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专题2.5 有理数的乘方
模块1：学习目标
1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.
2. 会求有理数的正整数指数幂.
3. 知道有理数混合运算的运算顺序；能正确进行有理数的混合运算。
4. 熟练正确地进行有理数的混合运算。
5. 培养学生运算能力及综合运用知识、解决问题能力。
模块2：知识梳理
1. 有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的乘方的相关概念
例1．（2022·兴化市七年级期中）对于与，下列说法正确的是
A．它们的意义相同 B．它们的结果相等
C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方表示的意义，根据有理数的乘方表示的意义，即可求得答案．
【详解】解：表示的相反数，结果是，表示的4次方，结果是，
因此二者意义不同，结果也不相同，故选D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
变式1. （2022·浙江七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．读作：2的3次方 C．27的指数是0 D．负数的任何次幂都是负数
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的定义解答．
【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；
C、27的指数是1，故本选项错误；D、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数．
变式2．（2023·河北九年级三模）若为正整数，则表示的是（ ）
A．2个相加 B．3个相加 C．2个相乘 D．5个相乘
【答案】C
【分析】根据乘方运算的意义an表示n个a相乘直接选择，即可得出结论．
【详解】解：∵（k3）2＝k3 k3，∴（k3）2表示的是2个（k3）相乘．故选：C．
【点睛】本题考查了乘方的意义，牢记an表示n个a相乘是解题的关键．
考点2、有理数的乘方运算
例2．（2023·湖北襄阳市·九年级二模）的倒数是（ ）
A．－4 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据有理数的乘方和倒数定义计算即可．
【详解】解：，的倒数为－4；故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘方和倒数的定义，解题关键是明确倒数的定义，熟练运用相关法则进行计算．
变式2.（2022·山东德州市·七年级期中）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可；
【详解】，故答案选B．
【点睛】本题主要考查了幂的定义，准确计算是解题的关键．
变式3.（2023·广东佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用有理数的乘方运算法则和负整数指数幂计算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：，，，，
∴与的值相同，故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
考点3、有理数乘方逆运算（简算）
例3．（2022·湖南株洲市·七年级期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，==，
=，=，故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
变式3. （2022·江苏江都初一月考）计算：(-2)2023×()2022＝( )
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】D
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，逆用积的乘方的性质计算即可．
【解析】解：原式=(-2)2023×()2022 =(-2)×[(-2）×]2022=(-2)×(-1)2022=-2 故选：D
【点睛】考查幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.
考点4、乘方运算的符号规律
例4．（2022·江苏苏州市·七年级月考）互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）
A．与 B．与 C．与（为正整数） D．与（为正整数）
【答案】D
【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．
【详解】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝ b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数．
变式4. （2022·平山县七年级期末）当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答．
【详解】解：当a＜0时，a2021是负数，故①正确；
(-a)2021＝-a2021， a2021=-(-a)2021，故②正确，④错误；
a2020=(-a)2020，故③正确；综上所述，①②③正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数．
变式5．（2022·浙江金华市·七年级期中）所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘方的逆运算将原式化为，进一步即可求出答案．
【详解】===，故选：A．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键．
考点5、乘方的应用-进制问题
例5．（2022·浙江七年级期中）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算．
【详解】解：（1）．
答：二进制中的数等于十进制的数是．
（2）．
答：八进制中的数等于十进制的数是．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化．
变式5. （2022·西安初三模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可.
【解析】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为，表示该生为10班学生. B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为，表示该生为6班学生. C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生. D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生. 故选B.
【点睛】属于新定义题目，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键.
变式6．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
【详解】解：绳结表示的数为故选B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．
考点6、乘方的应用-末位数字问题
例6．（2022·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
【答案】8
【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．
【详解】因为，，，，，，…，
所以个位数字是以为一循环，且，
又因为，，
所以的结果的个位数字是8，故答案为：8．
【点睛】本题考查有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
变式6. （2022·重庆市七年级月考）阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；
（2）请探索出的个位数字；（3）请直接写出的个位数字．
【答案】（1）2；（2）3；（3）1；
【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出；（2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即可求得；（3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得；
【详解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…
发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵799＝74×24+3∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3
由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵899＝84×24+3∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2
（2）由于2 =2，2 =4，2 =8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2 的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数字是3, 82019的个位数字是2 ∴22019＋72019＋82019的个位数字是3；
(3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4；
22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4；
32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9；
∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1．
【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力．
考点7、有理数的混合运算（含乘方）
例7．（2022·湖北黄石市·七年级月考）计算：
（1） ；（2）
【答案】（1）；（2）35
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【详解】解：（1）
====
（2）
===35
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式7. （2022·浙江七年级月考）计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【答案】（1）；（2）；（3）-8；（4）；（5）8；（6）；（7）161；（8）
【分析】根据有理数的混合运算法则分别计算．
【详解】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=
=；
（3）
=
=
=
=-8；
（4）
=
=
=
=；
（5）
=
=
=
=8；
（6）
=
=
=
=；
（7）
=
=
=
=160+1
=161；
（8）=
==
==
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，以及一些常用的简便运算方法．
考点8、乘方的新定义运算
例8．（2022·江苏初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.
