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专题2.2 简单事件的概率
模块1：学习目标
1、了解概率的概念；理解P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1；
2、会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3、学会运用概率知识解决简单的实际问题.
模块2：知识梳理
1.概率：我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）。
2.概率的范围（0≤P≤1）：P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1
3.概率的计算公式：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.
4.常用的列举法求概率有两种：列表法和画树状图法.
1）列表法:当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2）画树状图法:当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
5.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
模块3：核心考点与典例
考点1、辨别实验的等可能性与列举实验结果
例1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮
C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球
【答案】A
【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确；
B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误；
C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误；
D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误；故选A．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键．
例2．（2022·浙江·统考二模）某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有___种不同出入路线的可能．
【答案】12
【分析】利用树状图表示方法列举出所有的可能即可．
【详解】解：用A、B、C、D表示入口，A1、B1、C1表示出口，如图所示：
小明从进入公园到走出公园，一共有3×4=12种不同出入路线的可能．故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了树状图法应用，列举出所有可能是解题关键．
变式1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（ ）
A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率
B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率
C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率
D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率
【答案】D
【分析】A：交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，所以它们发生的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可．
B：因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可．
C：因为“直角三角形”三边的长度不相同，所以小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可．
D：小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的相同，属于“等可能性事件”，据此判断即可．
【详解】∵交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，
∴它们发生的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项A不正确；
∵图钉上下不一样， ∴钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，
∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项B不正确；
∵“直角三角形”三边的长度不相同， ∴小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项C不正确；
∵小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，A、B、C被选中的相同，
∴它属于“等可能性事件”， ∴选项D正确． 故选D．
【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是知道“等可能性事件”.
变式2．（2023·广西·模拟预测）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有_____种不同的爬行路径．
【答案】64
【分析】根据题意，将路线分为5个步骤，分析每一步有几种走法，即可进行解答．
【详解】解：由图可知：第一步有2种走法，第二步有2种走法，第三步有4种走法，第四步有2种走法，第五步有2种走法；共有：（种），故答案为：64．
【点睛】本题主要考查了学生的数据分析能力，解题的关键是正确理解题意，用列举法分析出每一步有几种走法．
考点2、概率的意义
例1．（2022秋·四川眉山·九年级校考期末）2022年世界杯足球赛正在卡塔尔如火如荼地进行，赛前有人预测，巴西国家队夺冠的概率是18.7%，位居各队之首．对他的说法理解正确的是（ ）
A．巴西队一定会夺冠 B．巴西队一定不会夺冠
C．巴西队夺冠的可能性很大 D．巴西队夺冠的可能性很小
【答案】C
【分析】根据事件的可能性和概率的意义，事件的属性理解即可．
【详解】A、巴西队一定会夺冠是必然事件，这与巴西国家队夺冠的概率是18.7%，是一个随机事件矛盾，故不符合题意；
B、巴西队一定不会夺冠是不可能然事件，这与巴西国家队夺冠的概率是18.7%，是一个随机事件矛盾，故不符合题意；
C、巴西队夺冠的可能性很大，这与巴西国家队夺冠的概率是18.7%，是一个随机事件一致，故符合题意；D、巴西队夺冠的可能性很小，这与巴西国家队夺冠的概率是18.7%，是一个概率很大的随机事件矛盾，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了事件的可能性，正确理解事件的可能性是解题的关键．
变式1．（2023·湖南常德·统考三模）下列说法中正确的是（ ）
A．若某种彩票的中奖率为，则买100张这种彩票一定有5张中奖
B．若某地明天的降雨概率是，则该地明天有的时间会降雨
C．一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数
D．体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用抽样调查
【答案】C
【分析】根据概率、随机事件的意义逐项判断即可．
【详解】解：A选项，某种彩票的中奖率为，则买100张这种彩票也不一定会中奖，原说法不正确，本选项不符合题意；
B选项，某地明天的降雨概率是，说明下雨的可能性是，不代表的时间会下雨，原说法不正确，本选项不符合题意；
C选项，一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数，说法正确，符合题意；
D选项，体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用全面调查，原说法不正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查概率、随机事件、必然事件、中位数的定义等知识点，熟练掌握相关基本概念是解题关键．
变式2．（2023·浙江舟山·统考三模）某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小
C．定海区明天将有85%的时间下雨 D．定海区明天将有85%的地区下雨
【答案】A
【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【详解】“舟山市定海区明天的降水概率为85%”表示“舟山市定海区明天下雨的可能性较大”，故选A．
【点睛】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
考点3、根据概率公式计算概率
例1．（2023·浙江·统考中考真题）某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，总共有4种选择，
选中梅岐红色教育基地有1种，则概率为，故选：B
【点睛】此题考查了概率的求法，通过所有可能结果得出，再从中选出符合事件结果的数目，然后根据概率公式求出事件概率．
变式1．（2023·浙江湖州·统考一模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有1种结果，
