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
22.（2022·山西临汾·七年级期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：．
解：原式=（–15）÷（）×6…………第一步
=（–15）÷（–20）…………第二步
第三步
并解答下列问题．
（1）上面的解题过程用两处错误：
第一处是第____步，错误原因是 ．
第二处是第____步，错误原因是 ．
（2）请写出正确的计算过程．
【答案】（1）二， 运算顺序错误； 三，符号错误；（2）27，过程见解析
【分析】（1）第二步没有按照同级运算要从左至右进行运算，从而出现错误，第三步没有注意两数相除，同号得正，异号得负，从而出现错误；（2）先计算括号内的减法运算，再把除法转化为乘法运算，再计算乘法运算即可.
【详解】解：（1）第二步， 运算顺序错误；第三步，符号错误．
故答案为：二， 运算顺序错误； 三，符号错误
（2）
【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，掌握“有理数的混合运算的运算顺序与运算法则”是解题的关键.
23.（2022·娄底市七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】．
【分析】根据题意，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，故原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．
24．（2022 邳州市期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，和的最小值为 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，差的最大值为 ．
（3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ．
（4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ．
【思路点拨】（1）选出最小的两个数，再求和即可；
（2）选出最大与最小的数，再求差即可；
（3）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量大且同号的相乘即可得答案；
（4）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值相距尽量大且异号的两数相除即可得答案．
【答案】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，应该取﹣3和﹣5，（﹣3）+（﹣5）＝﹣8，即和的最小值为﹣8；故答案为：﹣3；﹣5；﹣8；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，应该取﹣5和4，4﹣（﹣5）＝9，即差的最大值是9；故答案为：﹣5；4；9；
（3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，应该取﹣3和﹣5，（﹣3）×（﹣5）＝15，即乘积的最大值为15．故答案为：﹣3；﹣5；15；
（4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，应该取﹣5和3，．即商的最小值为．故答案为：﹣5；3；．
【点睛】本题考查了有理数的乘除法及加减法运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
25．（2022·河南驻马店·七年级期中）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n个，记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究：直接写出计算结果：2③＝______，______；
深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照下面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
例如
5⑤＝______， ______；
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；
（3）算一算：．
【答案】初步探究：，；深入思考：（1），；（2）；（3）
【分析】初步探究：根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（1）根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（2）根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（3）根据题目中规定的圈n次方的运算法则结合有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】解：初步探究：2③＝；
；
深入思考：（1）5⑤＝；
；
（2）根据“a的圈n次方”的运算法则可得，
将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；
（3）原式
【点睛】此题考查了新定义问题和有理数的除法运算，解题的关键是正确分析出“a的圈n次方”的运算法则．
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专题2.4 有理数的除法
模块1：学习目标
1. 会把有理数的除法运算改为乘法运算；
2. 掌握有理数的四混合运算，及实际背景下的相关运算。
模块2：知识梳理
1.有理数的除法
1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
模块3：核心考点与典例
考点1、 有理数的除法运算
例1．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·江苏七年级期末）如果，则“”内的数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·陕西西安·校考三模）计算：（ ）
A． B． C． D．
考点2、有理数的除法符合辨别
例1．（2023·山西吕梁·模拟预测）若，且，异号，则的符号为（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
变式2. （2022·湖南·长沙市七年级期中）如果a＞0，b＜0，那么下列结果正确的是（ ）
A．ab＞0，＞0 B．ab＞0，＜0 C．ab＜0，＞0 D．ab＜0，＜0
考点3、有理数的除法简算
例3．（2022·娄底市七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
变式3. （2022·湖北黄冈市·七年级月考）阅读下列材料：
计算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1） 上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2） 请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
考点4、有理数除法的应用
例4．（2022·苏州高新区七年级期中）如图，平行四边形A与平行四边形B部分重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的，则平行四边形A与平行四边形B的面积比是_______．
变式4. （2023春·山东枣庄·八年级统考期中）某种药品的说明书上，贴有如下的标签，一次服用这种药品的剂量最多是 _______．
变式5. （2022·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
考点5、有理数混合运算-“24点游戏”
例5．（2022·浙江杭州市·七年级期中）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）
算式1：_________________；算式2_______________；
算式3：_________________；算式4_______________；
变式5.（2022·绵阳市七年级单元测试）有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃10．李老师拿出这4张牌给同学们算“24”．竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次．注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内．列出两个算式，使所得结果是24．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·山东·七年级校考阶段练习）与运算结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·河南·开封市七年级期中）两个有理数的商为负数，则这两个有理数（ ）
A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数
3．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. （2022·四川成都市·七年级期中）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2022·河北·石家庄一模）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
6．（2022·浙江·舟山九年级期中）计算：得（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川南充·七年级期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东烟台·期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
9.（2022·河南·鹤壁七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（ ）
A．－6 B．－5 C． D．
10.（2022·湖南张家界市·七年级期末）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·陕西西安·统考一模）要使代数式“______”的运算结果最大，则“______”中应填入的运算符号是______“＋、－、×、÷”中选择一个运算符号填如）．
12．（2022·海南海口·七年级校考期中）_____
13．（2022·云南楚雄·七年级校考阶段练习）若规定，试求的值_______．
14．（2022 抚顺县期末）（﹣7）×（﹣6）×0÷（﹣13）＝ ．
15.（2022·浙江杭州市·七年级期末）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）
算式1：_________________；算式2__________________；
算式3：_________________；算式4__________________；
16.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
17．（2022·浙江杭州·模拟预测）李明组织同学一起去观看电影《流浪地球》，票价为每张60元，若购买20张以上（不含20张），则全部打八折，已知他们一共花了1200元，他们共买了_______张电影票．
18．（2022·广西·七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：
(1)； (2).
20．（2022·河北·石家庄七年级阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
21．（2022秋·四川广元·七年级校考期末）计算：
(1)； (2)； (3)．
22.（2022·山西临汾·七年级期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：．
解：原式=（–15）÷（）×6…………第一步
=（–15）÷（–20）…………第二步
第三步
并解答下列问题．
（1）上面的解题过程用两处错误：
第一处是第____步，错误原因是 ．
第二处是第____步，错误原因是 ．
（2）请写出正确的计算过程．
23.（2022·娄底市七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
24．（2022 邳州市期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，和的最小值为 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，差的最大值为 ．
（3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ．
（4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ．
25．（2022·河南驻马店·七年级期中）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n个，记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究：直接写出计算结果：2③＝______，______；
深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照下面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
例如
5⑤＝______， ______；
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；
（3）算一算：．
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