【解析】①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；
②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；
④若3n的“分解”中最小的数是-2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
变式8．（2022·涟水初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
【答案】（1）3；2；3；（2）见解析
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x 3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 鄞州区期末）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．﹣|23|和|﹣23| C．（﹣3）2和﹣32 D．23和32
【思路点拨】根据有理数乘方的运算法则即可求出答案．
【答案】解：∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴选项A符合题意；
∵﹣|23|＝﹣8，|﹣23|＝8，∴选项B不符合题意；
∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴选项C不符合题意；
∵23＝8，32＝9，∴选项，D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数乘方的法则是解决问题的关键．
2．（2022·台州·七年级期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（ ）个
①互为相反数； ②互为相反数；③互为相反数；④互为相反数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数，∴-a，-b互为相反数，故①说法正确；
当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误；
a2n与b2n相等，故③说法错误；a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确；所以叙述正确的有2个．
故选：B．
【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数．
3．（2022 浦东新区校级期中）在有理数：﹣（﹣2），﹣|﹣|，（﹣5）2，（﹣1）5，﹣22中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】根据乘方，相反数，绝对值的定义化简各数，再根据负数的特征可求解．
【答案】解：∵﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣|＝，（﹣5）2＝25，（﹣1）5＝﹣1，﹣22＝﹣4，
∴负数有﹣|﹣|，（﹣1）5，﹣22，共3个，故选：B．
【点睛】本题主要考查正数与负数，相反数，绝对值，有理数的乘方，正确化简各数是解题的关键．
4．（2022·福建初一期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（ ）
A．3123 B．3214 C．3258 D．3236
【答案】D
【分析】从右到左表示满七进一的数为：第5位上的数×74+第4位上的数×73+第3位上的数×72+第2位上的数×7+第1位上的数．
【解析】她一共采集到的野果个数为1×74+2×73+3×72+0×7+2＝3236，故选：D．
【点睛】本题考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自采集到的野果数量，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
5.（2022·山东·泰安市期中）计算的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
6.（2022·浙江·七年级月考）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
【答案】A
【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】解：已知31=3，末位数字为3， 32=9，末位数字为9， 33=27，末位数字为7，
34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3， 36=729，末位数字为9，
37=2187，末位数字为7， 38=6561，末位数字为1， …
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又2021÷4=505…1， 所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3． 故选:A．
【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
7．（2022·河北九年级二模）表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据乘方的意义解答即可．
【详解】解：表示的意义是，故选A．
【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
8．（2022·浙江七年级月考）计算所得的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方的意义可知表示100个（-2）的乘积，所以，，再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序．
9．（2022·江苏相城初一月考）数32019 72020 132021的个位数是 （ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】A
【分析】首先根据规律依次分析出、、的个位数，然后由此进一步结合题意求出答案即可.
【解析】∵，，，，…
观察可得计算结果个位数是3，9，7，1，四次一循环，
∵，∴的个位数为7，
同理，通过观察可得，的个位数分别为1，3，
∵，∴的个位数字为1，故选：A.
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算的规律探讨，根据题意找出正确的规律是解题关键.
10．（2022·山东聊城·七年级期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．328 B．362 C．338 D．334
【答案】D
【分析】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解．
【详解】解：由题意得．故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 阳江期末）计算：﹣（﹣1）4＝ ．
【思路点拨】根据乘方的意义直接得出．
【答案】解：﹣（﹣1）4＝﹣1．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了乘方的意义，准确的计算是解决本题的关键．
12.（2022·天津市静海区七年级期中）的底数是____;指数是 _______;结果是 ______.