所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为，故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
变式2．（2023·湖南永州·统考中考真题）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
考点4、已知概率求数量
例1．（2023·四川资阳·统考二模）一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则的值为______．
【答案】6
【分析】根据概率公式进行计算即可得． 概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：∵一共有个球，黄球有6个，摸到黄球的概率为 ，
∴，解得：，故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了已知概率，求参数，解题的关键是掌握概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．（2023春·重庆·七年级专题练习）在一个不透明的盒子中装有9个黑球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为黑球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】设黄球的个数为x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设黄球的个数为x个，根据题意得，解得：，
经检验是原分式方程的解；∴黄球的个数为．故选：B．
【点睛】本题主要考查了已知概率求数量问题，正确理解题意根据概率计算公式列出方程求解是解题的关键．
变式1．（2023春·成都市·七年级专题练习）有背面完全相同，正面写有“十九届六中全会”字样的卡片n张，“元宇宙”字样的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，从中随机抽取一张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为，则______．
【答案】
【分析】根据概率计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，解得，
经检验是原方程的解，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
考点5、几何概型
例1.（2022·山东烟台·七年级期中）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“弦图”，其中，，现将其中四个三角形涂上颜色（如图），点P是右图图案内的任意一点，则点P恰好在涂色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：P恰好在涂色部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】如图，依题意得：,
∴,∴,
其中阴影部分面积为:，
∵总面积为，∴点P恰好在涂色部分的概率是:．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理以及几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率，本题还考查了二次根式的混合运算．
变式1．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________．
【答案】
【分析】利用的面积除以整个网格的面积即可得．
【详解】解：由题意可知，整个网格的面积为，
的面积为，
则向正方形网格中投针，落在内部的概率是，故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
变式2．（2021·湖南娄底·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：∵设正方形的边长为a，∴⊙O的半径为，
∴S圆＝×（a）2，S正方形＝a2，
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是，故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝．
考点6、用树状图法求概率
例1.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______．
【答案】
【分析】画出树状图，求出点的所有情况数，然后找出两次向上一面的点数都是3的倍数的数目，再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解．
【详解】解：画树状图如下：
总情况数为：6×6=36种，两次向上一面的点数都是3的倍数的数目为4，
所以两次向上一面的点数都是3的倍数的概率，故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1.（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）某校九年级举行毕业典礼，需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人．(1)如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是______；
(2)如果选择2名主持人，请求出2名主持人恰好是1男1女的概率．
【答案】(1)(2)2名主持人恰好1男1女的概率为．
【分析】（1）根据一般的列举出即可求出男生当选的概率；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与选出的是1名男生1名女生的情况，然后由概率公式即可求得．
（1）解：∵需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人，
∴男生当选的概率是，故答案为：；
（2）解：画树状图得，
共有12种等可能的结果，∵2名主持人恰好1男1女的情况有6种，
∴2名主持人恰好1男1女的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．（2023·河南漯河·统考二模）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画树状图得出所有等可能的情况数，找出这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况数，然后根据简单概率公式计算即可得出答案．
【详解】解：把四张卡片记为，其中B与D是轴对称图形，
画树状图如下：
共有12种等可能性，这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况有8种，
这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是，故选：D．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
考点7、用表格法求概率
例1.（2022·云南·模拟预测）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y．
(1)用列表法或树状图求点M（x，y）所有可能出现的结果；
(2)求点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率．
【答案】(1)所有可能出现的结果为：（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（1，2）、（2，2）、（3，2）、（4，2）、（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（1，4）、（2，4）、（3，4）、（4，4）
(2)点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率为
【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果即可；
（2）找出所有可能出现的结果中，满足y=-x+5的情况，再利用概率公式求解，即可求得答案．
（1）解：列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
点M（x，y）所有可能出现的结果为：（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（1，2）、（2，2）、（3，2）、（4，2）、（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（1，4）、（2，4）、（3，4）、（4，4）．
（2）∵共有16种等可能的结果，
数字x、y满足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴点M（x，y）满足y=-x+5的概率为：．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1.（2022·成都市·九年级专题练习）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)。
【答案】（1）12；3；补充图见详解
（2）4个班平均作品数为： （件）；估计全年级共征集到作品： （件）
（3）恰好抽中一男一女的概率为，过程见详解.