【答案】 -3 3 ﹣27
【分析】根据乘方的定义进行判断．
【详解】解：根据题意得：，
∴底数为-3，指数为3，结果为﹣27，故答案为-3，3，﹣27．
【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
13．（2022 邯郸模拟）22+22+22+22＝2m，则m＝ ．
【思路点拨】根据有理数乘法定义解答，有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
【答案】解：∵22+22+22+22＝4+4+4+4＝4×4＝16＝24，∴m＝4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了乘方的意义，掌握乘方的法则是解题的关键．
14．（2022春 靖江市月考）计算：＝ ．
【思路点拨】先根据积的乘方的逆运算变形为[（﹣）]9，然后再根据乘方运算法则计算即可．
【答案】解：原式＝[（﹣）]9＝（﹣1）9＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
15．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过两个小时，这种细菌由两个分裂成________个．
【答案】32
【分析】根据题意求出这种细菌分裂的周期，然后用2除以周期得到细菌分裂的次数，然后利用乘方即2的4次方即可求出经过2小时细菌分裂的个数．
【详解】解：解：由细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），
得到细菌分裂的周期为半小时即0.5小时，∴经过两小时，这种细菌分裂了4次，
故经过两小时，这种细菌由两个可分裂繁殖成2×24=32个．故答案为：32．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，细菌分裂1次，细菌个数为21；分裂2次，细菌个数为22；…；分裂n次，细菌个数为2n．学生做题时总结出此规律是解本题的关键．
16.（2022·山东临沂·八年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．
【答案】109
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”计算．
【详解】解：，
故答案为：109．
【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，考查有理数乘方应用，解题的关键是根据图中的点列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
17．（2022·河南初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．（2022·苏州七年级月考）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是_______．
【答案】9
【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解．
【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数，
∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，
∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
∴m3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m的值9．故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·广东梅州·七年级期末）计算：
【答案】17
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
＝﹣1＋1＋9－（﹣8）
＝﹣1＋1＋9＋8
＝17
【点睛】此题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2022·浙江七年级专题练习）计算：
（1） （2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．
【答案】（1）28.（2）-12
【分析】（1）先乘方，再加减即可；（2）先乘方，再计算中括号，最后根据有理数的乘法法则计算即可.
【详解】(1)
(2)
21.（2022·浙江初一期中）计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）26；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用有理数乘法的分配律、乘法与加减法法则计算即可得；
（2）先计算有理数的乘方运算，再计算有理数的乘除法，然后去括号、计算有理数的加减法即可得；
（3）先计算有理数的乘方运算、绝对值运算，再计算括号内的减法，然后计算有理数的乘除法，最后计算有理数的加法即可得；（4）利用有理数乘法的分配律计算即可得．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式，
；
（4）原式．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数加减乘除混合运算、乘法的分配律等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
22．（2022·银川市初一期中）阅读理解与计算：
（1）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有．例如：．则①填空： ； ②当为有理数时，求的值； （2）已知互为相反数，互为倒数，，试求的值．
【答案】（1）①10；②26；（2）2
【分析】（1）根据新定义运算法则可得：①32+1；②；
（2）根据互为相反数和互为倒数的两个数的关系，和绝对值定义可得：m+n=0,xy=1,a2=1，代入式子可得．
【解析】解：（1）根据新定义运算法则可得：
①32+1=10，故答案为：10
②
（2）因为互为相反数，互为倒数，，
所以m+n=0,xy=1,a2=1 所以=1-0+1=2
【点睛】考核知识点：新定义运算，有理数运算．理解新定义运算法则，掌握有理数运算法则是关键．
23．（2022 九龙坡区校级月考）对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187．
（1）16的“荣耀数”为 ；2023的“荣耀数”为 ；
（2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数．
【思路点拨】（1）根据“荣耀数”的定义进行计算求解；
（2）通过分析立方后等于本身的个位数有0、1、4、5、6、9，然后再根据不大于50的正整数这个条件分析确定符合题意的数的个数．
【答案】解：（1）13＝1，63＝216，其个位数字分别为1、6，
∴16的“荣耀数”为16，
23＝8，03＝0，33＝27，其个位数字分别为8、0、8、7，
∴2023的“荣耀数”为8087，故答案为：16；8087；
（2）立方后其个位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9，
又∵该数为不大于50的正整数，∴十位数字可以是1、4、5，
个位数字可以是0、1、4、5、6、9，
符合要求的数有1、4、5、6、9、10、11、14、15、16、19、40、41、44、45、46、49、50，
∴符合要求的数共18个．
【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数的乘方运算，理解“荣耀数”的定义，掌握有理数乘方的运算法则，确定出立方后其各位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9是解题关键．
24．（2022·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据材料，设M=①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根据材料，设N=③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
25．（2022·河南南阳市·七年级期中）（概念学习）
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（）⑥＝ ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝ ．
（5）算一算：＝ ．
【答案】（1），4；（2）C；（3）（﹣）3， 54；（4）（）n﹣2；（5）-2．
【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可；（2）根据圈n次方的意义，计算判断得结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；
（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
【详解】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，
（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；
故答案为：，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，
∴3④≠4③．故选：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣）3，54；
（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2．
（5）原式＝122÷32×（）4﹣34÷33＝24×32÷32×（）4﹣3＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了新定义运算，综合性较强，认真阅读题目，理解“除方”的意义并结合乘法的意义、有理数的乘除运算进行探究是解题关键．
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专题2.5 有理数的乘方
模块1：学习目标
1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.
2. 会求有理数的正整数指数幂.
3. 知道有理数混合运算的运算顺序；能正确进行有理数的混合运算。
4. 熟练正确地进行有理数的混合运算。
5. 培养学生运算能力及综合运用知识、解决问题能力。
模块2：知识梳理
1. 有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的乘方的相关概念
例1．（2022·兴化市七年级期中）对于与，下列说法正确的是
A．它们的意义相同 B．它们的结果相等
C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等
变式1. （2022·浙江七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．读作：2的3次方 C．27的指数是0 D．负数的任何次幂都是负数
变式2．（2023·河北九年级三模）若为正整数，则表示的是（ ）
A．2个相加 B．3个相加 C．2个相乘 D．5个相乘
考点2、有理数的乘方运算
例2．（2023·湖北襄阳市·九年级二模）的倒数是（ ）
A．－4 B． C． D．4
变式2.（2022·山东德州市·七年级期中）计算（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2023·广东佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
考点3、有理数乘方逆运算（简算）
例3．（2022·湖南株洲市·七年级期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3. （2022·江苏江都初一月考）计算：(-2)2023×()2022＝( )
A．2 B．1 C．0 D．-2
考点4、乘方运算的符号规律
例4．（2022·江苏苏州市·七年级月考）互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）A．与 B．与 C．与（为正整数） D．与（为正整数）
变式4. （2022·平山县七年级期末）当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
变式5．（2022·浙江金华市·七年级期中）所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点5、乘方的应用-进制问题
例5．（2022·浙江七年级期中）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
变式5. （2022·西安初三模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
考点6、乘方的应用-末位数字问题
例6．（2022·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
变式6. （2022·重庆市七年级月考）阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；
（2）请探索出的个位数字；（3）请直接写出的个位数字．
考点7、有理数的混合运算（含乘方）
例7．（2022·湖北黄石市·七年级月考）计算：
（1） ；（2）
变式7. （2022·浙江七年级月考）计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
考点8、乘方的新定义运算
例8．（2022·江苏初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式8．（2022·涟水初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 鄞州区期末）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．﹣|23|和|﹣23| C．（﹣3）2和﹣32 D．23和32
2．（2022·台州·七年级期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（ ）个
①互为相反数； ②互为相反数；③互为相反数；④互为相反数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022 浦东新区校级期中）在有理数：﹣（﹣2），﹣|﹣|，（﹣5）2，（﹣1）5，﹣22中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022·福建初一期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（ ）
A．3123 B．3214 C．3258 D．3236
5.（2022·山东·泰安市期中）计算的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
6.（2022·浙江·七年级月考）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
7．（2022·河北九年级二模）表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江七年级月考）计算所得的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2022·江苏相城初一月考）数32019 72020 132021的个位数是 （ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
10．（2022·山东聊城·七年级期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．328 B．362 C．338 D．334
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 阳江期末）计算：﹣（﹣1）4＝ ．
12.（2022·天津市静海区七年级期中）的底数是____;指数是 _______;结果是 ______.
13．（2022 邯郸模拟）22+22+22+22＝2m，则m＝ ．
14．（2022春 靖江市月考）计算：＝ ．
15．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过两个小时，这种细菌由两个分裂成________个．
16.（2022·山东临沂·八年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．
17．（2022·河南初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
18．（2022·苏州七年级月考）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是_______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·广东梅州·七年级期末）计算：
20．（2022·浙江七年级专题练习）计算：
（1） （2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．
21.（2022·浙江初一期中）计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
22．（2022·银川市初一期中）阅读理解与计算：
（1）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有．例如：．则①填空： ； ②当为有理数时，求的值； （2）已知互为相反数，互为倒数，，试求的值．
23．（2022 九龙坡区校级月考）对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187．
（1）16的“荣耀数”为 ；2023的“荣耀数”为 ；
（2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数．
24．（2022·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
25．（2022·河南南阳市·七年级期中）（概念学习）
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（）⑥＝ ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝ ．
（5）算一算：＝ ．
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