【分析】（1）根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式计算出总数，即可求得B的件数.（2）求出平均一个班的作品件数，再乘以班级数，计算即可.
（3）列表分析，再根据概率公式计算即可.
【详解】(1)所调查的四个班总数为：(件)，B作品的件数：12-2-5-2=3(件)；补充图如下
（2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件）
估计全年级共征集到作品： （件）
（3）列表如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
所以 即恰好抽中一男一女的概率为.
【点睛】本题考查了统计的相关知识，复杂的统计问题用列表或者树状图分析.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解析】任意摸一个球，共有8种结果，任意摸出一个球是红球的有3种结果，因而从中任意摸出一个球是红球的概率是．故选：C．
2．（2023春·浙江九年级月考）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（ ）
A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解．
【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口，∴出第一道门有三种选择，
又∵第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，
∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE，故选B．
【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．
3．（2022·湖南衡阳·九年级统考期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（ )
A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面
B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面
C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面
D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面
【答案】A
【详解】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率一样，可作实验替代物，所以本选项正确；
B选项中，图钉尖朝上的概率大于面朝上的概率，不可做实验替代物，所以本选项错误；
C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率不同，不能代替抛掷硬币的实验，所以本选项错误；
D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误；故选A.
4．（2023·江苏·模拟预测）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
扬州市邗江区天气日出 日落体感温度 降水概率 降水量 空气质量 优
A．邗江区明天将有的时间下雨 B．邗江区明天将有的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大 D．邗江区明天下雨的可能性较小
【答案】C
【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【详解】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
5．（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）甲、乙两个工厂生产相同的产品，甲厂的产品出现次品的可能性是10％，乙厂的产品出现次品的可能性是7％，则产品质量较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两个工厂相同 D．不确定
【答案】B
【分析】根据次品出现的百分比可直接得到答案．
【详解】解：∵10%＞7%，∴乙厂产品质量较好，故选：B．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，关键是掌握只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
6．（2022·浙江·九年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（ ）
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
【答案】C
【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案．
【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，
∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是黑球，故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法．
7．（2023·江苏苏州·统考三模）如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】小球在圆内滚动，故滚动停留在阴影内的概率．
【详解】解：设半径为1．则正方形的面积为．
小球停留在阴影部分内的概率为．故选C．
【点睛】本题考查了几何图形概率及正方形面积算法内容，解题的关键是事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，用对角线之积的一半可以便捷的计算出正方形面积．
8．（2022 沙坪坝区校级期末）如图，在数轴上A点表示的数是﹣3，B点表示的数是2，在线段AB上任取一点C，则点C到原点的距离不小于1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据概率公式直接求解即可．
【答案】解：∵数轴上A点表示的数是﹣3，B点表示的数是2，共有5段，其中点C到原点的距离不小于1的有3段，∴点C到原点的距离不小于1的概率是．故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
9．（2022 沙重庆九年级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，为黄球的概率是，则红球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【思路点拨】用球的总个数分别乘以摸出白球和黄球的概率求出其数量，再用总个数减去白球、黄球的个数即可得出答案．
【答案】解：根据题意知，白色球的个数为18×＝6（个），黄色球的个数为18×＝9（个），
所以红色球的个数为18﹣6﹣9＝3（个），故选：A．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．（2022 门头沟区二模）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论．
【答案】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘，
∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．
依据题意列树状图如下：
∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在奇数上的可能有6种，
∴指针都落在奇数上的概率是：．故选：B．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期中）在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____．
【答案】使每个球出现的机会均等
【分析】根据概率的等可能性判断即可．
【详解】解：每次模拟试验后将小球每次搅匀是为了使每个球出现的机会均等，
故答案为：使每个球出现的机会均等．
【点睛】本题考查了概率的等可能性，确保等可能性是解题的关键．
12．（2023·山东威海·统考二模）有五张不透明的卡片，正面的数分别写有，，，，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为________．
【答案】/
【分析】用无理数的个数除以总数即为所求的概率．
【详解】解：所有的数有5个，无理数有π，，共2个，
∴抽到写有无理数的卡片的概率是．故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式的应用，判断出无理数的个数是解决本题的关键．
13．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有__________种不同的情况．
【答案】5
【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得．
【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌，则红桃牌的总张数为（张），
甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，剩下的红桃牌的张数为（张），
所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键．
14．（2023·浙江金华·统考三模）在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是______．
【答案】
【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率即可．
【详解】∵随机摸红球的概率为；∴随机摸出一个白球的概率为：；故答案为：．
【点睛】此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1．
15．（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件：________．
【答案】摸出红球
【分析】根据概率公式确定答案即可．
【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是．故答案为：摸出红球．
【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
16．（2022·浙江宁波市·九年级一模）小明的爸爸妈妈各有2把钥匙，可以分别打开单元门和家门，小明随机从爸爸和妈妈的包里各拿出一把钥匙，恰好能打开单元门和家门的概率 ．
【思路点拨】设单元门的钥匙为A1、A2，家门钥匙为B1、B2，画树状图展示所有可能的结果数，再找到能打开两道门的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【答案】解：设单元门的钥匙为A1、A2，家门钥匙为B1、B2，画树状图为：
共有4种可能的结果数，其中恰好能打开单元门和家门的结果数为2，
所以恰好能打开单元门和家门的概率＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
17．（2022 九龙坡区模拟）现将背面完全相同，正面分别标有数﹣1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的三张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则P（m，n）在第四象限的概率为 ．
【思路点拨】画树状图，共有12种等可能的结果，P（m，n）在第四象限的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【答案】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，P（m，n）在第四象限的结果有3种，
∴P（m，n）在第四象限的概率为＝，故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图是一块三角形纸板，点D、E、F分别是线段、、的中点，一只蚂蚁在这张纸上自由爬行，则蚂蚁踩到阴部分的概率为___________．
【答案】
【分析】利用等底同高的三角形面积相等的概念，将分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以蚂蚁踩到阴影部分的概率是．
【详解】解：连接，，，
∵点D、E、F分别是线段、、的中点
，，，利用三角形中线的性质可得，
，，，，，，
被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，
所以蚂蚁踩到阴影部分的概率是，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形中线的性质以及几何概率等知识，利用三角形中线的性质得出面积相等的三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·广东清远·七年级统考期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．
(1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴．
(2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
【答案】(1)是，4
(2)
【分析】（1）根据轴对称图形的定义和正方形的对称性求解即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；
（2）停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可．
【详解】（1）解：根据轴对称图形的定义可知：这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．它的对称轴如下图虚线所示：
故答案为：是，4；
（2）设原图中最小的等腰直角三角形的面积为，
则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为，
空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为，
∴这个地板砖的面积为：，
∴停留在阴影区域的概率是：
答：求小老鼠停留在阴影区域的概率是．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别和几何概率，掌握轴对称图形的定义和几何概率计算公式是解题的关键．
20．（2023·吉林长春·统考一模）明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
(1)若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是_______（填字母）．
A．打开的一定是楼梯灯；B．打开的可能是卧室灯；C．打开的可能是客厅灯；D．打开走廊灯的概率是．
(2)若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
【答案】(1)C(2)，见解析
【分析】（1）由题意，根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，
明明任意按下一个开关，打开楼梯灯、客厅灯、走廊灯、洗手间灯的概率均为，不可能打开卧室灯，故答案为：C．
（2）解：画树状图得：
共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键．
21．（2023·福建莆田·校考模拟预测）为庆祝六一儿童节，遵源商场举办“幸运大抽奖”活动，如图是活动宣传海报：
已知第一轮抽奖有400人参加，其中共有m人获得礼品，将第一轮抽奖的四种礼品送出情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)直接写出m的值，并将条形统计图补充完整：
(2)已知第二轮抽奖有n人参加（其中包括参加第一轮抽奖的400人），若第二轮三次抽奖分别有9人、10人、11人获得50元免金券，试估计n的值．
【答案】(1),条形统计图补充见解析 (2)800
【分析】（1）根据送出玩具的数量除以送出玩具的占比，即可求得m，再根据篮球的占比中奖人数，可得获得篮球的人数，再根据中奖人数获得文具类奖品以外的中奖人数，可得获得文具的人数，再将条形统计图补充完整即可．（2）取第二轮三次抽奖获得50元免金券的平均人数为人，根据第一轮中奖人数为人，可得第二轮每次抽奖的中奖概率，根据中奖概率即可算出n．
【详解】（1）解：中奖总人数为（人），
获得篮球人数为（人），获得文具人数为（人），
故将条形统计图补充完整，如图所示：
（2）解：取第二轮三次抽奖获得50元免金券的平均人数为人，
，第二轮每次抽奖的中奖概率约为，
根据第二轮抽奖有n人参加，每次随机抽取100人，
可得方程，解得，经检验，是方程的解，故n的值约为800．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计的结合，已知概率求数量，熟练结合条形统计图与扇形统计得到需要的数据是解题的关键．
22．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）在一个不透明的盒子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球（标有数字1，2），3个红球（标有数字，1，3）
(1)甲进行随机摸球活动，画得树状图如图，根据树状图说明甲的摸球规则，并将两次摸球所得的数字求和，求和为偶数的概率；
(2)若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．
【答案】(1) (2)2个
【分析】（1）根据树状图得到摸球规则，写出所有结果，代入概率公式即可求得；
（2）设有x个红球被换成了黄球，表示出第一次取白球的结果数，第一次取黄球的结果数以及总结果数，代入公式即可求得.
【详解】（1）解：甲的摸球游戏是第一次从盒子里摸一个球，不放回再摸一个球，
根据树状图可知两次摸球的数字求和，分别为：
3，0，2，4，3，1，3，5，0，1，0，2，2，3，0，4，4，5，2，4
结果共有20个等可能结果，其中偶数有12个等可能结果，∴．
（2）解：设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：，
即盒子中有2个红球被换成了黄球．
（提示：分子中第一个代表第一次取白球的结果数，第二个表示第一次取黄球的结果数；分母为20个等可能结果数，根据概率的定义即可列方程）
【点睛】本题考查了概率问题，列出树状图是解题关键．
23．（2022 湘潭九年级模拟）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【思路点拨】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【答案】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确地画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（2022 浙江九年级模拟）有4张正面分别写有数字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为m，n，用列表或画树状图求点P（m，n）在第一象限的概率．
（2）随机抽取一张记下数字后（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次换取的数字记为m，n，用列表或树状图求点P（m，n）在第二象限的概率．
【思路点拨】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点P（m，n）在第一象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点P（m，n）在第二象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中在第一象限的有（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9种，
∴点P（m，n）在第一象限的概率为P1＝；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中在第二象限的有（﹣2，2），（﹣2，4），（﹣2，6）共3种，∴点P（m，n）在第二象限的概率为P2＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
25．（2022 浙江九年级模拟）某校八年级有甲、乙、丙三个班级，开学初该年级转进来A，B两名新生，数学老师以此背景让同学们设计一个分班的方案，要求一个班级最多分到1名学生，且每个班级分到学生的概率一样．根据下面两名学生的方案，回答下列问题．
小红：“把甲、乙、丙三个班级分别写在反面空白，同样大小的3张白纸上，折好，在看不清楚里面字的情况下，让A，B两名学生随机各选一张”．
小明：在3张反面空白的白纸中，选2张分别写上A，B两名新生，折好，在看不清楚里面字的情况下，让甲，乙，丙三个班级的班主任随机各选一张．
(1)对于小红和小明的方案，下面判断正确的是（ ）
A．小红符合，小明不符合 B．小明符合，小红不符合
C．小红、小明都符合 D．小红和小明都不符合
(2)根据以上信息，请用树状图法或列表法，求甲班级没有分到学生的概率．
【答案】(1)C(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，即可求解．
【解析】(1)解：小红的方案：根据题意得：A，B两名学生每人只能选一个班级，且每人选的班级不相同，画出树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中甲班分到学生的有4种情况，乙班分到学生的有4种情况，丙班分到学生的有4种情况，
∴每个班级分到学生的概率均为，
∴小红的方案符合；
小明的方案：根据题意得：甲，乙，丙三个班级一个班级最多分到1名学生，
画出树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中甲班分到学生的有4种情况，乙班分到学生的有4种情况，丙班分到学生的有4种情况，∴每个班级分到学生的概率相同，∴小明的方案符合；故选：C
(2)解：小红的方案：画出树状图，如下：
，
一共有6种等可能结果，其中甲班级没有分到学生的有2种可能，
∴P（甲班级没有分到学生）；
小明的方案：画出树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中甲班级没有分到学生的有2种可能，
∴P（甲班级没有分到学生）．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题2.2 简单事件的概率
模块1：学习目标
1、了解概率的概念；理解P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1；
2、会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3、学会运用概率知识解决简单的实际问题.
模块2：知识梳理
1.概率：我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）。
2.概率的范围（0≤P≤1）：P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1
3.概率的计算公式：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.
4.常用的列举法求概率有两种：列表法和画树状图法.
1）列表法:当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2）画树状图法:当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
5.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
模块3：核心考点与典例
考点1、辨别实验的等可能性与列举实验结果
例1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮
C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球
例2．（2022·浙江·统考二模）某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有___种不同出入路线的可能．
变式1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（ ）
A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率
B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率
C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率
D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率
变式2．（2023·广西·模拟预测）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有_____种不同的爬行路径．
考点2、概率的意义
例1．（2022秋·四川眉山·九年级校考期末）2022年世界杯足球赛正在卡塔尔如火如荼地进行，赛前有人预测，巴西国家队夺冠的概率是18.7%，位居各队之首．对他的说法理解正确的是（ ）
A．巴西队一定会夺冠 B．巴西队一定不会夺冠
C．巴西队夺冠的可能性很大 D．巴西队夺冠的可能性很小
变式1．（2023·湖南常德·统考三模）下列说法中正确的是（ ）
A．若某种彩票的中奖率为，则买100张这种彩票一定有5张中奖
B．若某地明天的降雨概率是，则该地明天有的时间会降雨
C．一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数
D．体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用抽样调查
变式2．（2023·浙江舟山·统考三模）某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小
C．定海区明天将有85%的时间下雨 D．定海区明天将有85%的地区下雨
考点3、根据概率公式计算概率
例1．（2023·浙江·统考中考真题）某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·浙江湖州·统考一模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·湖南永州·统考中考真题）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．1
考点4、已知概率求数量
例1．（2023·四川资阳·统考二模）一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则的值为______．
变式1．（2023春·重庆·七年级专题练习）在一个不透明的盒子中装有9个黑球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为黑球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A． B． C． D．9
变式1．（2023春·成都市·七年级专题练习）有背面完全相同，正面写有“十九届六中全会”字样的卡片n张，“元宇宙”字样的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，从中随机抽取一张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为，则______．
考点5、几何概型
例1.（2022·山东烟台·七年级期中）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“弦图”，其中，，现将其中四个三角形涂上颜色（如图），点P是右图图案内的任意一点，则点P恰好在涂色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________．
变式2．（2021·湖南娄底·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A． B． C． D．
考点6、用树状图法求概率
例1.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______．
变式1.（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）某校九年级举行毕业典礼，需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人．(1)如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是______；
(2)如果选择2名主持人，请求出2名主持人恰好是1男1女的概率．
变式2．（2023·河南漯河·统考二模）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点7、用表格法求概率
例1.（2022·云南·模拟预测）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y．
(1)用列表法或树状图求点M（x，y）所有可能出现的结果；
(2)求点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率．
变式1.（2022·成都市·九年级专题练习）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)。
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江九年级月考）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（ ）
A．12 B．6 C．5 D．2
3．（2022·湖南衡阳·九年级统考期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（ )
A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面
B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面
C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面
D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面
4．（2023·江苏·模拟预测）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
扬州市邗江区天气日出 日落体感温度 降水概率 降水量 空气质量 优
A．邗江区明天将有的时间下雨 B．邗江区明天将有的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大 D．邗江区明天下雨的可能性较小
5．（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）甲、乙两个工厂生产相同的产品，甲厂的产品出现次品的可能性是10％，乙厂的产品出现次品的可能性是7％，则产品质量较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两个工厂相同 D．不确定
6．（2022·浙江·九年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（ ）
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
7．（2023·江苏苏州·统考三模）如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022 沙坪坝区校级期末）如图，在数轴上A点表示的数是﹣3，B点表示的数是2，在线段AB上任取一点C，则点C到原点的距离不小于1的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022 沙重庆九年级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，为黄球的概率是，则红球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
10．（2022 门头沟区二模）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期中）在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____．
12．（2023·山东威海·统考二模）有五张不透明的卡片，正面的数分别写有，，，，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为________．
13．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有__________种不同的情况．
14．（2023·浙江金华·统考三模）在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是______．
15．（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件：________．
16．（2022·浙江宁波市·九年级一模）小明的爸爸妈妈各有2把钥匙，可以分别打开单元门和家门，小明随机从爸爸和妈妈的包里各拿出一把钥匙，恰好能打开单元门和家门的概率 ．
17．（2022 九龙坡区模拟）现将背面完全相同，正面分别标有数﹣1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的三张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则P（m，n）在第四象限的概率为 ．
18．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图是一块三角形纸板，点D、E、F分别是线段、、的中点，一只蚂蚁在这张纸上自由爬行，则蚂蚁踩到阴部分的概率为___________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·广东清远·七年级统考期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．
(1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴．(2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
20．（2023·吉林长春·统考一模）明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
(1)若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是_______（填字母）．
A．打开的一定是楼梯灯；B．打开的可能是卧室灯；C．打开的可能是客厅灯；D．打开走廊灯的概率是．
(2)若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
21．（2023·福建莆田·校考模拟预测）为庆祝六一儿童节，遵源商场举办“幸运大抽奖”活动，如图是活动宣传海报：
已知第一轮抽奖有400人参加，其中共有m人获得礼品，将第一轮抽奖的四种礼品送出情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)直接写出m的值，并将条形统计图补充完整：
(2)已知第二轮抽奖有n人参加（其中包括参加第一轮抽奖的400人），若第二轮三次抽奖分别有9人、10人、11人获得50元免金券，试估计n的值．
22．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）在一个不透明的盒子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球（标有数字1，2），3个红球（标有数字，1，3）
(1)甲进行随机摸球活动，画得树状图如图，根据树状图说明甲的摸球规则，并将两次摸球所得的数字求和，求和为偶数的概率；
(2)若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．
23．（2022 湘潭九年级模拟）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
24．（2022 浙江九年级模拟）有4张正面分别写有数字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为m，n，用列表或画树状图求点P（m，n）在第一象限的概率．
（2）随机抽取一张记下数字后（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次换取的数字记为m，n，用列表或树状图求点P（m，n）在第二象限的概率．
25．（2022 浙江九年级模拟）某校八年级有甲、乙、丙三个班级，开学初该年级转进来A，B两名新生，数学老师以此背景让同学们设计一个分班的方案，要求一个班级最多分到1名学生，且每个班级分到学生的概率一样．根据下面两名学生的方案，回答下列问题．
小红：“把甲、乙、丙三个班级分别写在反面空白，同样大小的3张白纸上，折好，在看不清楚里面字的情况下，让A，B两名学生随机各选一张”．
小明：在3张反面空白的白纸中，选2张分别写上A，B两名新生，折好，在看不清楚里面字的情况下，让甲，乙，丙三个班级的班主任随机各选一张．
(1)对于小红和小明的方案，下面判断正确的是（ ）
A．小红符合，小明不符合 B．小明符合，小红不符合
C．小红、小明都符合 D．小红和小明都不符合
(2)根据以上信息，请用树状图法或列表法，求甲班级没有分到学生的概率．
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